专题1.1 三角形中的线段和角重难点题型专训（5个知识点+14大题型+2大提高题型+自我检测）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形中的线段（中线、角平分线、高）与角的关系（三边关系、大边对大角），从概念识别到性质应用，再到提高题型，构建递进式学习支架，系统梳理知识脉络。 资料通过14类基础题型与2类提高题型分层设计，结合即时训练与自我检测，以折叠判断中线、网格求面积等实例培养几何直观与推理能力，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

专题1.1 三角形中的线段和角重难点题型专训 （5个知识点+14大题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 三角形的识别与有关概念】 5 【基础题型二 三角形的个数问题】 5 【基础题型三 构成三角形的条件】 7 【基础题型四 确定第三边的取值范围】 9 【基础题型五 三角形三边关系的应用】 11 【基础题型六 大(小)边对大(小)角定理】 12 【基础题型七 根据三角形中线求长度】 13 【基础题型八 根据三角形中线求面积】 16 【基础题型九 重心的概念】 17 【基础题型十 三角形角平分线的定义】 20 【基础题型十一 画三角形的高】 22 【基础题型十二 与三角形的高有关的计算问题】 24 【基础题型十三 利用网格求三角形面积】 24 【基础题型十四 垂心】 26 第二部分·练提高题型 【提高题型一 解决与三角形三边有关的问题】 29 【提高题型二 利用三角形中线解决问题】 29 第三部分・自我检测 知识点01 三角形的三边关系 1.定义：三角形的任意两边的和大于第三边. 2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 【即时训练】 1．（23-24八年级上·河南南阳·阶段检测）小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（     ） A．4 B．6 C．10 D．12 2．（25-26八年级上·山东德州·期中）三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 知识点02 大边对大角，大角对大边 定义：在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大.(简称“大边对大角，大角对大边”) . 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 知识点03 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 【即时训练】 1．（2026八年级上 河北邯郸·单元复习）将三角形纸片按如图所示的方式折叠，则展开后得到的折痕是的（   ） A．边上的高线 B．角平分线 C．边上的中线 D．边上的垂直平分线 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，若，则为______的角平分线，为_______的角平分线．    知识点04 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形内部. 【即时训练】 1．（23-24八年级上·河南新乡·月考）数学课上，同学们用纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是中线的是（    ） A．沿折叠，点C落在BC边上的点E处 B．沿折叠，点C落在AB边上的点E处 C．沿折叠，使点C与点B重合 D．沿折叠，点C落在三角形外的点E处 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 知识点05 三角形的高 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高. 2.三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·月考）如图，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·月考）的高与的长分别为，，则与的比是___________． 【基础题型一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【例2】（25-26八年级上·天津河西·月考）如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 1．（23-24八年级上·河北石家庄·开学考试）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．（2026八年级上·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·陕西安康·阶段检测）图中以为边的三角形共有______个． 4．（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 【基础题型二 三角形的个数问题】 【例1】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，点在的边的延长线上，连接．图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）图中以AE为边的三角形有_______个；在中，所对的边是_______，边OB所对的角是_______． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 2．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有_______个三角形．（写出所有可能的值） 4．（23-24八年级上·山东·期中）【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？    （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？    （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？    【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？ （5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                             【基础题型三 构成三角形的条件】 【例1】（26-27八年级上·浙江杭州·开学考试）下面长度的三条线段不可以围成三角形的是（     ） A．三条线段一样长 B．三条线段的长度之比是 C．三条线段的长度分别是、、 D．三条线段的长度分别为、、 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）写出一条线段的长，使它能与长为3，5的线段一起组成三角形：________ 1．（25-26八年级上·河南郑州·月考）小明手里有两根塑料吸管，一根长，另一根长，他想通过剪开其中一根吸管，和另一根拼成一个三角形框架．下列做法正确的是（     ） A．只能剪开的吸管 B．只能剪开的吸管 C．两根吸管剪开后都能拼成三角形 D．两根吸管剪开后都不能拼成三角形 2．（25-26八年级上·河北邢台·月考）把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）【三角形的三边关系】小豫想制作一个三角形框架，他找到了 这样的两根木条（如图）： 小豫把其中一根木条锯成长度是整厘米数的两段，然后和另外一根木条围成一个三角形．请将可能组成的不同三角形的三条边（表格中分别用a，b，c表示，排列顺序与结果无关，数值相同即为同一个三角形）的长度填入表中．（表格不一定要全部填满） 三角形 a边 b边 c边 三角形 a边 b边 c边 1 5 2 6 3 7 4 8 4．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如果的长度之和为，且，那么这三条线段能围成一个三角形吗？ 【基础题型四 确定第三边的取值范围】 【例1】（25-26八年级上·甘肃兰州·月考）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广东汕头·阶段测试）三根小棒收尾相连围成一个三角形，已知其中两根小棒分别长4厘米和9厘米，那么还有一根小棒最短是( )厘米，最长是( )厘米．（取整厘米数） 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点A，B，C，D在同一平面内，且，则的长不可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．10 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 3．（2026八年级上 河北沧州·单元复习）已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 4．（24-25八年级上·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【基础题型五 三角形三边关系的应用】 【例1】（25-26八年级上·四川成都·月考）下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（24-25八年级上·陕西西安·月考）小明有两根长度分别为的木棒，他想钉一个三角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可） 1．（25-26八年级上·江苏南京·开学考试）小宇想把一根吸管剪成3段来围成一个三角形，如图，点是这根吸管的中点，下面点（     ）不能作为第一刀的切点． A．A B．B C．C D．D 2．（2026八年级上 湖北武汉·单元复习）小红在学习完《三角形》后，她对各边长都是整数的三角形的个数进行了研究，结果如下表： 最长的边长 1 2 3 … n 三角形的个数 1 2 4 … m 若，则m的值是（     ） A．16 B．18 C．20 D．22 3．（2026八年级上 河北张家口·单元复习）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 4．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【基础题型六 大(小)边对大(小)角定理】 【例1】（24-25八年级上·上海·阶段检测）对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 4．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知：在中，，是边上的中线．求证：． 【基础题型七 根据三角形中线求长度】 【例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）连结三角形的一个顶点和它________________的________叫做三角形这边上的中线．如图，若BE是中AC边上的中线，则AE________________． 1．