精品解析：山东省日照市2025-2026学年高二上学期9月校际联合考试数学试题

2024级高二上学期校际联合考试数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 3. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为，体积为，若，则底面半径为（ ） A. B. 3cm C. D. 1cm 5. 若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于( ) A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 在中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知非零实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 设为两个事件，且，下列说法正确的有（ ） A. 若互斥，则 B. 若互斥，则 C. 若独立，则 D. 若独立，则 11. 已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 二面角的正切值为 D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数的图象经过点，则__________． 13. 将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____. 14. 已知锐角的面积为，点分别在上，且对任意恒成立，则_____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率． 16. 已知函数的部分图象如图所示.为图象的最高点，为图象与轴的交点，点，且为正三角形． （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）当时，求函数的最值． 17. 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．已知函数． （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）求证：函数的图象关于点中心对称； （3）若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 18. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，求； （3）求的最小值． 19. 如图，在正四棱锥中，所有棱长均为．点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为． （1）求证：平面平面； （2）求的值； （3）记直线与侧面所成的角分别为，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二上学期校际联合考试数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合并集运算得到答案. 【详解】由集合并集运算得到． 故选：A. 2. 已知向量．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积为0列式，可求的值. 【详解】因为，所以. 故选：D 3. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数单调性可得等价于，结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为等价于， 则可以推出，即必要性成立； 但不能推出，例如，即充分性不成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为，体积为，若，则底面半径为（ ） A. B. 3cm C. D. 1cm 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，利用建立方程，解之即得. 【详解】设圆锥的底面半径为，因圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的高的长为，母线长为， 由题意，，即，解得. 故选：A. 5. 若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据f(x)是偶函数以及求出f(x)的周期，再结合周期、奇偶性和即可将自变量的范围转化到[1，2]之间. 【详解】∵函数是偶函数， ∴， 又∵， ， ， ， ∴函数的周期为4， ∴. 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有， 故选：B. 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，作出函数图象，运用数形结合思想求解即可. 【详解】由题得的最小正周期为，即在内，有3个周期， 又其值域为，且当时，， 在同一个坐标系内作出与的图象如图所示， 由图象知曲线与有6个交点． 故选：A. 8. 在中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设，，通过余弦定理以及列出方程求解即可. 【详解】根据题意，设，，如图所示： 则在中，由余弦定理得：， 同理可得，因为， 所以，所以， 解得或（舍），所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知非零实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由不等式的基本性质即可判断A选项；讨论的正负，分别得到结论即可判断B选项；对于CD选项，由特殊值即可判断. 【详解】对于A选项：由不等式的基本性质∵，∴，A选项正确； 对于B选项：当时，，当时，则，，B选项正确； 对于C选项：当，时，满足，此时，∵，∴，C选项错误； 对于D选项：当，时，满足，此时，，，D选项错误. 故选：AB. 10. 设为两个事件，且，下列说法正确的有（ ） A. 若互斥，则 B. 若互斥，则 C. 若独立，则 D. 若独立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的积事件以及和事件的概率公式判断A、B；根据独立事件的乘法公式以及和事件的概率公式判断C、D. 【详解】对于A，若互斥，则，A错误； 对于B，若互斥，则，B正确； 对于C，若独立，则，C正确； 对于D，若独立，则，D正确， 故选：BCD 11. 已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 二面角的正切值为 D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用等体积法进行转化即可判断；B选项找到点的位置再进行证明；C选项作出二面角的平面角进行求解；D选项利用直接法找到外接球的球心位置进行求解即可. 【详解】对于A选项，在正方体中，，，， ，四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面， 为上一动点，， 正方体的棱长为2， ， 四面体的体积为定值，故A正确； 对于B选项，当为中点时，平面，证明如下： 取的中点，的中点，连接， 分别为中点，， 平面，平面，平面，， 分别为中点，， 在正方形中，，， ，平面， 平面，平面，， 分别为中点，， 平面，平面，平面，， 分别为中点，， 在正方形中，，， ，平面，平面， 平面，， ，平面，平面， 即存在点，使平面，故B正确； 对于C选项，过作于点，过作于点， 在直角三角形中，，，， ，， 在中，，，， ，， ，， ，点与重合， 是二面角的平面角， ，故C错误； 对于D选项，取的中点，连接， 在直角三角形中，， 又由B选项中可知， 平面，平面， ， ，，，为四面体的外接球的球心， 外接球半径为，外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数的图象经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】设幂函数y=xα（α∈R），其函数图象经过点（2，）， ∴2α=；解得α=﹣2，∴y=f（x）=x﹣2；∴f（3）=， 故答案为． 13. 将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】 当时 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 已知锐角的面积为，点分别在上，且对任意恒成立，则_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可推出，以及， ，结合三角形的面积关系可得和，继而结合数量积的定义求解，即得答案. 【详解】由题意知锐角的面积为，则，即得， 表示直线上的一点到点D的向量， 故表示直线上的一点到点D的距离， 由于对任意恒成立，则的模即为D到直线的最短距离， 则，同理可得， 由于，则，即得， 由，得， 由锐角可知A为锐角，故为钝角， 故， 故， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率． 【答案】（1），平均数为分，中位数为分； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数，根据中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值； （2）分析可知后三组中所抽取的人数分别为，将这人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由已知可得，解得， 所抽取的名学生成绩的平均数为（分）， 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以，中位数，由题意可得，解得（分）. 【小问2详解】 由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生为， 则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共种. 其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种. 故所求概率为. 16. 已知函数的部分图象如图所示.为图象的最高点，为图象与轴的交点，点，且为正三角形． （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）当时，求函数的最值． 【答案】（1）；单调递增区间为； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，结合正三角形的性质计算可得，将点代入函数的解析式，利用正弦函数的性质计算可得，从而可得，再根据正弦函数的单调性列不等式计算即可得单调递增区间； （2）当时，，利用正弦函数的性质即可求得最值. 【小问1详解】 为图象的最高点，点的纵坐标，即的高为， 为正三角形，， 又，. ，， 则，即， ，. . 令， 解得， 函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，， 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值. 综上，函数的最大值为，最小值为. 17. 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．已知函数． （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）求证：函数的图象关于点中心对称； （3）若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在定义域R内单调递增，证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用定义法判断并证明的单调性； （2）利用图像关于点成中心对称图形的充要条件证明； （3）根据单调性和对称性可得，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【小问1详解】 函数在定义域R内单调递增，证明如下： ，任取，令， 则，，， 故， 即，所以在定义域R内单调递增. 【小问2详解】 证明：因为的定义域为R， ，， 有， 所以的图象关于点对称. 【小问3详解】 因为，即， 由（1）可知：在定义域R内单调递增，则， 由（2）可知：，即， 可得，即， 由，得， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 18. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，求； （3）求的最小值． 【答案】（1） 因为，根据正弦定理得：. 又因为， 所以. 又为三角形内角，所以. （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和，可探索角的关系. （2）先利用（1）的结论，求角的正弦和余弦，再求角的正弦，利用正弦定理，可探索的关系，结合，可求的值，再用余弦定理求边. （3）先用表示，用正弦定理可得，再利用基本不等式，可求其最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，， 所以，， . 所以. 由正弦定理得， 又，所以，. 由余弦定理得. 所以. 【小问3详解】 因为 . 由正弦定理 因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以的最小值为. 19. 如图，在正四棱锥中，所有棱长均为．点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为． （1）求证：平面平面； （2）求的值； （3）记直线与侧面所成的角分别为，求证：为定值． 【答案】（1）证明：因为在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，所以， 又，所以 ， 又，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得即可证明从而得证； （2）根据，利用等体积法计算可得； （3）设是面与的交线，过点作平面使得，设，即可得到，设，同上方法可得，即可求出，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，连接，则平面， 设点到平面的距离为， 因为在正四棱锥中，所有棱长均为，所以四个侧面的正三角形的面积均为， 底面正方形的面积为，又， 依题意可得，所以 ，即，解得； 【小问3详解】 设平面与的交线为，， 过点作平面使得，（即过点作交于点、交于点，再在平面内作，连接则，又，所以, 又所以， 又平面与的交线为，，所以，所以）， 设， 所以，所以， 同理可得，所以， 设，同上方法可得， 所以， 而，所以， 又与侧面所成的角分别为，则 而， 所以. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $