专题2.4 用一元二次方程解决问题【导图+知识卡片+知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦用一元二次方程解决实际问题这一核心知识点，系统梳理列方程解应用题的步骤及常见数量关系，通过11个题型（传播、增长率、图形等）讲练结合中考真题与分层训练，构建从基础到应用的完整学习支架。 资料以思维导图培养抽象能力，题型讲练通过典例与变式发展推理意识，分层训练和中考真题强化模型观念。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

专题2.4 用一元二次方程解决问题『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 列一元二次方程解应用题 2 知识点二 常见相关问题的数量关系及表示方法 3 题型讲练 5 题型一 传播问题(一元二次方程的应用） 5 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 5 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 6 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 6 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 6 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 7 题型七 工程问题(一元二次方程的应用) 8 题型八 行程问题(一元二次方程的应用) 9 题型九 图表信息题(一元二次方程的应用) 10 题型十 其他问题(一元二次方程的应用) 11 题型十一 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 12 中考真题演练 12 难度分层训练 13 【基础夯实】 13 【培优拔高】 16 知识点一 列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点二 常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型一 传播问题(一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【变式训练】（25-26九年级上·河南开封·期末）九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】在全国人民的共同努力下，新冠肺炎确诊病例逐渐减少，据统计，某地区月份新冠肺炎确诊病例例，月份新冠肺炎确诊病例例，设这两个月确诊病例平均每月降低的百分率是，则列方程是___． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·期中）一个直角三角形的两条直角边的长相差，面积是，设较短的直角边的长为，根据题意．可列方程为______________． 【变式训练】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）一块长方形菜地的面积是，如果它的长减少，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽．设原菜地的宽为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西西安·期末）一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【变式训练】（25-26九年级上·河南南阳·期末）三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·广东茂名·期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．若商场只要求保证每天的盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【变式训练】（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 题型七 工程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【变式训练】（25-26九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 题型八 行程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·周测）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 题型九 图表信息题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【变式训练】（24-25八年级下·山东泰安·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 题型十 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2026·重庆·一模）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． (1)求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； (2)3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 【变式训练】因新冠病毒的不断变异，市场对口罩的需求增大，某工厂引进了一条口罩生产线，开工第一天生产50万个口罩，第三天生产72万个，调查发现，1条生产线最大产能是150万个/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的最大产能将减小5万个/天． (1)若每天生产口罩增长的百分率相同，求每天增长的百分率； (2)若增加2条生产线，则每天生产口罩最多为 万个；是否能增加生产线，使得每天生产口罩1500万个，若能，应增加几条？若不能，请说明理由． 题型十一 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，设共有支足球队参加比赛，那么列出的方程是______． 【真题演练1】（2025·江苏无锡·中考真题）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 【真题演练2】（2025·浙江宁波·中考真题）从一块腰长为的等腰直角三角形铁皮零料上裁出一块面积为的矩形铁皮，要求矩形的四个顶点都在三角形的边上．若裁出的矩形全等视为同种裁法，则有几种不同的裁法？（    ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·宁夏吴忠·中考真题）定义新运算，对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是_________ 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，均不为整数，且，（k为正整数）为正整数．在点与点之间的所有整数依次记为，，，；在点与点之间的所有整数分别记为，，，，若，则的值为______． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)设一次购买该产品的数量为件（为正整数），销售单价为元，请写出与的函数关系式； (2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）春节期间某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设每日票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南德宏·期末）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．某市2022年数字阅读市场规模为万元，2024年数字阅读市场规模为万元．设年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 5．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为________． 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨5元，其销售量就减少50个，为了实现平均每月10000元的销售利润这种台灯的售价应定为多少元？若设台灯的售价为x元，则可列得方程为______． 7．（25-26九年级上·广东江门·期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 8．（25-26九年级上·北京·期中）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）某商店以每件元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价元销售，售出件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，单价每降低元时，月销售量可增加件，如何定价，才能使以后每个月的利润达到元？ 10．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）项目化学习 项目主题探究东湾驴肉销售利润 项目背景：东湾驴肉是甘肃靖远县传统名吃，历史可追溯至西汉，以其独特的制作方法，色鲜味美和滋补价值而闻名．某校学习小组以探究东湾驴肉销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售东湾驴肉，其进价为每斤元，按每斤元出售，平均每月可售出斤，后经市场调查发现，单价每降低元，平均每月的销售量可增加斤． 解决问题： (1)若每月的销售量为斤，则每斤东湾驴肉的售价为_________元； (2)若专卖店销售东湾驴肉想要平均每月获利元，求东湾驴肉的售价应定为多少元？ 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（  ） A． B． 或 C． D． 或 2．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）定义：如果多项式（是常数)与（是常数) ，M与N中取相同值，满足，则称两个多项式为“续和式”，有下列三个结论： （1）若与互为“续和式”，则的值为； （2） 当时，多项式（是常数）的值为10，则它的“续和式”N的值是12； （3）若M与N为“续和式”，，且，则的值为． 其中正确的结论个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点同时停止移动，经过多长时间，的面积等于．（   ） A． B． C．或 D．无法确定 4．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________． 5．（25-26九年级上·四川·期末）任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为36，面积为16，则它的减半矩形的长和宽分别为________ ；原矩形的两边长分别为m和2，若存在另一个矩形是它的“减半矩形”，则m满足的取值范围是__________． 6．（25-26九年级上·广东东莞·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”． 7．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图1，将面积为的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为______． 8．（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，为坐标原点，点的坐标是，线段交轴于点，点的坐标是，线段．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为秒． (1)用的代数式表示：________，________； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； (3)当恰好是等腰三角形时，求的值． 9．（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 10．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 用一元二次方程解决问题『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 列一元二次方程解应用题 2 知识点二 常见相关问题的数量关系及表示方法 3 题型讲练 5 题型一 传播问题(一元二次方程的应用） 5 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 6 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 7 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 7 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 8 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 9 题型七 工程问题(一元二次方程的应用) 12 题型八 行程问题(一元二次方程的应用) 14 题型九 图表信息题(一元二次方程的应用) 15 题型十 其他问题(一元二次方程的应用) 17 题型十一 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 18 中考真题演练 19 难度分层训练 25 【基础夯实】 25 【培优拔高】 30 知识点一 列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点二 常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型一 传播问题(一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人 (2)三轮后共有125人被感染 【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． 【变式训练】（25-26九年级上·河南开封·期末）九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意得， 解得，（舍去） 答：x的值为． 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】在全国人民的共同努力下，新冠肺炎确诊病例逐渐减少，据统计，某地区月份新冠肺炎确诊病例例，月份新冠肺炎确诊病例例，设这两个月确诊病例平均每月降低的百分率是，则列方程是___． 【答案】 【分析】已知月份确诊病例数和平均每月降低的百分率，可依次表示出月份和月份的确诊病例数，结合月份的确诊病例数即可列出方程. 【详解】解：依题意，平均每月降低的百分率是， 则月份新冠肺炎确诊病例为例， ∴月份新冠肺炎确诊病例为例， 即：. 【变式训练】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)涨价5元 【分析】（1）利用“原价×(1-下降百分率)2=两次降价后的价格”列方程，注意下降百分率的取值范围是，需舍去不合题意的解． （2）根据“每盒盈利×日销售量=总盈利”列方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择使日销售量更大的涨价金额(即较小的涨价数值)． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为， 根据题意可得：， 解得，(舍去)， 答：每次下降的百分率为． （2）解：设每盒应涨价元， 根据题意可得：， 展开化简得：， 因式分解得：， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每盒应涨价5元． 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·期中）一个直角三角形的两条直角边的长相差，面积是，设较短的直角边的长为，根据题意．可列方程为______________． 【答案】 【分析】根据直角三角形的面积公式列方程即可． 【详解】解：∵两条直角边的长相差，且较短的直角边的长为， ∴较长的直角边的长为， ∵面积是， ∴可得． 【变式训练】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）一块长方形菜地的面积是，如果它的长减少，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽．设原菜地的宽为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“它的长减少，那么它就成为正方形菜地”可以得到长方形的长比宽多米，利用矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】长减少，菜地就变成正方形， 设原菜地的宽为米，则长为米， 根据题意得：，选项A正确． 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西西安·期末）一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系． 先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为， 将其整理为一元二次方程的一般形式为． 故答案为：（或）． 【变式训练】（25-26九年级上·河南南阳·期末）三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 本题可通过设中间的奇数为未知数，利用连续奇数的差为2表示出另外两个奇数，再根据平方和为371列一元二次方程求解． 【详解】解：设三个连续奇数中间的数为，则最小的奇数为，最大的奇数为，根据题意得， 解得， 当时，最小的奇数为； 当时，最小的奇数为； ∴这三个奇数中最小的是或9， 故选：C． 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·广东茂名·期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率是，根据题意列出方程，即可解答； （2）设售价应降低元，根据利润单件利润销售量的关系列出方程，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， ∵尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．若商场只要求保证每天的盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ 【答案】若要使顾客得到实惠，则应涨价元 【分析】根据“每千克盈利×日销售量=总盈利”列方程，求解后选择较小的涨价值即可． 【详解】解：设每千克涨价元， 根据题意可得，， 则， 解得，， 若要使顾客得到实惠，则应涨价元． 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于 【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据题意表示出和的长，然后列方程求解； （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． 【变式训练】（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【分析】（1）解一元二次方程得到，利用菱形的性质结合勾股定理即可求解； （2）分三种情况，列出的表达式，解方程即可． 【详解】（1）解方程， 得， ， 在菱形中，， ， 在中，， ∴； （2）①当点M在上且点N在上时，，则， 解得（大于3，舍去）； ②当点M在上且点N在上时，，则， 此方程无解； ③当点M在上且点N在上时，，则， 解得（小于4，舍去）， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 题型七 工程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 【变式训练】（25-26九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【答案】(1)600 (2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解； （2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答． 【详解】（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书， 依题意，， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴甲计划每天整理（本） （2）解：由（1）得甲计划每天整理600本， ∵总图书4800本， 则计划时间天， 依题意，甲实际每天整理本，实际完成时间天 根据工作量关系，得方程， 展开得， 化简得， 即 解得或， 由于不符合实际意义，故． 题型八 行程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·周测）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了; (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可； 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可. 【详解】解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了. （2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 题型九 图表信息题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 【变式训练】（24-25八年级下·山东泰安·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】(1)见解析 (2)这5个数中最大数为29． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 题型十 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2026·重庆·一模）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． (1)求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； (2)3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】(1)第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个 (2)甲款头盔的单价上涨了5元 【分析】（1）设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为个.，根据费用和为元建立一元一次方程求解； （2）设甲款头盔的单价上涨了元，根据题意建立一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为个.， 由题意得， 解得， 则甲款头盔的数量为， 答：第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个； （2）解：设甲款头盔的单价上涨了元， 由题意得，， 整理得，， 解得或， 由题意得，， ∴舍去， 答：甲款头盔的单价上涨了5元． 【变式训练】因新冠病毒的不断变异，市场对口罩的需求增大，某工厂引进了一条口罩生产线，开工第一天生产50万个口罩，第三天生产72万个，调查发现，1条生产线最大产能是150万个/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的最大产能将减小5万个/天． (1)若每天生产口罩增长的百分率相同，求每天增长的百分率； (2)若增加2条生产线，则每天生产口罩最多为 万个；是否能增加生产线，使得每天生产口罩1500万个，若能，应增加几条？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)420，不能，理由见解析 【分析】（1）根据增长率的模型，列方程，即可求解； （2）设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（）万个/天，列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每天增长的百分率为x， 依题意得：． 解得：，（不合题意，舍去） 答：每天增长的百分率为． （2）解：若增加2条生产线，则每天生产口罩最多万个， 设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（）万个/天， 依题意，得：， 化简得：． ∵，方程无解． ∴不能增加生产线，使得每天生产口罩1500万个． 题型十一 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解单循环赛制的比赛场数计算方法，避免重复计数． 设有支球队参加比赛，根据单循环赛制可知实际总场次为场，据此得出方程． 【详解】解：∵有支球队参赛，每支球队需与其余支球队各赛一场， ∴若不考虑重复，总场次为场， 又∵单循环赛制中，A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计数， ∴实际总场次为场， ∴可列方程为， 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，设共有支足球队参加比赛，那么列出的方程是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支足球队参加比赛，在主客场双循环赛制下，每两支球队之间需进行场比赛，单循环比赛的场数为，双循环比赛场数为单循环的倍，因此总比赛场数为，然后列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设有支足球队参加比赛，在主客场双循环赛制下，每两支球队之间需进行场比赛.单循环比赛的场数为，双循环比赛场数为单循环的倍，因此总比赛场数为， ∴列出的方程为， 故答案为：． 【真题演练1】（2025·江苏无锡·中考真题）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，列出方程解出即可； 【详解】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得： ， 解得：x=5, 所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元 设每套驱蚊器降价a元，由题意得： ， 解得： , （舍去）， 故选：A. 【真题演练2】（2025·浙江宁波·中考真题）从一块腰长为的等腰直角三角形铁皮零料上裁出一块面积为的矩形铁皮，要求矩形的四个顶点都在三角形的边上．若裁出的矩形全等视为同种裁法，则有几种不同的裁法？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中，，，分两种情况，一是矩形的边在上，顶点、分别在、上，可证明≌，得，设，则，可求得，或，；二是矩形的边在上，在上，顶点在上，设，则，可求得，或，，这两个矩形全等，所以有种不同的裁法，于是得到问题的答案． 【详解】解：中，，，则， 如图，矩形的边在上，顶点、分别在、上，   ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 设， 矩形的面积是，， ， 解得，， 或， ，或，， 如图，矩形的边在上，在上，顶点在上，   ， ， ， 设，则， 解得，， 或， ，或，，这两个矩形全等， 有种不同的裁法， 故选：C． 【真题演练3】（2025·宁夏吴忠·中考真题）定义新运算，对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是_________ 【答案】 或 【分析】本题考查了定义新运算．根据新运算定义，分 和 两种情况讨论，分别求解方程 【详解】当 时，， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ， 取 （舍去 ）； 当 时，， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ， 取 （舍去 ）； 当时，， ∵， ∴不成立． 故答案为： 或 ． 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，均不为整数，且，（k为正整数）为正整数．在点与点之间的所有整数依次记为，，，；在点与点之间的所有整数分别记为，，，，若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键． 根据题意得出之间共有个或个整数，进而可得，设之间的数分别为，，，，，，，根据题意列出一元二次方程，再计算即可． 【详解】解：， 之间共有个或个整数， 个连续的整数满足， ． 当时， 间有个整数， 则，之间的个整数设为，，， ，之间的个整数为，，，， ， 或． 当上有个整数，，无整数解． 当时，间有个整数， 则，之间的个整数设为，，，， ，之间的个整数为，，， ， 或， 当，间有个整数时， 则，之间的个整数设为，，，， ，之间的个整数为，， ，无整数解； 当时， 则，之间的个整数设为，，，，， ，之间的个整数为，， ，无整数解 或，无整数解 当时， 则，之间的个整数设为，，，，，， ，之间的个整数为， ，无解． 综上所述，或或， 则或或． ，或 是正整数． ， 故答案为：． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)设一次购买该产品的数量为件（为正整数），销售单价为元，请写出与的函数关系式； (2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由． 【答案】(1)且为正整数 (2)公司能恰好获利元，此时该产品的销售单价为元 【分析】（）分，和三种情形分别解答即可； （）依据题意，结合（）分三种情况列出方程解答即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，购买数量不超过件，按原价销售， ； ∵销售单价最低为元， 令， 解得， ∴当购买数量超过件且不超过件时，单价随购买数量增加而降低， 当时，每多买件，单价降低元， ， 即； 当时，单价已降至最低元，不再继续降价， ； 综上，与的函数关系式为且为正整数； （2）解：当时，销售单价，单件利润， 当时， 解得，不在的范围内，故此情况不成立； 当时，销售单价，单件利润为， 当时， 解得， ，符合题意， ∴此时销售单价元； 当时，销售单价，单件利润， 当时， 解得， ∵购买数量必须为正整数， ∴此情况不成立； 综上，公司能恰好获利元，此时该产品的销售单价为元． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）春节期间某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设每日票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平均每天票房的增长率为x，分别表示出三天的票房，根据三天累计票房为亿元列方程即可． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， ∵第一天票房约为3亿元，增长率为， ∴第二天票房为亿元，第三天票房为亿元， ∵三天累计票房为亿元， ∴可列方程． 2．（24-25九年级上·云南德宏·期末）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．某市2022年数字阅读市场规模为万元，2024年数字阅读市场规模为万元．设年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长率的计算规律，找到初始量，终止量和增长年数，列出方程即可判断正确选项． 【详解】解：∵2022年数字阅读市场规模为400万元， ∴经过1年增长后2023年的市场规模为万元， 经过2年增长后2024年的市场规模为万元， 又∵2024年数字阅读市场规模为576万元， ∴可得方程． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 4．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 【答案】或 【分析】设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为，根据矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， ∵建成的饲养室面积为， ∴或． 5．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据题意，塑封的长为，宽为，根据塑封后的面积可列式求解． 【详解】解：设留白部分的宽度为，由题意得，． 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨5元，其销售量就减少50个，为了实现平均每月10000元的销售利润这种台灯的售价应定为多少元？若设台灯的售价为x元，则可列得方程为______． 【答案】 【分析】设这种台灯的售价定为x元，那么就少卖出个，根据利润售价进价，可列方程． 【详解】解：设这种台灯的售价定为x元， 则每个利润为元，每月销售量减少个， 则每月销量为个， 由题意得． 7．（25-26九年级上·广东江门·期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程与实际问题，题目中存在的等量关系为长方形菜园平行于墙的边长长方形菜园垂直于墙的边长． 【详解】根据题意可知，长方形菜园平行于墙的边长为，即，可得 整理，得 故答案为： 8．（25-26九年级上·北京·期中）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元 (3)不可能 【分析】（1）根据销售量=原销售量+降价增加的销售量，单件利润=原单件利润-降价金额，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程求解； （3）同样根据总利润关系列方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数解，即可得出结论． 【详解】（1） 解： 已知每件降价1元，多售出2件，降价元时，多售出件 原每天售出20件， 因此每天销售量为件 ，原单件利润为元， 降价元后，单件盈利为元． （2）根据总利润等于单件盈利乘销售量， 列方程得 整理得 因式分解得 解得 因此每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元． （3） 假设平均每天赢利2000元， 列方程得 整理得 判别式得 因此该方程没有实数根，不存在满足条件的降价 所以平均每天赢利2000元不可能． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）某商店以每件元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价元销售，售出件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，单价每降低元时，月销售量可增加件，如何定价，才能使以后每个月的利润达到元？ 【答案】定价为每件元时，才能使以后每个月的利润达到元 【分析】设单价降低了元，则定价为元，月销售量为件，根据每个月的利润达到元列方程解决即可． 【详解】解：设单价降低了元，则定价为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵能够让顾客得到更大的实惠， ∴， 元． 答：定价为每件元时，才能使以后每个月的利润达到元． 10．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）项目化学习 项目主题探究东湾驴肉销售利润 项目背景：东湾驴肉是甘肃靖远县传统名吃，历史可追溯至西汉，以其独特的制作方法，色鲜味美和滋补价值而闻名．某校学习小组以探究东湾驴肉销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售东湾驴肉，其进价为每斤元，按每斤元出售，平均每月可售出斤，后经市场调查发现，单价每降低元，平均每月的销售量可增加斤． 解决问题： (1)若每月的销售量为斤，则每斤东湾驴肉的售价为_________元； (2)若专卖店销售东湾驴肉想要平均每月获利元，求东湾驴肉的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)元或元 【分析】（1）先计算销售量增加的数量，再根据每降低5元销量增加50斤的规律，求出降价金额，最后用原售价减去降价金额得到售价． （2）设每斤降价元，分别表示出每斤的利润和每月的销售量，根据总利润=每斤利润×销售量列出一元二次方程，解方程求出的值，再计算对应的售价． 【详解】（1）解：销量增加量斤， 降价次数， 总降价金额为元， 所以每斤东湾驴肉的售价为元； （2）解：设每斤东湾驴肉应降价元，则可列方程：， 解得：， 元，元， 答：东湾驴肉的售价应定为每斤元或每斤元． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（  ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为，用含的代数式表示、，由三角形的面积公式列方程，求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动， ，，， ， 当时，， ， ， ，， 经检验，都符合的范围， 故选：． 2．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）定义：如果多项式（是常数)与（是常数) ，M与N中取相同值，满足，则称两个多项式为“续和式”，有下列三个结论： （1）若与互为“续和式”，则的值为； （2） 当时，多项式（是常数）的值为10，则它的“续和式”N的值是12； （3）若M与N为“续和式”，，且，则的值为． 其中正确的结论个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查的是新定义问题，一元二次方程的应用，求解代数式的值，理解题意是解本题的关键． （1）根据“续和式”的定义，分别计算出，，的值，再代入到计算即可； （2）将代入得到一个关于，，的等式，再把多项式的“续和式”表示出来，将代入求解即可； （3）由题意可得，再根据，列方程即可解答． 【详解】解：（1）如果多项式（，，，是常数）与（是常数)，满足，，，则称两个多项式为“续和式”，则： 由题意可得：，，， ，，． ，故结论（1）正确； （2），，， ，，， 的“续和式”是． 当时，多项式的值为10， ． 当时，；故结论（2）错误． （3）由题意可得， ， ， 解得，故结论（3）错误； 故正确的只有（1） 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点同时停止移动，经过多长时间，的面积等于．（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设点，运动的时间为，根据的面积等于，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设点，运动的时间为， 则，， ． ， 整理得：，解得，． 即经过或时，的面积等于． 故选：C． 4．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________． 【答案】 【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于、的方程组，利用可得出③，将③代入②中可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得到值，进而得出的值，再利用矩形面积公式得出图3摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案． 【详解】解:设矩形的长为，宽为， 由题意可得： 得：③， 将③代入②，得：， 整理，得， 解得：，（舍去）， 所以， 所以按图3放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：． 5．（25-26九年级上·四川·期末）任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为36，面积为16，则它的减半矩形的长和宽分别为________ ；原矩形的两边长分别为m和2，若存在另一个矩形是它的“减半矩形”，则m满足的取值范围是__________． 【答案】 8，1 或 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．第一问：原矩形周长为36，面积为16，减半矩形周长为18，面积为8．设减半矩形长和宽为x和y，则，解方程组即可求解；第二问：原矩形长m、宽2，周长，面积．则减半矩形周长，面积m．设减半矩形长p、宽q，则．根据根与系数的关系，p和q是方程的两个根，由判别式且，解不等式得m的取值范围． 【详解】解：第一问： 原矩形周长36，面积16，减半矩形周长18，面积8． 设减半矩形长x、宽y，则 ， 整理得方程，得或， 当时，；当时，； 故长和宽为8和1； 第二问：原矩形的两边长分别为m和2，周长，面积． 则减半矩形周长，面积m． 设减半矩形长p、宽q，则 ，即， ∴p和q是方程的两个根． 则判别式， 即． 解方程， 得． 由于，故或． 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·广东东莞·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”． 【答案】125 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据两轮感染的总人数25即可列出方程求解，再计算三轮传染后的总感染人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得：或(舍去)， 三轮传染后总感染人数为， 故答案为：125． 7．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图1，将面积为的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解决几何问题，关键是根据正方形与拼接后矩形的面积相等，结合边长的关系列方程求解． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴正方形的边长为4． 设的长为，由拼图结构可知，矩形的另一边长度为． ∴， 整理得， 由求根公式得， ∴(舍去负值)． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，为坐标原点，点的坐标是，线段交轴于点，点的坐标是，线段．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为秒． (1)用的代数式表示：________，________； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； (3)当恰好是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或 (3)的值为或 【分析】（1）由平行四边形的性质结合题意可求出，，可得出的长度表达式，随后进行分类讨论：当在点右侧时、当与点重合时和当在点左侧时，分别求出的长即可； （2）分类讨论：①当在点右侧时和②当在点左侧时，根据平行四边形的性质即可分别得出关于的等式，解出即可； （3）先将点、、分别用坐标表示，即可得出、、的代数式，再进行分类讨论：①当时、②当时，③当时，列出关于的方程，对方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， 故时，点、停止运动， ， 当点在点右侧时： 此时，， 当点与点重合时： 此时，， 当点在点左侧时： 此时，， 综上，故；． （2）解：∵， 若以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 需满足， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得； 综上，的值为或． （3）解：∵，， ∴， 同理点，点， ∴，，，且， 当时，即， 化简得， ∵， ∴方程无解，该情况不成立； 当时，即， 解得； 当时，即， 化简得， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）； 综上，的值为或． 9．（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）分、、三种情况进行讨论，结合三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：，， ∵， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：（舍去），； 当时，的长度等于； （3）解：存在， 根据题意可知，，， ①当时，， ， 整理得：，解得或（舍去）； ②当时，， ， 整理得：， ，方程无解； ③当时，， ， 整理得：，解得（舍去）或； 综上，当或时，三角形的面积等于． 10．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull