专题2.3 实数重难点题型专训（6个知识点+10大题型+1大提高题型+自我检测）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学讲义通过梳理6个核心知识点，结合表格工具系统呈现实数知识体系，涵盖无理数概念、实数分类、与数轴关系等内容，清晰展示重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，10大基础题型如“无理数的大小估算”培养运算能力与推理意识，提高题型“数轴上比较实数大小”强化几何直观，自我检测助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题2.3 实数重难点题型专训 （6个知识点+10大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 无理数】 2 【基础题型二 无理数的大小估算】 3 【基础题型三 无理数整数部分的有关计算】 3 【基础题型四 实数概念理解】 3 【基础题型五 实数的分类】 4 【基础题型六 实数的性质】 4 【基础题型七 实数与数轴】 4 【基础题型八 实数的大小比较】 5 【基础题型九 程序设计与实数运算】 5 【基础题型十 计算器——平方根和立方根】 5 第二部分·练提高题型 【提高题型一 在数轴上比较实数的大小】 6 第三部分・自我检测 知识点01 无理数 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江西宜春·单元复习）下列实数中，为无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据无理数和有理数的定义解答，即有理数包含整数和分数，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：∵是分数，属于有理数，开方开不尽，为无限不循环小数，属于无理数，和都是整数，属于有理数． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·单元复习）在实数、、中，无理数有________个． 【答案】2 【详解】解：，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 开立方后是无限不循环小数，属于无理数， 因此无理数共有个． 知识点02 实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数． 正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·单元复习）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：是分数、是有限小数、是整数；由于开不尽立方，则是无理数． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在数，，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），，这6个数中，有理数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．根据有理数的定义解答即可． 【详解】解：根据有理数的定义， ，3.14，是有理数，共3个， 故答案为：3． 知识点03 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 【即时训练】 1．（2026八年级上 江苏苏州·阶段测试）在数轴上，下列实数所表示的点在原点的左边的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查数轴与实数的对应关系，根据数轴的性质，原点左边的点对应的数是负数，只需判断选项中的数的正负性即可得到答案． 【详解】解：数轴上原点左边的点对应的数是负数，原点对应，原点右边的点对应正数． 对各选项判断如下： A选项，是负数，对应点在原点左边； B选项，对应点在原点，不在原点左边； C选项，是正数，对应点在原点右边； D选项，是正数，对应点在原点右边． 2．（2026八年级上 江苏南通·课后练习）已知点在数轴上，且到原点的距离大于，写出一个点表示的负数：______． 【答案】（不唯一） 【分析】根据点是数轴上的负数，且到原点的距离大于，写出一个符合条件的数即可． 【详解】解：设点表示的数为，依题意得，且，可得， ∵， ∴可取，满足条件． 知识点04 实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽滁州·单元复习）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）绝对值等于的数是_____． 【答案】和 【详解】解：∵， ∴绝对值等于的数是和． 知识点05 实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广西防城港·单元复习）如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数值转换器示意图可得输入的数值首先求算术平方根，算术平方根若是有理数，则对所得算术平方根继续求算术平方根，直到得到的结果是无理数，就是输出的的值． 【详解】解：∵的算术平方根是，是有理数， ∴取的算术平方根是，是无理数， ∴输出. 2．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图是一个数值转换器，当输入数值8时，输出的是______． 【答案】 【分析】先把输入计算出8的立方根为2，由于2是有理数，则把作为新数输入，再求出2开立方的结果，若结果为有理数，则重复上述过程，若结果为无理数，则把结果输出即可． 【详解】解：第一次输入8时，是有理数， 第二次输入2时，是无理数，则输出的结果为． 知识点06 实数的大小比较 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论： ①． ②． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·单元复习）实数，，，中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本利用实数比较大小的法则，正数大于0，0大于负数，两个正数（含无理数）比较，可通过平方后比较大小得到结果. 【详解】解：∵ 是负数，小于所有正数和0，∴ 排除D选项， ∵  ，， ∵ ， ∴ ， ∴ 四个数中最大的数是 . 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先化简两个数，再根据实数大小比较规则判断大小即可． 【详解】解：，， ∵正数大于一切负数， ∴． 【基础题型一 无理数】 【例1】（23-24八年级上·江苏泰州·开学考试）在中，无理数共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：无理数的定义为无限不循环小数， ∵是无理数，∴是无理数； ∵ 是无限不循环小数，∴是无理数； ∵是整数，是分数，整数和分数都属于有理数，∴和是有理数； 因此无理数共有个. 【例2】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测），，0，，，，，，，中，无理数的个数有____个． 【答案】3 【分析】先化简可计算的数，再根据定义判断无理数的个数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数． 无理数为，，，共个． 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在实数，，，，，（相邻两个中间一次多个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数称为无理数是解题的关键．先化简，再根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数． 【详解】解：∵（有理数），是有限小数（有理数），是循环小数（有理数），是无理数，是无理数，是无限不循环小数（无理数）， ∴无理数有个． 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在下列各数，3.1415926，0.1010010001……（每两个1之间依次多1个0），，，，中无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的判定，熟练掌握无理数的定义是解题关键． 根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，逐一判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：，3.1415926，0.1010010001……（每两个1之间依次多1个0），，，，中无理数有0.1010010001……（每两个1之间依次多1个0），，，共3个； 故选C． 3．（23-24八年级上·江苏南京·单元复习）在实数，，，3.1415，中，无理数有______个． 【答案】2 【分析】本题考查了实数的分类； 根据无限不循环小数叫做无理数进行判断即可． 【详解】解：， 无理数有，，共2个， 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·单元复习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中、为有理数，那么_________，_________； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根； (3)若、都是有理数，且，试求的立方根． 【答案】(1)   (2)的算术平方根为5 (3)的立方根为1或 【分析】本题考查了立方根，实数的运算，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可得，从而可得，进而可得：，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答； （3）根据已知可得，从而可得，，进而可得，，然后分两种情况进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵，其中a、b为有理数， ∴，， ，， 故答案为：；； （2）解：， ， ∵a、b为有理数， ∴， 解得：， ∴， ∴其算术平方根为5； （3）解：， ， ∴， 解得：或， ∴∴当，时，，的立方根为1； 当，时，，的立方根为． 【基础题型二 无理数的大小估算】 【例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·单元复习）估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】先确定的范围，再推导的范围即可． 【详解】解：， ， 即， ∴， 的值在和之间． 【例2】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）写出一个比大且比小的无理数_____． 【答案】 【分析】本题考查实数的知识，先将整数化为二次根式形式，根据无理数的定义，找出被开方数介于和之间的开方开不尽的数，即可得到符合要求的无理数，答案不唯一． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵是无限不循环小数，属于无理数，满足的条件， ∴符合题意． 1．（25-26八年级上·江苏南通·单元复习）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数估算的实际应用，根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵， ∴； 故选：B． 2．（2026八年级上 江苏徐州·阶段测试）下列整数，与最接近的是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先将变形为；根据，得，确定其在4和5之间； 计算中间值，得，说明更接近5，即与 最接近的整数是5． 【详解】解：，， ， ∵， ， 选项中的整数，与最接近的是5． 3．（25-26八年级上·天津·期中）比较大小：_______；________4；______（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＞ ＞ ＞ 【分析】利用分数比较大小法则，无理数估算的方法比较大小. 分母相同的分数，分子大的分数更大，比较无理数大小时，先估算无理数的范围，再根据不等式的传递性比较大小. 【详解】解：（1）比较与 两个分数分母相同，比较分子即可. ，，， ， 不等式两边同时减得： ， ； （2）比较与 ，， 即； （3）比较与， ，， ， 即． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知的平方根是和3，的算术平方根是5，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了无理数的估算、平方根和算术平方根，解题关键是熟练掌握平方根和算术平方根的定义． （1）先根据平方根和算术平方根的定义列出关于，的方程，解方程求出，，再估算，求出其整数部分即可； （2）把（1）中所求，，的值代入所求代数式进行计算，再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是和3，的算术平方根是5， ，， 解得：，， ， 的整数部分； （2）解：由（1）可知， ， 的平方根是． 【基础题型三 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． 【例2】（25-26八年级上·四川广元·期中）若其中m是正整数，则m的值是_____． 【答案】3 【分析】利用相邻完全平方数的算术平方根和是正整数确定的值． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵m是正整数， ∴． 1．（23-24八年级上·江苏苏州·开学考试）已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得 ； ∵的立方根是， ∴，解得 ； ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴. 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值在（　　）之间 A．和0 B．0和1 C．1和2 D．2和3 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算的法则是解题的关键，对进行估算，得到整数以及小数部分，再得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 则， 那么， ， 即的值在1和2之间， 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 【答案】/ 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较立方数确定整数部分，再求小数部分． 【详解】解：， ， ， 的整数部分为4， 的小数部分为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·单元复习）已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，以及用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先根据立方根和平方根的定义，求出a和b的值，再估算的值，最后将a、b、c的值代入，利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵的立方根是，的平方根是， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分是， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【基础题型四 实数概念理解】 【例1】（2026八年级上 江苏盐城·课后练习）下列四个数中，属于负数的是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，是正数，不符合要求； B． 既不是正数也不是负数，不符合要求； C．，是正数，不符合要求； D．，是负数，符合要求． 【例2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，实数，有理数，数轴等概念，熟练掌握这些概念是解题的关键； 根据实数的分类及实数与数轴的关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意； B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意； C．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意． D．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·福建厦门·阶段检测）已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质和有理数的计算，解题关键是理解非负数的性质，求出字母的值． 3．（23-24八年级上·广东深圳·单元复习）下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足﹣＜x＜的x的整数有4个；③﹣3是的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a，都有＝a．其中正确的序号是_____． 【答案】②③ 【分析】根据有理数、无理数、实数的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：①开方开不尽的数是无理数，但是有的数不开方也是无理数，如：π，等，因此①不正确，不符合题意； ②满足﹣＜x＜的x的整数有﹣1，0，1，2共4个，因此②正确，符合题意； ③﹣3是9的一个平方根，而＝9，因此③正确，符合题意； ④π就是无理数，不带根号的数也不一定是有理数，因此④不正确，不符合题意； ⑤无限循环小数，是有理数，因此⑤不正确，不符合题意； ⑥若a＜0，则＝|a|＝﹣a，因此⑥不正确，不符合题意； 因此正确的结论只有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查无理数、有理数、实数的意义，理解和掌握实数的意义是正确判断的前提． 4．（25-26八年级上·河南濮阳·单元复习）已知实数m、n满足，且，，求的立方根． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，又因为，则有或，则题目可解． 【详解】解：∵，， ∴，． 又∵， ∴有或． ∴或， 即的立方根为或． 【基础题型五 实数的分类】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）在，，，，（相邻两个1之间依次多一个0），，，，，（相邻两个之间有个）中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先化简零指数幂与根式，再根据无理数定义筛选统计个数即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，，，，，（相邻两个之间有个）均为有理数，，，是无理数，共个． 【例2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的定义，整数与分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，只需逐个判断各数，即可得到有理数的个数，即可求解． 【详解】解： 是有限小数，属于分数，是有理数； 是分数，是有理数； （每两个之间依次多 个 ）是无限不循环小数，是无理数； 中 是无限不循环小数，故是无理数； 是整数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； 综上，有理数共有 个． 1．（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列各数中是无理数的有（    ） ，，，，，，3.1415，（小数部分由相继的非负整数组成） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，据此逐个判断各数即可得到结果． 【详解】解：是无限循环小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； ，，，（小数部分由相继的非负整数组成）都是无限不循环小数，属于无理数， 故无理数共个． 2．（25-26八年级上·云南曲靖·单元复习）下列说法正确的是（     ） A．4的平方根是 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．有理数与数轴上的点一一对应 【答案】A 【分析】根据平方根、无理数定义及实数与数轴的关系逐一判断选项正误． 【详解】解：A. ∵ ，∴ 4的平方根是，该选项正确； B. ∵ 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，∴ 无限小数不都是无理数，该选项错误； C. ∵ 带根号，但是有理数，∴ 带根号的数不都是无理数，该选项错误； D. ∵实数与数轴上的点一一对应，有理数与数轴上的点并非一一对应，该选项错误． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： （相邻两个3之间的0逐次加1），，． (1)整数集合：{___________…}； (2)正分数集合：{___________…}； (3)负有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…}； (5)非负整数集合：{___________…}． 【答案】(1)0，，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）； (5)0，， 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、化简多重符号，再根据整数的定义作答即可； （2）正分数是大于0的分数，可以是有限小数或无限循环小数，据此即可解答； （3）负有理数是小于0的有理数，包括负整数和负分数，据此即可解答； （4）根据无理数的定义（无限不循环小数）作答即可； （5）非负整数包括正整数和0，据此即可解答． 【详解】（1）解：整数集合：{0，，，；…}； （2）正分数集合：{，，；…}； （3）负有理数集合：{，，；…}； （4）无理数集合：{，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）；…}； （5）非负整数集合：{0，，…}． 【基础题型六 实数的性质】 【例1】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：，，，故A，B，C选项中的两数均相等，不是相反数； D选项中，，两数互为相反数. 【例2】（25-26八年级上·天津津南·单元复习）的绝对值是_________；的相反数是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和相反数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，的绝对值为； 的相反数为． 1．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）下列命题中，正确的是（     ） ①算术平方根等于本身的数只有0；        ②倒数等于本身的数只有1； ③立方根等于本身的数有和0；         ④绝对值等于本身的数只有0和1； A．只有③ B．①和② C．只有① D．③和④ 【答案】A 【分析】根据算术平方根、倒数、立方根、绝对值的定义，逐一判断每个命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：①对于算术平方根等于本身的数，的算术平方根是，也等于本身，算术平方根等于本身的数是和，①错误； ②对于倒数等于本身的数，的倒数是，也等于本身，倒数等于本身的数是和，②错误； ③对于立方根等于本身的数，，，，立方根等于本身的数是和，③正确； ④对于绝对值等于本身的数，所有非负数的绝对值都等于本身，不止和，④错误． 综上，只有③正确． 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如表为嘉琪同学的答卷，她的得分应是（     ） 姓名：嘉琪  得分：__________ 填空：（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是 ； ③4的算术平方根为 2 ； ④平方根与立方根相等的数是 0 ； ⑤． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 【分析】先根据倒数、绝对值、算术平方根、平方根、立方根的定义，逐个判断嘉琪的答案是否正确，再计算得分即可． 【详解】解：逐个判断正误： ①的倒数是，嘉琪答案错误； ②负数的绝对值是它的相反数，，嘉琪答案正确； ③算术平方根为非负数，4的算术平方根是，嘉琪答案正确； ④只有0的平方根与立方根相等，嘉琪答案正确； ⑤，嘉琪答案正确； ∴嘉琪共做对4道题，每小题20分，得分为分． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）的平方根是___，_____，_____，______． 【答案】 / 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根、绝对值的定义依次计算即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根为； ∵，表示的算术平方根，结果为非负数， ∴； ∵， ∴； ∵，可得，负数的绝对值等于它的相反数， ∴． 4．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，移项得． 由结合律和分配律得． 都是有理数， 也是有理数． 是无理数， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据实数的性质移项可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意，移项得， ，都是有理数， 也是有理数， 是无理数， ， ， ， 的平方根是． 【基础题型七 实数与数轴】 【例1】（2026八年级上 江苏南京·课后练习）实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列四个点中，表示原点的可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由可知：实数在原点的同侧， 由数轴可知：当时，不满足，故舍去； ∴，即表示原点的可能是． 【例2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，无理数可以用数轴上点____________来表示．（填“A”或“B”） 【答案】B 【分析】利用夹逼法估算出的范围即可. 【详解】解：∵， ∴， 故无理数可以用数轴上点表示. 1．（25-26八年级上·江苏南通·单元复习）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上表示数，以点为圆心，长为半径作圆弧交数轴于点，若点在点的右侧，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正方形面积求出，由点在点的右侧，用代表的数加的长度，得到表示的数． 【详解】解：正方形的面积为， ，即， 点在数轴上表示数，点在点的右侧， 点表示的数为． 2．（2026八年级上 江苏连云港）如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴可知：，，即可判断选项A，B，C，根据即可判断选项D． 【详解】解：根据数轴可知：，， 故A选项错误，B选项正确，C选项错误， ∵， ∴D选项错误． 3．（2026八年级上 陕西渭南·课后练习）若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【答案】 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 4．（2023八年级上 江苏盐城·课后练习）如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是什么？ 【答案】 【分析】利用对称性可得，根据右边的数减去左边的数，得到距离相等进行求解即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵点关于点的对称点是点， ∴， ∵数轴上，两点表示的数分别是和，点C表示的数为x， ∴， ∴， ∴点所表示的数是． 【基础题型八 实数的大小比较】 【例1】（2026八年级上 江苏扬州·二模）下列四个数中，比小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】先估算出的大小，再运用不等式的性质，得，最后结合选项进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则， 观察四个选项， 即在四个选项中，比小的数是． 【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）______1（用“”、“”或““连接）． 【答案】 【分析】先估算出无理数的取值范围，进而得出的取值范围即可判断求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴． 1．（25-26八年级上·江苏无锡·单元复习）若，，，那么、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方的逆运算，将三个数的指数统一，再通过比较底数大小得到三个数的大小关系，用到初中幂的乘方性质：，正指数相同的情况下，底数越大幂越大. 【详解】解：∵ ，，， 又∵ 指数都是正整数，且， ∴ ， 即 . 2．（23-24八年级上·上海·单元复习）已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出，和的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可． 【详解】解：是的负平方根， ． ，， ，即 最大的实数是，最小的实数是， ． 3．（26-27八年级上 浙江）比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 > < < 【分析】根据实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴． 4．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【基础题型九 程序设计与实数运算】 【例1】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当时，的立方根为，4的算术平方根为，是有理数； 2的算术平方根为， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·四川雅安·阶段检测）有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的值为64时，输出的值是___________． 【答案】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，无理数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，是有理数， ∴，是有理数， ∴的算术平方根为，是无理数，可以输出， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查程序设计与实数运算，求立方根，求算术平方根． 根据程序框图，将代入，按照运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的算术平方根为， ∴输出的值为． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南·阶段检测）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是________． （2）分析发现，当非负数取________时，该程序无法输出值． 【答案】 0或1 【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）按照计算流程，探索即可得出答案解： 【详解】解：（1）当x值为64时，则64的算术平方根得8， ∴8的立方根是2， ∴2的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：． （2）依题意，按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴当非负数取0或1时该程序无法输出值， 故答案为：0或1． 4．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2) 解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）略 （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 【基础题型十 计算器——平方根和立方根】 【例1】（2026八年级上 山东淄博·二模）科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据计算器按键功能， 表示开立方运算， 表示分数输入，确定算式为 ，计算即可． 【详解】解：由按键顺序可知，该算式为，， ∴． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）用计算器计算：________，________，________．（结果精确到0.001） 【答案】 1.287 2.772 5.972 【分析】使用计算器计算每个立方根，并按照要求将结果精确到0.001； 本题考查了开立方，熟练使用计算器开立方是解题的关键． 【详解】解：使用计算器计算得： ， ， ， 故答案为1.287，2.772，5.972． 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 2．（23-24八年级上·广东珠海·单元复习）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数的规律，以及用计算器的计算开方，得出让第十位的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键． 因为计算器只能显示9位（包括小数点），要想知道第十位的数字是什么，必须想办法让第十位的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让第十位的数据出现． 【详解】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意； C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用，实数比较大小，利用计算器计算各数结果，然后比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）对于无理数，试解答下列问题： (1)在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？ (2)借助计算器找出有理数和，使，且． 【答案】(1)在数轴上位于整数和之间 (2)，（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】（1）由，可得出在哪两个整数之间； （2）先借助计算器，将估算到小数点后第位； 再结合，不难找出有理数和的值． 【详解】（1）解：，，且， ， 即在数轴上位于整数和之间； （2）借助计算器，得， 取， ， （答案不唯一，符合条件即可）． 【提高题型一 在数轴上比较实数的大小】 【例1】（25-26八年级上·浙江宁波·单元复习）实数在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、整式的加减、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴可得，，则，，，，再比较与的大小，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，，， ， ∴， ∴在这四个代数式中，结果最小的是， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）已知实数、在数轴上的位置如图所示，则______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查数轴的性质．熟悉实数在数轴上的位置与数的正负、绝对值的关系，以及有理数的加法法则，异号两数相加的符号判定，是解题的关键． 从数轴判断和的正负，以及绝对值的取值范围，利用有理数加法法则判断和的符号： 异号两数相加，和的符号由绝对值较大的数的符号决定，继而得出答案． 【详解】解：∵位于与之间，故是负数，且， 位于与之间，故是正数，且， ∵， ∴的符号与（正数）一致，即． 故答案为：． 1．（23-24八年级上·北京·期中）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则原点所在的位置有可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，能够根据题意分析出a与b的符号是解题的关键． 根据可以得出a与b异号，再根据可以得出负数的绝对值大于正数的绝对值，然后根据数轴的特点进行解题即可． 【详解】解：， a与b异号， 由数轴上观察可知：, ， 又， 负数的绝对值大于正数的绝对值， C点由可能是原点． 故选：C． 2．（2026八年级上 江苏南京·课后练习）如图，实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，其中．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置确定的大小关系，结合得出互为相反数，进而逐一判断选项即可． 【详解】解：由数轴可知：， ， 互为相反数，即， ， ， A、， ，故结论正确，A错误； B、，， ，故结论正确，B错误； C、， ， 又， ，故结论正确，C错误； D、， ， ， ． 两个负数比较大小，绝对值大的反而小， ，即，故结论错误，D正确． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，已知数轴上的点、、、分别表示数、、、，则表示的点应落在线段________上． 【答案】/ 【分析】本题考查估算无理数的大小，直接根据题意得出，进而得出答案，正确得出的范围是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴表示的点应落在线段． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏连云港）若，，且，用“”把，，，连接起来． 【答案】 【分析】根据题意，，，可得为正数，为负数，为负数，为正数，又因为，可得，根据两个负数，绝对值大的反而小，可得，所以；也可以先把表示，，，的点根据条件在数轴上大致表示出来，比较大小． 【详解】解法一：∵，， ∴  为正数，为负数，为负数，为正数． 又∵  正数大于一切负数，且， ∴  ． 解法二：因为，且， 把，，，表示在数轴上，如图所示． ∵  数轴上的数右边的数总比左边的数大， ∴． 【点睛】本题考查了实数的比较大小，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，任意两个负数比较大小，绝对值大的反而小，借助数轴和绝对值等概念是解题的关键． 1．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）在（每相邻两个3之间7的个数逐次加1）中，负无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先明确负无理数的定义：负无理数是小于0的无理数，再逐个判断题干中各数，统计符合条件的个数即可. 【详解】解：是正有理数，不符合要求； 开方开不尽，是无理数，且小于，因此是负无理数； 是正无理数，不符合要求； 是负分数，属于有理数，不符合要求； 是无理数，且小于，因此是负无理数； ，是负整数，属于有理数，不符合要求； （相邻两个之间的个数逐次加）是正无理数，不符合要求； 故 符合条件的负无理数共个. 2．（25-26八年级上·江苏徐州·单元复习）若，则实数可以取到的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算和的取值范围，再判断选项中的数是否在该范围内即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， 可以取到的值为. 故选：B． 3．（23-24八年级上·河北廊坊·单元复习）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，实数的绝对值，先根据无理数估算求出，再化简绝对值即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B 4．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 5．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数也能用数轴上的点表示 C．无理数与无理数的和可能是有理数 D．无理数都是无限小数 【答案】A 【分析】本题考查无理数、有理数的基本概念，以及实数与数轴的关系，要求辨析各选项，找出错误的说法． 【详解】解：∵ 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数， ∴ “无限小数都是无理数”的说法错误，A符合题意； ∵ 所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数属于实数， ∴ 无理数能用数轴上的点表示，B说法正确，不符合题意； ∵ 例如和都是无理数，，0是有理数， ∴ 无理数与无理数的和可能是有理数，C说法正确，不符合题意； ∵ 无理数的定义是无限不循环小数，因此无理数都属于无限小数， ∴ “无理数都是无限小数”的说法正确，D不符合题意． 6．（25-26八年级上·全国·周测），，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出各数绝对值的大小关系是解题关键． 比较负数大小时，先比较其绝对值，绝对值大的负数反而小. 通过比较、、的大小，得到绝对值关系，再转化为负数大小关系. 【详解】解：∵ ，， ， 且 ， ∴ ， 即. 故选：A. 7．（23-24八年级上·广东韶关·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（   ） A．24 B． C．25 D． 【答案】B 【分析】本题以程序计算考查实数的运算，将代入计算，再判断即可． 【详解】解：将代入计算，第一次：， 进行第二次计算， 第二次：， ∴输出结果， 故选：B． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出已知两个正方形的边长，结合图形观察出三个正方形边长的大小关系，从而确定中间正方形边长的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长，正方形的边长， 设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上， ，即， ，，， 选项均不符合题意， ， ， 正方形的边长可以是，选项 D  符合题意． 9．（2024八年级上·全国）已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．（25-26八年级上·四川成都·期中）若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数、无理数的概念理解，算术平方根的性质，实数的性质等知识点． 根据无理数和有理数的性质，有理数与无理数的和一定是无理数；有理数与无理数的积不一定无理数（如乘以0）；无理数的平方不一定有理数；无理数的平方根不一定有意义或不一定无理数（如a为负数时无意义）． 【详解】解：∵ a 是无理数，b 是有理数， A：假设是有理数，则，由于有理数减有理数仍为有理数，故a为有理数，与已知矛盾，∴一定是无理数，A 正确； B：若，则为有理数，∴ B 错误； C：例如（无理数），则为无理数，∴ C 错误； D：若，则无实数意义；若，且为有理数，则为有理数，与已知矛盾，故为无理数，但由于 a 可能为负数，∴不一定是无理数，D 错误； 因此，正确答案为 A， 故选：A． 11．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，且n为正整数，则n的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算；通过计算的平方值，并与相邻整数的平方比较，确定其整数范围． 【详解】， ，， 由于， 因此， 所以． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知是的整数部分，是的整数部分，则________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的整数部分估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过比较无理数与相邻整数的平方，确定其整数部分，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分； ∵， ∴， ∴的整数部分； ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·江苏）下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ___________；属于负分数集合的有 ___________；属于无理数的有 ___________． 【答案】 6，0 ， ，（每两个9之间依次多一个0） 【分析】本题考查实数的分类及定义，根据实数的分类及定义即可求得答案． 【详解】解：属于整数集合的有6，0； 属于负分数集合的有，； 属于无理数的有，（每两个9之间依次多一个0）； 故答案为：6，0；，，（每两个9之间依次多一个0）． 14．（24-25八年级上·宁夏固原·阶段检测）若都是实数，且满足的关系为：，则的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据被开方数非负可求出x的值，进而求出y的值，则可得到的值，再由平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵4的平方根为， ∴的平方根是 ． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知，，那么a，b的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，根据立方根和平方根的定义，分别求出a和b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 17．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 【答案】(1)，，，，π (2)，0， (3)（每两个1之间多增加1个0）， (4)，0 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据正数的定义，进行作答即可； （2）根据整数分为正整数，负整数和0，进行作答即可； （3）根据无限不循环小数是无理数，进行作答即可； （4）根据平方不大于本身的数为大于等于0且小于等于1的数，进行判断即可． 【详解】（1）解：，； 故正数集合：{，，，，π…}； （2）整数集合：{，0，…}； （3）无理数集合{ （每两个1之间多增加1个0），…} （4）平方不大于本身的数的集合：{，0…}． 18．（25-26八年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键； （1）根据夹逼法可得，进而求解； （2）结合（1）题可得，进而可得x、y的值，进而求解． 【详解】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 19．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性． （1）根据数轴上点的移动规律：左减右加的性质，进行计算即可； （2）根据互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性，列出关于，得到方程，求出，，从而求出答案． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x， ∵点A表示的数为，， ， ∴点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ， ∴，， 解得：，， ∴ ， ∴的平方根是． 20．（25-26八年级上·河北沧州·期中）已知实数a，b满足：． (1)求a，b的值； (2)求的平方根，并在图所示的数轴上标出平方根的大概位置．（标出后在对应位置旁写出你求的平方根） 【答案】(1)， (2)，图见解析 【分析】（1）根据算术平方根，绝对值的非负性求解即可； （2）先求解的平方根为，再估算，进一步画图即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为， ∵，， ∴数轴表示如下图所示 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 实数重难点题型专训 （6个知识点+10大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 无理数】 4 【基础题型二 无理数的大小估算】 5 【基础题型三 无理数整数部分的有关计算】 6 【基础题型四 实数概念理解】 7 【基础题型五 实数的分类】 8 【基础题型六 实数的性质】 9 【基础题型七 实数与数轴】 10 【基础题型八 实数的大小比较】 11 【基础题型九 程序设计与实数运算】 12 【基础题型十 计算器——平方根和立方根】 13 第二部分·练提高题型 【提高题型一 在数轴上比较实数的大小】 16 第三部分・自我检测 知识点01 无理数 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江西宜春·单元复习）下列实数中，为无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·单元复习）在实数、、中，无理数有________个． 知识点02 实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数． 正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·单元复习）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在数，，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），，这6个数中，有理数有______个． 知识点03 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 【即时训练】 1．（2026八年级上 江苏苏州·阶段测试）在数轴上，下列实数所表示的点在原点的左边的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2026八年级上 江苏南通·课后练习）已知点在数轴上，且到原点的距离大于，写出一个点表示的负数：______． 知识点04 实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽滁州·单元复习）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）绝对值等于的数是_____． 知识点05 实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广西防城港·单元复习）如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图是一个数值转换器，当输入数值8时，输出的是______． 知识点06 实数的大小比较 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论： ①． ②． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·单元复习）实数，，，中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【基础题型一 无理数】 【例1】（23-24八年级上·江苏泰州·开学考试）在中，无理数共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测），，0，，，，，，，中，无理数的个数有____个． 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在实数，，，，，（相邻两个中间一次多个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在下列各数，3.1415926，0.1010010001……（每两个1之间依次多1个0），，，，中无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·江苏南京·单元复习）在实数，，，3.1415，中，无理数有______个． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·单元复习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中、为有理数，那么_________，_________； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根； (3)若、都是有理数，且，试求的立方根． 【基础题型二 无理数的大小估算】 【例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·单元复习）估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【例2】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）写出一个比大且比小的无理数_____． 1．（25-26八年级上·江苏南通·单元复习）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．（2026八年级上 江苏徐州·阶段测试）下列整数，与最接近的是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26八年级上·天津·期中）比较大小：_______；________4；______（填“＞”或“＜”） 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知的平方根是和3，的算术平方根是5，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【基础题型三 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【例2】（25-26八年级上·四川广元·期中）若其中m是正整数，则m的值是_____． 1．（23-24八年级上·江苏苏州·开学考试）已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值在（　　）之间 A．和0 B．0和1 C．1和2 D．2和3 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·单元复习）已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 【基础题型四 实数概念理解】 【例1】（2026八年级上 江苏盐城·课后练习）下列四个数中，属于负数的是（     ） A． B．0 C． D． 【例2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 2．（23-24八年级上·福建厦门·阶段检测）已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广东深圳·单元复习）下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足﹣＜x＜的x的整数有4个；③﹣3是的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a，都有＝a．其中正确的序号是_____． 4．（25-26八年级上·河南濮阳·单元复习）已知实数m、n满足，且，，求的立方根． 【基础题型五 实数的分类】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）在，，，，（相邻两个1之间依次多一个0），，，，，（相邻两个之间有个）中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 1．（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列各数中是无理数的有（    ） ，，，，，，3.1415，（小数部分由相继的非负整数组成） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·云南曲靖·单元复习）下列说法正确的是（     ） A．4的平方根是 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．有理数与数轴上的点一一对应 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： （相邻两个3之间的0逐次加1），，． (1)整数集合：{___________…}； (2)正分数集合：{___________…}； (3)负有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…}； (5)非负整数集合：{___________…}． 【基础题型六 实数的性质】 【例1】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【例2】（25-26八年级上·天津津南·单元复习）的绝对值是_________；的相反数是_________． 1．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）下列命题中，正确的是（     ） ①算术平方根等于本身的数只有0；        ②倒数等于本身的数只有1； ③立方根等于本身的数有和0；         ④绝对值等于本身的数只有0和1； A．只有③ B．①和② C．只有① D．③和④ 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如表为嘉琪同学的答卷，她的得分应是（     ） 姓名：嘉琪  得分：__________ 填空：（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是 ； ③4的算术平方根为 2 ； ④平方根与立方根相等的数是 0 ； ⑤． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）的平方根是___，_____，_____，______． 4．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，移项得． 由结合律和分配律得． 都是有理数， 也是有理数． 是无理数， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根． 【基础题型七 实数与数轴】 【例1】（2026八年级上 江苏南京·课后练习）实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列四个点中，表示原点的可能是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，无理数可以用数轴上点____________来表示．（填“A”或“B”） 1．（25-26八年级上·江苏南通·单元复习）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上表示数，以点为圆心，长为半径作圆弧交数轴于点，若点在点的右侧，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026八年级上 江苏连云港）如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026八年级上 陕西渭南·课后练习）若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 4．（2023八年级上 江苏盐城·课后练习）如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是什么？ 【基础题型八 实数的大小比较】 【例1】（2026八年级上 江苏扬州·二模）下列四个数中，比小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）______1（用“”、“”或““连接）． 1．（25-26八年级上·江苏无锡·单元复习）若，，，那么、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海·单元复习）已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 3．（26-27八年级上 浙江）比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 4．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【基础题型九 程序设计与实数运算】 【例1】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 【例2】（24-25八年级上·四川雅安·阶段检测）有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的值为64时，输出的值是___________． 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（25-26八年级上·河南·阶段检测）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是________． （2）分析发现，当非负数取________时，该程序无法输出值． 4．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【基础题型十 计算器——平方根和立方根】 【例1】（2026八年级上 山东淄博·二模）科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）用计算器计算：________，________，________．（结果精确到0.001） 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东珠海·单元复习）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）对于无理数，试解答下列问题： (1)在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？ (2)借助计算器找出有理数和，使，且． 【提高题型一 在数轴上比较实数的大小】 【例1】（25-26八年级上·浙江宁波·单元复习）实数在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）已知实数、在数轴上的位置如图所示，则______．（填“>”“<”或“=”） 1．（23-24八年级上·北京·期中）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则原点所在的位置有可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（2026八年级上 江苏南京·课后练习）如图，实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，其中．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，已知数轴上的点、、、分别表示数、、、，则表示的点应落在线段________上． 4．（25-26八年级上·江苏连云港）若，，且，用“”把，，，连接起来． 1．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）在（每相邻两个3之间7的个数逐次加1）中，负无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·江苏徐州·单元复习）若，则实数可以取到的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北廊坊·单元复习）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 4．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 5．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数也能用数轴上的点表示 C．无理数与无理数的和可能是有理数 D．无理数都是无限小数 6．（25-26八年级上·全国·周测），，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·广东韶关·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（   ） A．24 B． C．25 D． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 9．（2024八年级上·全国）已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 10．（25-26八年级上·四川成都·期中）若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 11．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，且n为正整数，则n的值为______． 12．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知是的整数部分，是的整数部分，则________． 13．（25-26八年级上·江苏）下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ___________；属于负分数集合的有 ___________；属于无理数的有 ___________． 14．（24-25八年级上·宁夏固原·阶段检测）若都是实数，且满足的关系为：，则的平方根是_________． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知，，那么a，b的大小关系是______． 16．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 17．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 18．（25-26八年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 19．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 20．（25-26八年级上·河北沧州·期中）已知实数a，b满足：． (1)求a，b的值； (2)求的平方根，并在图所示的数轴上标出平方根的大概位置．（标出后在对应位置旁写出你求的平方根） 1 学科网（北京）股份有限公司 $