（24-25八年级上·湖南长沙·月考）数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·月考）如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 3．（26-27八年级上 上海）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 4．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 【基础题型八 根据三角形中线求面积】 【例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知在三角形中，一条中线将三角形分成两个三角形，这两个三角形一定具备的性质是（     ） A．全等 B．周长相等 C．面积相等 D．形状相同 【例2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形的面积是，各边的中点分别为，，，，与相交于点，图中阴影部分的总面积是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏南通·阶段检测）在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 【基础题型九 重心的概念】 【例1】（25-26八年级上·重庆九龙坡·月考）把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（   ） A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定 【例2】（25-26八年级上·云南昆明·月考）数学兴趣小组的同学用一个支点顶住一个三角形均质薄板（如图1），慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，标记这个位置即薄板与支点的接触点为，则点是薄板的重心．小组成员把三角形薄板取下来，标记为（如图2），连接，延长交于点D，则_______（填“>”“=”或“<”）． 1．（25-26八年级上·福建厦门·月考）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆荣昌·月考）如图，在确定匀质薄板的重心位置时，已经通过悬挂画出一条重力线l，还需选择一个点作为悬挂点再次画出重力线才能找到重心，在图中三个点中，可以选择的点的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26八年级上·广东阳江·月考）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 4．（23-24八年级上·广东东莞·阶段测试）如图，，，分别为四边形的边，，的中点，求作边的中点．要求：仅能使用无刻度直尺，不能使用圆规，请保留作图痕迹，并写出作图方法． 【基础题型十 三角形角平分线的定义】 【例1】（23-24八年级上·福建福州·月考）如图，是某同学将三角形沿着折叠示意图，折叠后点的对应点在射线上，则折痕一定是（    ） A．边上的高 B．边上的中线 C．的角平分线 D．边上的垂直平分线 【例2】（23-24八年级上·河南周口·期中）现有四个命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②三角形的三条角平分线交于一点；③如果，，那么；④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行．其中是假命题的是_____． 1．（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（    ） A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉 2．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 4．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：如图，，，是的角平分线．试说明： 证明： 是的角平分线 ∴________（角平分线的定义） 又（已知） （     ） ∴________（     ） （     ） 又（已知） ∴_________（     ） （     ） 【基础题型十一 画三角形的高】 【例1】（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【例2】（23-24八年级上·河南平顶山·月考）如图，，点A、B、F在一条直线上，点C、B、E在一条直线上，中，边上的高是线段______．    1．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 2．（25-26八年级上·福建厦门·月考）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A．B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，在△中，，为的中点，延长交于．于，交于．下列说法：①线段是的角平分线；②线段是△的边上的高；③是的中线；④△与的面积相等；⑤．其中正确的有______ （填序号）． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【基础题型十二 与三角形的高有关的计算问题】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，李大爷有一块三角形菜地，过点引一条与垂直的管道，把菜地分为面积比的两部分，若，，则的长度为（    ） A．26 B．30 C．24 D．8 【例2】（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，王明同学画了两个不同形状的三角形，并将有关数据在图中进行了标注，两个三角形的面积分别记为和，则__________．（填“>”“=”或“<”） 1．（2023八年级上·浙江·单元复习）如图，在四边形中，，点，分别在边，上，，，分别记四边形，四边形的面积为，．若，，则，的长分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，中，，是边上一动点，过作于，于．则下列结论正确的是（    ） A．四边形面积不变 B．的值不变 C．的值有最小值 D．的值不变 3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）已知平面上不共线的三点，则的面积最大是________． 4．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）在中，，分别是，的高，，，，． (1)求的长． (2)若是的中点，连接，求的面积． 【基础题型十三 利用网格求三角形面积】 【例1】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．3 【例2】（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均在网格的格点上，则的面积是________． 1．（2025八年级上 陕西西安·月考）如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26八年级上·北京·单元复习）如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 3．（23-24八年级上·全国·月考）如图，在直角坐标系中， 的三个顶点均在格点上，其位置如图所示．现将沿的方向平移，使得点A移至图中的点的位置，写出平移过程中线段扫过的面积________． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积是多少？ 【基础题型十四 垂心】 【例1】（23-24八年级上·北京西城·期中）在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．是锐角或钝角 【例2】（23-24八年级上·辽宁沈阳·月考）下列叙述： ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； 其中正确的是______．（把正确的序号填在横线上） 1．（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）以下说法正确的有（     ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·重庆·期中）下列说法中，正确的是（） A．相等的角是对顶角 B．三角形的三条高一定交于一点 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作这点到该直线的距离 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 4．（24-25八年级上·江西上饶·月考）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【提高题型一 解决与三角形三边有关的问题】 【例1】（25-26八年级上·江西抚州·月考）已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【例2】（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，已知，，连接，F为上的点，且，连接．若，四边形的面积为20，求的边上的高是多少？ 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，四边形中，，于点，于点，点为边的中点，下列判断正确的是（    ） ①，②，③若，则，④，⑤若，，则点到直线的最短距离为． A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 2．（23-24八年级上·江西南昌·开学考试）如图，梯形的面积为，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2，的长为5，那么三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·陕西西安·阶段测试）我们知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．由此解决下面的问题：一个三角形两条高的长分别为和，第三条高的长也是整数（单位），则这样的整数有_________个． 4．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）读句画图：如图，用直尺和三角尺根据下列要求画图： (1)过点作直线； (2)过点作线段直线，垂足为； (3)若，则__________度，理由如下： 直线 ∴____________________（____________________） __________． (4)若，，，则点到的距离为__________． 【提高题型二 利用三角形中线解决问题】 【例1】（25-26八年级上·甘肃白银·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，（阴影部分）的面积为________． 1．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）在中，，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长度是（    ） A．8 B．4 C．16或8 D．8或4 2．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 3．（24-25八年级上·湖南长沙）如图，，若，则________． 4．（25-26八年级上·重庆万州·月考）如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 1．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 2．（23-24八年级上·河南信阳·阶段检测）若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）下列叙述正确的个数是（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点． A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 7．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 9．（24-25八年级上·上海·期中）下列说法中正确的是（    ） A．三角形的三条高交于一点 B．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等 D．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直 10．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）三角形三边长分别为：2，x，6，化简（     ） A．4 B． C． D． 11．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（   ）个三角形． 12．（24-25八年级上 吉林长春·月考）已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 13．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 14．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在三角形中，，三角形的面积为16，则点到直线的距离为________． 15．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如图，在中，是高，是中线，，，则__________． 16．（2026八年级上 江苏无锡·单元复习）某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到_______朵，最多能收到________朵． 17．（23-24八年级上·广西贺州·月考）已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 18．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 19．（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． (1)求、的长； (2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 20．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的高； (3)在图2中，为与网格线的交点，在上画点，使得线段平分的面积； (4)在图2中，在的内部画点，使，且． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 三角形中的线段和角重难点题型专训 （5个知识点+14大题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 三角形的识别与有关概念】 7 【基础题型二 三角形的个数问题】 8 【基础题型三 构成三角形的条件】 11 【基础题型四 确定第三边的取值范围】 16 【基础题型五 三角形三边关系的应用】 19 【基础题型六 大(小)边对大(小)角定理】 22 【基础题型七 根据三角形中线求长度】 25 【基础题型八 根据三角形中线求面积】 32 【基础题型九 重心的概念】 33 【基础题型十 三角形角平分线的定义】 40 【基础题型十一 画三角形的高】 45 【基础题型十二 与三角形的高有关的计算问题】 49 【基础题型十三 利用网格求三角形面积】 51 【基础题型十四 垂心】 55 第二部分·练提高题型 【提高题型一 解决与三角形三边有关的问题】 62 【提高题型二 利用三角形中线解决问题】 64 第三部分・自我检测 知识点01 三角形的三边关系 1.定义：三角形的任意两边的和大于第三边. 2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 【即时训练】 1．（23-24八年级上·河南南阳·阶段检测）小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（     ） A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：由题意，，即， 故a的值可能是6． 2．（25-26八年级上·山东德州·期中）三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合周长表达式得到周长的取值范围． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∵周长， ∴，即． 知识点02 大边对大角，大角对大边 定义：在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大.(简称“大边对大角，大角对大边”) . 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系，根据大边对大角的性质，确定已知边对应的角，即可比较角的大小． 【详解】解：在中，对，对，， ，即． 知识点03 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 【即时训练】 1．（2026八年级上 河北邯郸·单元复习）将三角形纸片按如图所示的方式折叠，则展开后得到的折痕是的（   ） A．边上的高线 B．角平分线 C．边上的中线 D．边上的垂直平分线 【答案】B 【详解】解：由折叠的性质可得，点关于直线的对称点是，， 是的角平分线． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，若，则为______的角平分线，为_______的角平分线．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴平分，平分， ∴为的角平分线，为的角平分线， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，三角形角平分线的理解，正确理解角平分线的定义是解题的关键． 知识点04 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形内部. 【即时训练】 1．（23-24八年级上·河南新乡·月考）数学课上，同学们用纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是中线的是（    ） A．沿折叠，点C落在BC边上的点E处 B．沿折叠，点C落在AB边上的点E处 C．沿折叠，使点C与点B重合 D．沿折叠，点C落在三角形外的点E处 【答案】C 【分析】根据折叠的性质和中线的概念逐项求解即可． 【详解】解：A、由折叠的性质可得， ∵ ∴ ∴线段不是中线，不符合题意； B、由折叠的性质可得， ∵ ∴ ∴线段不是中线，不符合题意； C、由折叠的性质可得， ∴点D是线段的中点 ∴线段是中线，符合题意； D、由折叠的性质可得， ∵ ∴ ∴线段不是中线，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了折叠的性质和中线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【答案】20 【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． 知识点05 三角形的高 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高. 2.三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·月考）如图，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得当时，线段最短，如图， ， ，，， ， ． 2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·月考）的高与的长分别为，，则与的比是___________． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴，即与的比是． 【基础题型一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·天津河西·月考）如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计数，熟练掌握按顶点分类计数、不重复不遗漏地数出所有角是解题的关键．先按顶点分类，依次找出以点、、、、为顶点的所有小于平角的角，再将各类角的数量相加得到总数． 【详解】解：以点为顶点的角：，共个， 以点为顶点的角：，，，，，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，共个， ， 故答案为： 1．（23-24八年级上·河北石家庄·开学考试）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线．根据折叠的性质可得出，得出点E为中点，即可得出结论． 【详解】 解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合， ∴， ∴线段是的中线， 故选：A． 2．（2026八年级上·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 3．（23-24八年级上·陕西安康·阶段检测）图中以为边的三角形共有______个． 【答案】 【分析】根据三角形的定义得出三角形的个数即可． 【详解】解；图中以为边的三角形有，，共个． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，数三角形时做到不重不漏是解答本题的关键． 4．（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 【答案】20 【分析】本题考查了构造等腰直角三角形求不规则图形的面积，先把图形补全成为等腰直角三角形，求解即可，补充图形是解题的关键． 【详解】解：延长交于点E ∵A是，角D是， ∴角E是，如图所示： ， ∴是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形， 则四边形的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差， 即， 答：四边形的面积20． 【基础题型二 三角形的个数问题】 【例1】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，点在的边的延长线上，连接．图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义即可得解． 【详解】解：由题意可知，三角形分别有，，，共3个． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）图中以AE为边的三角形有_______个；在中，所对的边是_______，边OB所对的角是_______． 【答案】 2 【分析】本题考查了三角形，掌握三角形的有关概念是解题的关键． 根据三角形的有关概念即可解答． 【详解】解：①图中以为边的三角形有共个； ②在中，所对的边是； ③边所对的角是． 故答案为：①；②；③． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 2．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有_______个三角形．（写出所有可能的值） 【答案】或 【分析】本题考查了画三角形，根据题意画出图形即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图所示，共有两种情况： 由图可知，图③中共有或个三角形， 故答案为：或． 4．（23-24八年级上·山东·期中）【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？    （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？    （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？    【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？ （5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                             【答案】（1）条；（2）个；（3）个；（4）个；（5）个 【分析】（1）数出线段的条数即可； （2）数出角的个数即可； （3）数出三角形的个数即可； （4）根据角的定义，得到每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个，再进行相加即可； （5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个；再进行相加即可． 【详解】解：（1）图中的线段有条：． 答：图中共有条线段． （2）图中共有个大于且小于的角： 答：图中共有个大于且小于的角． （3）由一个三角形组成的三角形个数有8个，由两个三角形组成的三角形个数有4个，由四个三角形组成的三角形个数有4个，所以共有：（个）． 答：图3中含有个三角形． （4）若从一个角的顶点出发，在角的内部引出条射线，则大于且小于的角中，每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔98条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个， ∴大于且小于的角共有：（个）； （5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个； ∴共有（个）． 【点睛】本题考查了线段、角、三角形、长方形的个数，注意在数个数时要不重不漏． 【基础题型三 构成三角形的条件】 【例1】（26-27八年级上·浙江杭州·开学考试）下面长度的三条线段不可以围成三角形的是（     ） A．三条线段一样长 B．三条线段的长度之比是 C．三条线段的长度分别是、、 D．三条线段的长度分别为、、 【答案】B 【详解】解：A、设三条线段的长都为， 则，满足三角形的三边关系，可以围成三角形； B、设三条线段的长度分别为，，， 则，不满足三角形的三边关系，不可以围成三角形； C、由题意可知，， 则，满足三角形的三边关系，可以围成三角形； D、，满足三角形的三边关系，可以围成三角形． 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）写出一条线段的长，使它能与长为3，5的线段一起组成三角形：________ 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可知： ， 即， 则第三边可以是5， 故答案为：5． 1．（25-26八年级上·河南郑州·月考）小明手里有两根塑料吸管，一根长，另一根长，他想通过剪开其中一根吸管，和另一根拼成一个三角形框架．下列做法正确的是（     ） A．只能剪开的吸管 B．只能剪开的吸管 C．两根吸管剪开后都能拼成三角形 D．两根吸管剪开后都不能拼成三角形 【答案】B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，分两种情况讨论剪开哪根吸管，根据三边关系判断即可. 【详解】解：根据三角形三边关系，分两种情况讨论： 情况1：剪开的吸管，设剪开后两段长为，，则，第三边长为，，不满足三边关系，剪开的吸管不能拼成三角形. 情况2：剪开的吸管，设剪开后两段长为，，则，第三边长为，，将代入得，同理可得， 只要将的吸管剪成两段都大于，即可满足三边关系拼成三角形. 2．（25-26八年级上·河北邢台·月考）把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答． 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选：B． 3．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）【三角形的三边关系】小豫想制作一个三角形框架，他找到了 这样的两根木条（如图）： 小豫把其中一根木条锯成长度是整厘米数的两段，然后和另外一根木条围成一个三角形．请将可能组成的不同三角形的三条边（表格中分别用a，b，c表示，排列顺序与结果无关，数值相同即为同一个三角形）的长度填入表中．（表格不一定要全部填满） 三角形 a边 b边 c边 三角形 a边 b边 c边 1 5 2 6 3 7 4 8 【答案】 填表如下： 三角形 a边 b边 c边 1 6 6 8 2 7 5 8 3 8 4 8 4 9 3 8 【分析】本题考查三角形三边的关系，小豫只能锯木条，因为组成三角形的任意两边之和大于第三边,分别锯成,或者,或者,或者． 【详解】略 4．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如果的长度之和为，且，那么这三条线段能围成一个三角形吗？ 【答案】不能 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 设，得到，由的长度之和为，得到，分别解出的长度后判断即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∵的长度之和为， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴这三条线段不能围成一个三角形． 【基础题型四 确定第三边的取值范围】 【例1】（25-26八年级上·甘肃兰州·月考）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4， ∴x的取值范围是， 即． 【例2】（24-25八年级上·广东汕头·阶段测试）三根小棒收尾相连围成一个三角形，已知其中两根小棒分别长4厘米和9厘米，那么还有一根小棒最短是( )厘米，最长是( )厘米．（取整厘米数） 【答案】 6 12 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出另外一个小棒的长的范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，另外一个小棒的长， ∴还有一根小棒最短是6厘米，最长是12厘米， 故答案为：6；12． 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点A，B，C，D在同一平面内，且，则的长不可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，构建和，由三角形三边关系确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：在中，由三角形三边关系可得，即，共线时取等号； 在中，由三角形三边关系可得，即，共线时取等号； 综上所述，可知， 结合点A，B，C，D在同一平面内，可得的长不可以是10． 故选：D． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 3．（2026八年级上 河北沧州·单元复习）已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，找出范围内符合条件的正整数，统计其个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，，， ，即， 为正整数， 可以为、、、、，共个． 4．（24-25八年级上·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】(1)② (2)构成三角形的周长为13或14 【详解】（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． 【基础题型五 三角形三边关系的应用】 【例1】（25-26八年级上·四川成都·月考）下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】比较较短两边之和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形，错误； B、，不能组成三角形，错误； C、，能够组成三角形，正确； D、，不能组成三角形，错误． 【例2】（24-25八年级上·陕西西安·月考）小明有两根长度分别为的木棒，他想钉一个三角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三根木棒长度的取值范围，选取范围内任意一个值即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形三边关系可得：， 计算得， 在范围内选取，符合要求．（答案不唯一，满足即可） 1．（25-26八年级上·江苏南京·开学考试）小宇想把一根吸管剪成3段来围成一个三角形，如图，点是这根吸管的中点，下面点（     ）不能作为第一刀的切点． A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【分析】先理解题意，得出，根据线段的和差关系得，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵点是这根吸管的中点， ∴， 观察图，得， 即， ∵把一根吸管剪成3段来围成一个三角形， ∴当点A作为第一刀的切点，剩下的任意两段线段的和值都不大于，不满足三角形的三边关系：两边之和大于第三边． 故点A不能作为第一刀的切点． 2．（2026八年级上 湖北武汉·单元复习）小红在学习完《三角形》后，她对各边长都是整数的三角形的个数进行了研究，结果如下表： 最长的边长 1 2 3 … n 三角形的个数 1 2 4 … m 若，则m的值是（     ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系求解，已知最长边为，设另外两边满足，根据“任意两边之和大于第三边”得到，枚举所有符合条件的整数，求和即可得到三角形总个数． 【详解】设三角形另外两边长为,，满足 ∵最长边为，根据三角形三边关系得 按的取值枚举所有情况： 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，不存在满足条件的整数； ∴总个数． 3．（2026八年级上 河北张家口·单元复习）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 【答案】8（答案不唯一） 【分析】设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数，求解即可； 【详解】解：设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数， 故乙走的路程是8千米或9千米或10千米； 4．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （2）设，则，根据三角形的三边关系得出，结合的周长，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 【基础题型六 大(小)边对大(小)角定理】 【例1】（24-25八年级上·上海·阶段检测）对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的分类和边角的大小关系，熟练掌握三角形的相关知识是解题的关键．根据三角形中大边对大角进行解答即可． 【详解】命题①正确，因为边长顺序决定对应角的大小顺序． 命题②正确，因为最大角为锐角且其他角必然更小，三角形为锐角三角形． 故选：C 【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 4．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知：在中，，是边上的中线．求证：． 【答案】证明：把绕点顺时针旋转到的位置，如图， ∴，而， ∴， ∴， 所以． 【分析】把绕点顺时针旋转到的位置，则，进而得到，，然后可得． 【详解】略 【基础题型七 根据三角形中线求长度】 【例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为 ； ∵，， ∴周长之差为. 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）连结三角形的一个顶点和它________________的________叫做三角形这边上的中线．如图，若BE是中AC边上的中线，则AE________________． 【答案】 所对边的中点 线段 ＝ AC 【分析】根据三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解：连结三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形这边上的中线． ∵BE是中AC边上的中线， ∴ 故答案为：所对边的中点；线段；＝；AC； 【点睛】本题主要考查了三角形的中线，熟练掌握连结三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形这边上的中线是解题的关键． 1．（24-25八年级上·湖南长沙·月考）数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质和中线的定义，根据此来逐一分析选项； 【详解】解： 折叠的性质是折叠前后的图形全等，对应边相等，点C的对应点在点B处，则点D为 的中点，故是的中线，则选项A正确； 由折叠可知， ​​，不能得出，所以无法判定是的中线，该选项B错误； 由折叠可知，且点落在上，此时也不能推出，因此不能确定是的中线，该选项C错误； 由折叠可知，点C与点A重合，无法判断出，故该选项D错误； 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·月考）如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】先表示出和的周长，再根据其差为，可得，进而可得，从而求解． 【详解】解：的周长为，的周长为， ∵，，要使和的周长的差是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是边上的中线． 3．（26-27八年级上 上海）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 【答案】6 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据三角形周长公式表示的周长，得到，再根据三角形周长公式表示的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长是，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）直接根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据的周长求出的长，进而得到的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵中，，， ∴，即； （2）解：∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴的周长. 【基础题型八 根据三角形中线求面积】 【例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知在三角形中，一条中线将三角形分成两个三角形，这两个三角形一定具备的性质是（     ） A．全等 B．周长相等 C．面积相等 D．形状相同 【答案】C 【分析】由三角形中线得等底，结合公共高，利用面积公式判断． 【详解】解：如图 设是的边上的中线， 则； 设点A到的距离为h，则，， ∴， 即两个三角形面积相等． 【例2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】6 【分析】根据三角形的中线等分面积得到，即可求解． 【详解】解：∵点，，分别是，，的中点， ∴ ∵ ∴阴影部分的面积之和． 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形的面积是，各边的中点分别为，，，，与相交于点，图中阴影部分的总面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接， ， ， ， 根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ∵各边中点分别为，，，， ∴，，，， ∴， ， ， ， ∴ ， ∵， ∴． 3．（23-24八年级上·江苏南通·阶段检测）在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【答案】2 【分析】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点 将大三角形 分割成面积相等的两部分，并进一步推导出 与 的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由 可直接推导：在 中， 与 等高，故 。设 ，则 ，进而 ，同理，对以 为顶点的 ，也有 ，利用面积差 及 ，可推得 ，所以 ，即可解得 ，从而将所有相关面积统一用 表示，最后列方程即可求解． 【详解】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)16 【分析】（1）先根据同角的补角相等得到，则，利用平行线的性质得到，结合已知得到，则，然后利用平行线的性质可证得结论； （2）设，利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵D、E、F分别是、、边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 【基础题型九 重心的概念】 【例1】（25-26八年级上·重庆九龙坡·月考）把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（   ） A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了不规则物体的重心，把不规则物体悬挂起来，重心一定在悬挂点与物体下端所连的直线上． 【详解】解：不规则物体的重心一定在悬挂点与物体最下端所连接的直线上， 薄板状物体的重心位置在直线上． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·云南昆明·月考）数学兴趣小组的同学用一个支点顶住一个三角形均质薄板（如图1），慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，标记这个位置即薄板与支点的接触点为，则点是薄板的重心．小组成员把三角形薄板取下来，标记为（如图2），连接，延长交于点D，则_______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】＝ 【分析】本题考查重心的定义，三角形中线的性质．根据点O是的重心可得是中线，根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形即可解答． 【详解】解：∵点O是的重心， ∴是的中线， ∴． 故答案为：＝． 1．（25-26八年级上·福建厦门·月考）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级上·重庆荣昌·月考）如图，在确定匀质薄板的重心位置时，已经通过悬挂画出一条重力线l，还需选择一个点作为悬挂点再次画出重力线才能找到重心，在图中三个点中，可以选择的点的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了重心的概念，两点确定一条直线，解题关键是掌握重心的概念． 根据重心的意义求解． 【详解】解：因为已经通过悬挂画出一条重力线， 所以重心位置一定在直线上， 由图可知：点与都在直线l上， 所以点与都不可选， 所以只有可选， 所以可以选择的点的个数是个， 故选：B． 3．（25-26八年级上·广东阳江·月考）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·广东东莞·阶段测试）如图，，，分别为四边形的边，，的中点，求作边的中点．要求：仅能使用无刻度直尺，不能使用圆规，请保留作图痕迹，并写出作图方法． 【答案】解：如图，点Q即为所求作的边的中点． 连接，相交于点H，连接并延长交于点O，则O是的中点． 连接，相交于点K，连接并延长交于点Q，则Q是的中点． 【详解】略 【基础题型十 三角形角平分线的定义】 【例1】（23-24八年级上·福建福州·月考）如图，是某同学将三角形沿着折叠示意图，折叠后点的对应点在射线上，则折痕一定是（    ） A．边上的高 B．边上的中线 C．的角平分线 D．边上的垂直平分线 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形的角平分线的含义，由对折可得，从而可得答案． 【详解】解：由对折可得： ，，， ∴是的角平分线， 故选C 【例2】（23-24八年级上·河南周口·期中）现有四个命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②三角形的三条角平分线交于一点；③如果，，那么；④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行．其中是假命题的是_____． 【答案】① 【分析】本题主要考查命题与定理知识，根据平行线的判定及性质、平行公理、三角形角平分线判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ②三角形的三条角平分线交于一点，是真命题； ③如果，，那么；是真命题； ④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，是真命题； 故答案为：①． 1．（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（    ） A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，先折叠再根据三角形角平分线、中线、高线定义判断即可得到答案． 【详解】解：如图， 过折叠三角形纸片，使与重合，此时折痕即是过点的角平分线，经过了一次折叠； 先折出中点，再过中点和折叠三角形纸片，折痕即是过点的中线，经过了两次折叠； 过折叠三角形纸片，使在折痕两侧的部分在同一直线上，此时折痕即是过点的高线，经过了一次折叠； ∴通过一次折叠，一定能折出三角形的角平分线、高线，故小琪的说法正确， 故选：C． 2．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质求出的度数，再根据是的角平分线求出．再利用直角三角形两锐角互余，求出的度数． 【详解】∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 【答案】或/15或65 【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解． 先由角平分线得到，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计算求解． 【详解】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 4．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：如图，，，是的角平分线．试说明： 证明： 是的角平分线 ∴________（角平分线的定义） 又（已知） （     ） ∴________（     ） （     ） 又（已知） ∴_________（     ） （     ） 【答案】；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】因为是的角平分线，所以根据角平分线定义得到两个角相等．结合已知，通过等量代换得到．如果内错角相等，那么两直线平行，据此判定对应的两条直线平行．根据两直线平行，同旁内角互补，得到．结合已知，通过同角的补角相等得到两个角相等．最后根据同位角相等或者内错角相等，判定． 【详解】证明： 是的角平分线， ∴（角平分线的定义）． 又（已知）， （ 等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， ∴（同角的补角相等）． （同位角相等，两直线平行）． 【基础题型十一 画三角形的高】 【例1】（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 【例2】（23-24八年级上·河南平顶山·月考）如图，，点A、B、F在一条直线上，点C、B、E在一条直线上，中，边上的高是线段______．    【答案】/ 【分析】根据三角形高线的定义，求解即可，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 【详解】解：由三角形高线的定义可得：中，边上的高是线段， 故答案为： 【点睛】此题考查了三角形高线的定义，解题的关键是掌握三角形高线的定义． 1．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 2．（25-26八年级上·福建厦门·月考）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 3．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，在△中，，为的中点，延长交于．于，交于．下列说法：①线段是的角平分线；②线段是△的边上的高；③是的中线；④△与的面积相等；⑤．其中正确的有______ （填序号）． 【答案】①③④⑤ 【分析】由角平分线的定义可判断①；由高的定义可判断②；由中线的定义可判断③；由中线的性质可判断④；由直角三角形的性质可判断⑤． 【详解】∵∠1=∠2， ∴线段AG是△ABE的角平分线， 故①正确； ∵由题目中的已知条件无法确定AE和BE垂直， ∴线段AE不一定是△ABG的边BG上的高， 故②错误； ∵G点为AD的中点， ∴BG是△ABD的中线， 故③正确； ∵BG是△ABD的中线， ∴△ABG与△DBG的面积相等， 故④正确； ∵CF丄AD于H， ∴∠AHC=90º， ∴∠2+∠ACF=90º． ∵∠1=∠2 ∴∠1+∠ACF=90º， 故⑤正确． 因此正确的有①③④⑤． 故答案为①③④⑤． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，中线的定义，高的定义，中线的性质，直角三形两锐角互余．熟练掌握以上定义和性质是解题的关键． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． 【分析】（1）根据网格特征，找出中点，连接即可； （2）根据网格特征，在上找出格点，连接，使即可； 【详解】（1）解：略 （2）解：略 【基础题型十二 与三角形的高有关的计算问题】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，李大爷有一块三角形菜地，过点引一条与垂直的管道，把菜地分为面积比的两部分，若，，则的长度为（    ） A．26 B．30 C．24 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的面积计算，根据题意可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵，把菜地分为面积比的两部分，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，王明同学画了两个不同形状的三角形，并将有关数据在图中进行了标注，两个三角形的面积分别记为和，则__________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】 【分析】根据题意先分别作的高，交于点，作的高，根据，得出，再根据已知条件得出，最后根据三角形的面积公式得出和，即可求解． 【详解】解：作的高，交于点，作的高，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：． 1．（2023八年级上·浙江·单元复习）如图，在四边形中，，点，分别在边，上，，，分别记四边形，四边形的面积为，．若，，则，的长分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设梯形的高为h，根据梯形面积公式表示出和，利用建立关于和的方程，结合求解即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 设四边形的高为h， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 2．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，中，，是边上一动点，过作于，于．则下列结论正确的是（    ） A．四边形面积不变 B．的值不变 C．的值有最小值 D．的值不变 【答案】B 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，连接，作于点，等面积法得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，作于点， 则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的值不变， 四边形的面积，的值均随着点的变化而变化， 故选B． 3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）已知平面上不共线的三点，则的面积最大是________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形面积公式的应用，解题的关键是理解当两条边互相垂直时，由这两条边构成的三角形的高最大，从而面积最大，进行求解即可． 【详解】解：已知平面上不共线的三点， 当时，的面积最大， 最大面积是， 故答案为：6． 4．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）在中，，分别是，的高，，，，． (1)求的长． (2)若是的中点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的中线，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用等面积法求解即可； （2）先求出的面积，再根据三角形的中线平分三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 在中，，分别是，的高，， ，即， ； （2），， ， 是的中点， ． 【基础题型十三 利用网格求三角形面积】 【例1】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】先确定点C的位置，再求出面积即可． 【详解】解：如图，此时面积最大， ， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均在网格的格点上，则的面积是________． 【答案】5 【分析】网格中利用割补法求不规则三角形面积为周围的正方形面积减去三个直角三角形的面积． 【详解】解：由图可得． 1．（2025八年级上 陕西西安·月考）如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可． 【详解】解：由图可知，且其边上的高为2， ∴． 由图可知， 设边上的高为x， ∴， ∴， 解得：， ∴边上的高是． 故选：B． 2．（25-26八年级上·北京·单元复习）如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，掌握三角形面积计算公式是解题的关键．根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：满足条件的点C的个数为6个，如图所示： ， ， 故选：B． 3．（23-24八年级上·全国·月考）如图，在直角坐标系中， 的三个顶点均在格点上，其位置如图所示．现将沿的方向平移，使得点A移至图中的点的位置，写出平移过程中线段扫过的面积________． 【答案】8 【分析】根据平移画出图形，结合图形利用割补法求解可得． 【详解】解：如图， 线段扫过的图形为平行四边形， 则． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积是多少？ 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据轴对称的性质，找出关键点即可； （2）利用三角形顶点所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：点A在对称轴直线上，因此它的对称点是自身； 分别作出点B、点C关于直线的对称点、：过点B作直线的垂线，延长至与点B到距离相等的位置得到，同理得到； 顺次连接、、，即可得到所求的． （2）解：把放在一个能完全包围它的矩形内： 该矩形的长为4、宽为2，面积为； 再减去三角形周围3个直角三角形的面积： 右上方直角三角形面积： ， 右下方直角三角形面积： ， 左侧直角三角形面积： ， ∴的面积． 【基础题型十四 垂心】 【例1】（23-24八年级上·北京西城·期中）在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．是锐角或钝角 【答案】D 【分析】根据锐角三角形的三条高交点在三角形内部，直角三角形的三条高交点为直角顶点，钝角三角形的三条高所在直线交点在三角形外部，判断即可． 【详解】解：∵三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部， ∴是钝角三角形， ∵， ∴与一个锐角一个钝角，具体谁是钝角无法确定， 故选：D． 【例2】（23-24八年级上·辽宁沈阳·月考）下列叙述： ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； 其中正确的是______．（把正确的序号填在横线上） 【答案】② 【分析】分别根据三角形中线、角平分线和高线的定义判断即可． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，说法正确； ③三角形的三条高所在直线交于一点，原说法错误； 故答案为：②． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题． 1．（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）以下说法正确的有（     ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的三条高所在直线相交于一点，正确； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，正确； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点，正确； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，正确． 所以说法正确的有4个． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）下列说法中，正确的是（） A．相等的角是对顶角 B．三角形的三条高一定交于一点 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作这点到该直线的距离 【答案】D 【分析】根据三角形高的性质，平行公理和点到直线的距离的定义逐一分析各选项即可得到结果． 【详解】解：、相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分出的两个角相等但不是对顶角，故该选项说法错误，不符合题意； 、钝角三角形的三条高本身不相交，仅三条高所在的直线交于一点，故该选项说法错误，不符合题意； 、只有过直线外一点才有且仅有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上无法作出平行线，故该选项说法错误，不符合题意； 、选项的描述完全符合点到直线的距离的定义，故该选项说法正确，符合题意． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出为边上的高，利用等面积法建立方程求解即可． 【详解】解：是的两条高，且相交于点， ∴也是的高 ， ， ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·江西上饶·月考）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【答案】(1) 点即为所作； (2) 线段即为所作； 【分析】本题考查了重心和垂心的性质． （1）连接，，两线相交于点，作射线并延长交点，根据三角形三条中线相交于一点，即可判断点是的中点，点即为所作； （2）连接并延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，根据三角形三条垂线相交于一点，即可得到，线段． 【详解】（1）略 （2）略 【提高题型一 解决与三角形三边有关的问题】 【例1】（25-26八年级上·江西抚州·月考）已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据面积求出，再分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，解得， 分两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 则； 当点在线段的延长线上时，如图所示： ； 综上所述，的长为或． 【例2】（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，已知，，连接，F为上的点，且，连接．若，四边形的面积为20，求的边上的高是多少？ 【答案】 【分析】连接，设，的边上的高为，根据三角形中线的性质可得，，，，根据四边形的面积为，求出的值即可，掌握三角形的中线性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设，的边上的高为， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴四边形的面积为，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的边上的高为． 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，四边形中，，于点，于点，点为边的中点，下列判断正确的是（    ） ①，②，③若，则，④，⑤若，，则点到直线的最短距离为． A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形面积公式、点到直线的距离等知识点，由垂直的性质即可判断①；由平行线的性质得出，由垂线的定义得出，再由，计算即可盘算②；由题意得出，再由平行线的判定定理即可判断③；由点为边的中点得出，设中边上的高为，则，求出的值即可判断⑤，由已知条件无法证明出，即可判断④． 【详解】解：， ∴ ，故①正确，符合题意； ，， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； ， ， ，故③正确，符合题意； 点为边的中点，， ， 设中边上的高为，则， 解得：， 点到直线的最短距离为，故⑤错误，不符合题意； 由已知条件无法证明出，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的为①②③， 故选：A． 2．（23-24八年级上·江西南昌·开学考试）如图，梯形的面积为，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2，的长为5，那么三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了梯形、三角形的面积公式，平行线之间的距离处处相等，理解梯形、三角形的面积公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是梯形， ∴， ∴三角形边上的高三角形边上的高（平行线之间的距离处处相等）， 又∵三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2， ∴， ∵梯形的面积为，的长为5， ∴梯形的高， ∴和之间的距离，即三角形边上的高， ∴三角形的面积， 故选：A． 3．（23-24八年级上·陕西西安·阶段测试）我们知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．由此解决下面的问题：一个三角形两条高的长分别为和，第三条高的长也是整数（单位），则这样的整数有_________个． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，三角形面积的计算，熟练掌握三角形三边关系，是解题的关键．设长度为和的高所对应的边分别为、，第三条边及其边上的高分别为、，的面积为，则，，，根据三角形三边关系得出，整理得出，根据第三条高的长是整数，得出答案即可． 【详解】解：设长度为和的高所对应的边分别为、，第三条边及其边上的高分别为、，的面积为，则，，， 根据三角形三边关系可知：， 即， 即， ∴， ∴， ∴， ∵第三条高的长是整数， ∴这样的整数有个． 故答案为：20． 4．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）读句画图：如图，用直尺和三角尺根据下列要求画图： (1)过点作直线； (2)过点作线段直线，垂足为； (3)若，则__________度，理由如下： 直线 ∴____________________（____________________） __________． (4)若，，，则点到的距离为__________． 【答案】(1)如图，直线即为所求， (2)如图，线段即为所求， (3)60；；两直线平行，内错角相等；60 (4) 【分析】（1）用推平行线法作直线即可； （2）用三角板作垂线即可； （3）根据平行线的性质求解即可； （4）根据等面积法表示出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：若，则度，理由如下： 直线， ∴（两直线平行，内错角相等）， ． （4）解：∵， ∴，是直线与之间的距离， ∵，， ∴， 设点A到的距离为， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即点A到的距离为． 【提高题型二 利用三角形中线解决问题】 【例1】（25-26八年级上·甘肃白银·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，（阴影部分）的面积为________． 【答案】2 【分析】根据三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形进行求解即可． 【详解】解：∵的面积为16，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 即（阴影部分）的面积为． 1．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）在中，，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长度是（    ） A．8 B．4 C．16或8 D．8或4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线、三角形的三边关系、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设，，则，然后分且和且两种情况，分别根据题意列方程组求解并运用三角形的三边关系验证即可． 【详解】解：设，，则． 当且时，即，解得； ∴，， ∵， ∴能构成三角形，即，符合题意； 当且时，即，解得． ∴，， ∵， ∴不能构成三角形，即，不符合题意； 综上，． 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得的值，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 3．（24-25八年级上·湖南长沙）如图，，若，则________． 【答案】 【分析】先求出，根据三角形中线的性质可得出，进而求出，即可求解. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 4．（25-26八年级上·重庆万州·月考）如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②或 (2)2 【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 1．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】根据“大角对大边，小角对小边”进行求解即可． 【详解】解：在一个三角形中，根据大角对大边，小角对小边可知：在中，，则有，故①是真命题； 若，则有， ∵， ∴， ∴， ∴，故②是假命题； 综上所述：①是真命题，②是假命题． 2．（23-24八年级上·河南信阳·阶段检测）若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 【答案】D 【详解】∵三角形三边长为，，， ∴，即， 又∵为正整数， ∴的可能取值为，，， 当时，周长最小，最小周长为，因此选项A，B错误， 当时，周长最大，最大周长为，因此选项C错误，选项D正确． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 4．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴． 5．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）下列叙述正确的个数是（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：① 三角形的角平分线是三角形一个角的顶点与对边交点之间的线段，不是射线，故①错误； ② 三角形的中线将原三角形分成两个等底同高的小三角形，面积相等，②正确； ③ 三角形三条中线的交点才叫作三角形的重心，三条角平分线的交点不是重心，故③错误； ④ 只有三角形三条高所在的直线交于一点，三条高作为线段不一定交于同一点，故④错误； 综上，正确的结论只有个， 故选：A． 6．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 7．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 8．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，找出网格中图形的面积关系是解题关键．根据图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积求解即可得． 【详解】解：因为图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 所以图中阴影部分的面积是， 故选：B． 9．（24-25八年级上·上海·期中）下列说法中正确的是（    ） A．三角形的三条高交于一点 B．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等 D．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直 【答案】D 【分析】分别对每个选项进行分析，即可解题． 【详解】A选项：三角形的三条高所在直线交于一点，所以本选项不符合题意，故A错误； B选项：有公共顶点且两边互为反向延长线两个角是对顶角，所以本选项不符合题意，故B错误； C选项：两条平行直线被第三条直线所截，所得的内错角相等，所以本选项不符合题意，故C错误； D选项：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直，本选项符合题意，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高线所在直线交于一点，对顶角的定义，平行线内错角相等、同旁内角互补的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 10．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）三角形三边长分别为：2，x，6，化简（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值的化简法则去掉绝对值符号，合并计算得到结果． 【详解】解：∵三角形的三边长为，，， 根据三角形三边关系可得， ∴， ∴，， ∴． 11．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（   ）个三角形． 【答案】44 【分析】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即可． 【详解】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个； 由二个小三角形组成的三角形数量为16个； 由四个小三角形组成的三角形数量为8个； 由八个小三角形组成的三角形数量为4个； 则共有个， 故答案为：44． 12．（24-25八年级上 吉林长春·月考）已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系得到第三边的取值范围，再结合第三边为奇数的条件确定第三边的长度． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 可得 ， 即 ， ∵ 为奇数， ∴ ． 13．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 14．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在三角形中，，三角形的面积为16，则点到直线的距离为________． 【答案】 8 【分析】根据三角形面积公式，面积等于底与高乘积的一半，已知面积和底边长，可求出边上的高． 【详解】 解：设点到直线的距离为， ∵， ∴， 解得，故点到直线的距离为8． 15．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如图，在中，是高，是中线，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据，，求出，根据是中线即可求解． 【详解】解： ∵是中线 16．（2026八年级上 江苏无锡·单元复习）某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到_______朵，最多能收到________朵． 【答案】 0 5 【分析】本题利用三角形的基本性质进行逻辑推理，先推导最多可能收到的小红花数量，再通过构造法得到最少可能收到的数量． 【详解】解：先推导最多收到的小红花数量： 若某位同学收到位同学送的花，对这位同学中任意两点，都满足，， 在中，是最长边，根据三角形大边对大角的性质，可得， 这位同学与点O的连线形成的个相邻夹角之和为， 因此， 解得，为正整数， 故的最大值为； 再推导最少收到的小红花数量： 可构造出符合题意的情况，即存在同学没有被其他任何同学选为最近距离点，例如多个点都将最近点选为同一个中心，除中心回送的一个点外，其余外围点都不会收到其他同学送的花，因此最少可以为． 17．（23-24八年级上·广西贺州·月考）已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 【答案】或． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．根据“一腰上的中线将周长分成和两部分”，分两种情况列出方程组，再结合三角形三边关系验证，进而求出等腰三角形的腰长． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为， ①腰半腰，底半腰， ， 解得：， 此时三边长为：，，， 验证三边关系：，成立； ②腰半腰，底半腰， ， 解得：． 此时三边长为：，，， 验证三边关系：，成立； 答：这个等腰三角形的腰长是或． 18．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 19．（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． (1)求、的长； (2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形的中线．熟练掌握三角形的中线的性质，三角形周长公式，三角形面积公式，是解题的关键． （ 1）根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． （ 2）先求得的面积，根据，计算即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴． ∴的周长的周长 ． 即①． 又②， 得．， 解得． ∴． ∴和的长分别为：． （2）∵， ∴． ∵是边上的中线，E为的中点， ∴． ∴． 20．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的高； (3)在图2中，为与网格线的交点，在上画点，使得线段平分的面积； (4)在图2中，在的内部画点，使，且． 【答案】(1) 如图所示 (2) 如下图所示， (3) 平分的面积； (4) 如下图所示， 【分析】本题主要考查了借助网格线画图、三角形的中线与面积，解决本题的关键是借助网格找到符合条件的点． 根据中线的定义画出的中线； 根据三角形的高线的定义画出的高线； 由网格可知，可知，因为点到的距离为，所以当时即符合要求； 借助网格作出，根据网格即可求出． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：如下图所示， 由图可知，， ， 当时，的面积为， 平分的面积； （4）解：如下图所示， 在中，， ，， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $