精品解析：山东省日照市校际联合考试2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

2025级高二上学期开学考试 数学 2026.09 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，因此，又，因此. 2. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理先求出圆锥的高，进而利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】由题可知圆锥的底面半径，母线长，高， ∴圆锥的体积为. 故选：A. 3. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. -1或1 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知， 解方程可得或， 解不等式可得， 所以， 综上：实数的值为. 4. 函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由图象可知，函数为减函数，所以， ， 因为，所以，所以. 5. 在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点建系，写出各点坐标，计算数量积表达式，由参数范围最终求得数量积取值区间为. 【详解】如图： 以为原点，为轴，与垂直方向为轴，由， 则： 设，即， 那么 数量积， 的取值范围是. 6. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，，则 7. 盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，独立 D. ，独立 【答案】C 【解析】 【分析】求出，，，，根据互斥事件与独立事件概率计算公式即可求解. 【详解】由题意可得 ，，，，故选项A,B错误； 对于C,，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 8. 在中，，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得可化简为,代入化简为单变量函数求解即可. 【详解】在中，设， 因为， 所以 所以， 化简得， 因为，所以， 故，即， 所以在中，，， 所以 ， 令, 因为，所以， 令，， 因为在上单调递增， 所以. 所以最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “，使得”的否定是“，都有” B. 函数（且）恒过定点 C. 若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为 D. 函数的定义域为 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：存在量词命题的否定需将存在量词改为全称量词，同时否定结论，故原命题的否定应为“，都有”，A错误； 选项B：令得，此时，故函数恒过定点，B正确； 选项C：由弧长公式，得半径，扇形面积，C正确； 选项D：令，，解得，显然定义域不对，D错误. 10. 在正方体中，，，分别为，，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离是点到平面的距离的2倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A：由以及与不垂直，可知A错误；对于选项B：由可得平面，可知B正确；对于选项C：求出的余弦值可知C正确；对于选项D：利用等体积法，，可求得结果. 【详解】对于选项A：因为，所以不是等腰三角形，所以与不垂直，因为，所以与不垂直，故A错误； 对于选项B：因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，因为，所以，所以、、、四点共面， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 故B正确； 对于选项C：因为，，所以异面直线与所成的角为， 设正方体的棱长为2，则，，， 在中，，故C正确； 对于选项D：设正方体的棱长为2，设点到平面的距离与点到平面的距离分别为，, 则，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于B，利用线面平行的判定定理求解是关键，对于D，利用等体积法，，求点到平面的距离与点到平面的距离的比值是关键. 11. 已知函数，，则（ ） A. 当时，是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 不存在整数，使得的最大值为2 D. 当，时，在上恰有6个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合周期函数定义判断即可，对于B，反设的图象关于直线对称，利用函数解析式证明，推出矛盾，即可判断，对于C，由的最大值为可得存在整数满足，由此推出矛盾，即可判断，对于D，化简方程求其解即可判断. 【详解】对于A，当时，，所以 ，所以是的一个周期，故A正确； 对于B，若的图象关于直线对称，则， 令，，又， ，所以，故B错误； 对于C，若的最大值为，则且， 由，解得，即，所以， 由，即，解得，即， 所以，即，左边为奇数，右边为偶数，无整数解， 所以不存在整数，使得的最大值为2，故C正确； 对于D，当，时，， 令，得， 根据奇数幂的性质可知， 所以或， 即或， 又，所以，， 在上恰有6个零点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数的模为5，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先设复数，再结合模长公式计算求解. 【详解】设，则，解得（负根舍去），所以，. 13. 已知函数的定义域为，且，当时，，则_________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据函数性质将问题转换为，代入求值即可. 【详解】因为， 所以， 又函数为上的增函数， 所以， 所以． 14. 已知非空集合，，若为偶函数，则当集合的元素个数最多时，集合_________． 【答案】 【解析】 【分析】抓住偶函数的性质，分类讨论的范围求出与的解析式解出所有满足条件的的值，通过两个函数的图像，由偶函数的图像性质排除不满足条件的值. 【详解】因为为偶函数，所以， 当时，，解得， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 当时，，恒成立； 画图验证及时，满足条件， 所以 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，的对边分别为，，，，． （1）若，求的值和的面积； （2）若，求． 【答案】（1） ，的面积为 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求得的值，并由三角形面积公式求得的面积； （2） 因为，所以，在左边利用余弦定理，化简即可求得，从而得到，并求得，再根据正弦定理即可求得. 【小问1详解】 由余弦定理， 得 ，因此. 的面积. 【小问2详解】  因为，所以， 由余弦定理的推论，得， 化简得，所以. 因为，所以. 由正弦定理，得. 16. 某学校高二年级举办一次数学竞赛，对报名的500名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这500名学生测试分数的90%分位数； （2）采用分层抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，再从抽出的5人中随机选取2人，查看他们的答题情况，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】（1），分位数为分 （2） 【解析】 【小问1详解】 根据频率分布直方图，求得各组的频率； 组的频率为，组的频率为， 组的频率为，组的频率为， 因此组的频率为， 所以； 前四组的累积频率为，所以分位数应在区间， 设分位数为分，则，解得， 故分位数为分； 【小问2详解】 采取分层抽样，区间与区间的频率比为， 而两区间总计抽出人，故从区间抽出人，从区间抽出人， 记区间的两人为，区间的三人为, 从这五人中抽出两人，样本空间， 样本空间有个元素， 其中至少一人在区间内的元素有个， 所以这人中至少一人分数在内的概率为. 17. 已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）解关于的不等式； （3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1）偶函数；对任意的，，所以，函数的定义域为， ， 即， 所以， 所以函数是偶函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数运算性质证明； （2）分析函数在上的单调性，由偶函数的性质将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）令，由题意可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 偶函数；略； 【小问2详解】 因为， 令，任取、，且，则， ，则， 所以 ，则， 所以，函数在上为增函数， 又因为外层函数为上的增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，所以， 即，整理可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 函数与图象有个公共点， 由可得， 可得，即， 因为，则， 设，则，又在上单调递增， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，，解得. 即的取值范围为. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为15，求； （3）若，，求实数的取值范围． 【答案】（1）; （2）; （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理实现边化角，化简得到，从而求出角； （2）根据角平分线建立面积等量关系，结合余弦定理求出的长； （3）根据已知条件，结合正弦定理及两角差的正弦公式，化简可得，再结合正弦函数图象，求出的取值范围，从而求出的取值范围. 【小问1详解】 ，即， 由正弦定理可得：，， 即，又， ，即， 在中，，则，又，； 【小问2详解】 由（1）知，则由余弦定理得， 的周长为15，则，，，， 又是的角平分线，，即， 则，； 【小问3详解】 由，则点为上靠近点的一个三等分点， ，，， 又，，则，，， 由正弦定理得， ， 化简整理得，又，，则， ，即. 19. 如图①，已知平面五边形中，是边长为2的正三角形，，，将和分别沿，向上翻折至，，使得，在平面的同侧（如图②），且二面角和二面角的大小都为，其中． （1）当时，求证：平面； （2）设该五面体外接球的球心为，半径为． （ⅰ）当时，求到平面的距离； （ⅱ）求的最小值． 【答案】（1）证明：翻折前：过点分别作的垂线，垂足分别为，分别延长交于点， 翻折后：如图所示，则二面角的平面角和二面角的平面角分别为和， 因为，则平面，平面，所以， 又因为是边长为2的正三角形，，，则，， 所以和都是直角三角形，又，则， 所以且，因此，四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理即可证明平面； （2）（ⅰ）取的中点，，证明平面，可得到平面的距离为，利用解三角形求出即可；（ⅱ）易表示出，利用基本不等式求出最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）取的中点，连接，设为的外心，过作，交于点， 因为为正三角形，所以，因此，二面角的平面角. 设为该五面体的外接球球心，由对称性可知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球， 则平面，所以，到平面的距离为， 因为，则， 因此，到平面的距离为； （ⅱ）二面角的平面角为，平面，， 则，， 所以， 即，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二上学期开学考试 数学 2026.09 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. -1或1 4. 函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，独立 D. ，独立 8. 在中，，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “，使得”的否定是“，都有” B. 函数（且）恒过定点 C. 若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为 D. 函数的定义域为 10. 在正方体中，，，分别为，，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离是点到平面的距离的2倍 11. 已知函数，，则（ ） A. 当时，是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 不存在整数，使得的最大值为2 D. 当，时，在上恰有6个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数的模为5，且，则_____. 13. 已知函数的定义域为，且，当时，，则_________． 14. 已知非空集合，，若为偶函数，则当集合的元素个数最多时，集合_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，的对边分别为，，，，． （1）若，求的值和的面积； （2）若，求． 16. 某学校高二年级举办一次数学竞赛，对报名的500名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这500名学生测试分数的90%分位数； （2）采用分层抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，再从抽出的5人中随机选取2人，查看他们的答题情况，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 17. 已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）解关于的不等式； （3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为15，求； （3）若，，求实数的取值范围． 19. 如图①，已知平面五边形中，是边长为2的正三角形，，，将和分别沿，向上翻折至，，使得，在平面的同侧（如图②），且二面角和二面角的大小都为，其中． （1）当时，求证：平面； （2）设该五面体外接球的球心为，半径为． （ⅰ）当时，求到平面的距离； （ⅱ）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $