专题1.5 等腰三角形重难点题型专训（7个知识点+16大题型+2大提高题型+自我检测）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦等腰三角形核心知识点，涵盖定义、性质（等边对等角、三线合一）、判定（等角对等边），延伸至等边三角形、含30°角直角三角形及直角三角形斜边上中线性质，构建从概念到应用的递进式学习支架。 资料通过16类基础题型与2类提高题型分层设计，结合生活实例（如检测横梁水平）培养数学眼光，以旋转、折叠问题发展推理思维，课中辅助分层教学，课后助力自我检测，强化知识应用与查漏补缺。

专题1.5 等腰三角形重难点题型专训 （7个知识点+16大题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 等腰三角形的定义】 9 【基础题型二 等边对等角】 13 【基础题型三 三线合一】 17 【基础题型四 找出图中的等腰三角形】 23 【基础题型五 根据等角对等边证明等腰三角形】 28 【基础题型六 根据等角对等边证明边相等】 32 【基础题型七 根据等角对等边求边长】 37 【基础题型八 等腰三角形性质和判定】 43 【基础题型九 等边三角形的性质】 47 【基础题型十 等边三角形的判定】 53 【基础题型十一 等边三角形的判定和性质】 59 【基础题型十二 含30度角的直角三角形】 65 【基础题型十三 斜边的中线等于斜边的一半】 70 【基础题型十四 直角三角形的两个锐角互余】 77 【基础题型十五 锐角互余的三角形是直角三角形】 84 【基础题型十六 旋转模型（全等三角形的辅助线问题)】 89 第二部分·练提高题型 【提高题型一 利用等腰三角形的性质和判定解决问题】 96 【提高题型二 解决与直角三角形有关的问题】 105 第三部分・自我检测 知识点01 等腰三角形的相关概念 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）线段，作等腰三角形，那么（    ） A．能作出的三角形只有1个 B．能作出的三角形只有2个 C．能作出的三角形只有3个 D．不能作出 【答案】B 【分析】有两种情形：三角形的三边分别为或； 【详解】解：已知线段，， 作等腰三角形， 有两种情形： 三角形的三边分别为或； 故选：B. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）在古代文明中，人们开始观察并研究各种自然形状和图案，其中包括等腰三角形．古希腊数学家对几何学进行了系统的研究，并提出了许多与等腰三角形相关的定理和性质．已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为 ___． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，分长为的边分别为腰和底边，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当长为的边为腰时，底边长为：， 此时：，三边能构成三角形，符合题意； 当长为的边为底边时，腰长为：， 此时：，三边能构成三角形，符合题意； 故答案为：或． 知识点02 等腰三角形的性质 1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴. 2. 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展 （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·福建泉州·阶段测试）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据旋转的性质得出及，从而判定为等腰直角三角形，即可得到的度数． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， ． 2．（2026八年级上 福建宁德·周测）用个全等的等腰三角形拼成如图所示的风车图案，则图中等腰三角形顶角的度数是_____． 【答案】 【分析】根据中心角由五个等腰三角形的底角围成，可先求底角，然后求顶角即可. 【详解】解：∵等腰三角形的底角为： ∴顶角为：． 知识点03 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定 （3）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南南阳·阶段测试）如图，在中，平分，．已知，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，进而得到，得到的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 故选C． 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，若，则的长度为__________． 【答案】2 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，先证明是线段的垂直平分线，得，，再证明是等边三角形得，由此可得出的长． 【详解】解：∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：2． 知识点4 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴. （2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南周口·阶段测试）如图，已知是等边三角形，D为边上的点，，经旋转后到达的位置，那么旋转了（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用等边三角形的性质求出，然后利用旋转的性质求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵经旋转后到达的位置，旋转到， ∴旋转了． 2．（25-26八年级上·上海金山·阶段测试）在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，可得平分，即可计算出的度数． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴平分， ． 知识点05 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有两个角是60°的三角形是等边三角形． （4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，即， ∴是等边三角形． 2．（24-25八年级上·河北邢台·阶段测试）下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 【答案】或 或 或或 【分析】根据等边三角形的判定，解答即可； 【详解】解：根据三边相等的三角形是等边三角形，可以填或； 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，也可以填或或． 知识点06 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段测试）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 2．（25-26八年级上·上海宝山·阶段测试）在中，，，，那么_____ 【答案】/30度 【分析】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握是解题关键． 根据直角三角形的性质，若直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为，据此求解即可． 【详解】解：在中，，，， ，且是的对边， ， 故答案为：． 知识点07 直角三角形的性质 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 在△ABC内作∠ACD=∠A，可得AD=DC(等角对等边），由∠B与∠A互余，∠BCD与∠ACD互余，可得∠B=∠BCD(等角的余角相等)，从而可得BD=DC(等角对等边），于是得到CD=-AB（这里 CD是斜边AB上的中线). 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西商洛·期中）如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得， 是的中点，， ，两点间的距离为， 故选：C． 2．（25-26八年级上·甘肃平凉·阶段测试）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 【答案】 【分析】首先利用三线合一性质得到，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 【基础题型一 等腰三角形的定义】 【例1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题需分两种情况讨论，分别讨论为腰长和为底边长的情况，计算后根据三角形三边关系验证能否构成三角形即可． 【详解】解：分两种情况讨论：情况1：当为腰长时 ∵等腰三角形周长为 ∴底边长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为； 情况2：当为底边长时， ∵等腰三角形周长为 ∴腰长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为， 综上，腰长为或． 【例2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 【答案】等腰三角形 【分析】根据，是的两边可知，进而根据得到，可知的形状一定是等腰三角形． 【详解】解：∵，是的两边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状一定是等腰三角形． 1．（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两边相等的性质分三种情况讨论，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：分三种情况讨论： ① 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ② 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ③ 当时， 解得，此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长是5或或14． 2．（25-26八年级上·河南南阳·阶段测试）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，验证三边关系后，根据“和谐比”的定义计算即可． 【详解】解：等腰的周长为，一边长为， ∴分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ， ∴满足三角形三边关系， 依题意，和谐比； 当为底边长时，腰长为， ， ∴满足三角形三边关系， 依题意，和谐比； 综上：等腰的“和谐比”为或， 3．（25-26八年级上·宁夏银川·阶段测试）已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是________． 【答案】14或16 【分析】先根据非负数的性质求出m和n的值，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 当腰长为6，底边长为4时，三边长为6，6，4，满足三角形三边关系，此时周长为； 当腰长为4，底边长为6时，三边长为4，4，6，满足三角形三边关系，此时周长为； ∴的周长是14或16． 4．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； (2)，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，即． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，然后求解即可； （2）延长，分别交、于F、G，证明，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型二 等边对等角】 【例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，，点E在直线上，连接，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据等边对等角求出，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【例2】（2026八年级上 河北邯郸·周测）如图，树叶上两点A，关于直线对称，P为上任意一点．若，则的度数为________． 【答案】/20度 【分析】根据轴对称的性质，可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵点A与点关于直线对称， ∴． ∵， ∴． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段测试）如图所示，，有以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】利用全等三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义以及等量代换推导即可． 【详解】解：， ，，，，故①正确； ，， ，，故②正确； 平分，故④正确； 无法判断出，故③错误； 综上所述，正确的有个． 2．（25-26八年级上·湖南娄底·阶段测试）如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点的对应点为，点的对应点为点，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】由平移可得对应点连线，由旋转可得对应角、，对应边，通过等边对等角得出，结合旋转对应角相等做等量代换，得到，即可证明平分，由此得出B、C、D正确，则不一定正确的是A． 【详解】解：∵将沿射线的方向平移，得到， ∴，故B正确； ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，得到， ∴，故C正确； ，， ∴， ∴， ∴平分，故D正确； ∴不一定正确的是A． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 【答案】25 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角，得到，求出，继而根据垂直平分线的性质与等边对等角进行求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段测试）如图，点C在线段上，． (1)找出一个与全等的三角形，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，的度数，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【基础题型三 三线合一】 【例1】（25-26八年级上·山西运城·阶段测试）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 【例2】（2023八年级上 山东临沂·单元测试）如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 【答案】 【分析】首先根据在中，，于点，得到是的中线，进而得到，再利用不同的方式表示的面积，化简即可得到与的关系，最后进行求解得到答案． 【详解】解：∵在中，，于点， ∴是的中线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 1．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段测试）下列说法错误的是（     ） A．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形 B．若三条线段长度之比为，则它们可以构成三角形 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形边的性质、三角形的中线、高线、角平分线的性质、垂线段的性质及等腰三角形的三线合一性质逐一判断即可． 【详解】解：选项A，因为三角形中线将原三角形分为两个等底同高的小三角形，所以两个小三角形面积相等，所以A选项正确，不符合题意； 选项B，设三条线段长度为，，（）， 因为， 所以三条线段可以构成三角形， 所以B选项正确，不符合题意； 选项C，等腰三角形只有底边上的高线，底边上的中线，顶角的角平分线互相重合，原说法未指明对应位置，因此C选项错误，符合题意； 选项D，根据垂线段的基本性质，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以D选项正确，不符合题意． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段测试）如图，在中，，于点D，垂直平分交于点E，交于点F，点P是线段上一个动点，则的周长的最小值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质求出的长，根据垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当三点共线时周长最小，最小值为 ． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， 垂直平分， ， 的周长， 两点之间线段最短， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 周长的最小值． 3．（25-26八年级上·宁夏银川·阶段测试）如图，等腰三角形的面积是24，腰的垂直平分线分别交于E、F两点，点M为线段上的一动点，点D为的中点，，连接． （1）连接，是否垂直于？____（填“是”或 “否”）； （2）的最小值为____． 【答案】 是 8 【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答；（2）连接，根据垂直平分线的性质可知要求的最小，即的值，然后根据面积公式可求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）连接，∵等腰三角形，且点D为的中点， ∴， 故答案为：是； （2）如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴． ∴， 当三点共线时，最小，最小值为的值， ∵三角形的面积为24，且， ∴， ∴， 即， 解得， 所以的最小值为8． 4．（25-26八年级上·福建福州·阶段测试）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 【基础题型四 找出图中的等腰三角形】 【例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段测试）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 【例2】（23-24八年级上·四川成都·阶段测试）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形． 【详解】解：∵AB＝AC＝BD， ∴△ABD与△BAC是等腰三角形， 在△ABD与△BAC中， ， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， ∴∠D＝∠C＝72°， ∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°， ∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°， ∴∠DAE＝∠CBE＝36°， ∴∠AED＝∠BEC＝72°， ∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC， ∴△ADE和△BCE是等腰三角形， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△ADE≌△BCE（AAS）， ∴AE＝BE， ∴△ABE是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 3．（22-24八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有_____个．   【答案】3 【分析】根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，从而判断等腰三角形的个数． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 由题图可知，平分， ∴， ∴，， ∴,， ∴是等腰三角形，， ∴是等腰三角形． 综上可知，题图中的等腰三角形有，，，共3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、尺规作图——角平分线，掌握“等角对等边”是解决此题的关键． 4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段测试）已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）． 【答案】 解：所画直线如图所示： 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据所给条件，结合等腰三角形判定进行分析，即可解题． 【详解】略 【基础题型五 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例1】（25-26八年级上·全国·周测）在中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，关键是根据由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理解答． 根据等腰三角形的判定定理，有两边相等或两角相等的三角形是等腰三角形．分别验证各选项是否符合判定条件． 【详解】解：A、 ， ∴ 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； B、∵ ， ，没有两边相等， ∴ △ABC不是等腰三角形，不能判定是等腰三角形，符合题意； C、∵ ， ， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； D、， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列命题：①成轴对称的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，其中真命题的个数为______ 【答案】3 【分析】本题考查命题真假的判定，全等三角形的判定与性质，轴对称图形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和轴对称图形的判定与性质是解题的关键．根据轴对称的性质判定①；根据全等三角形的定义判定②；根据等腰三角形判定判定③；根据轴对称图形的有定义判定④． 【详解】解：成轴对称的两个三角形全等，故①是真命题； 面积相等的两个三角形不一定全等，故②是假命题； 有两个内角相等的三角形是等腰三角形，故③是真命题； 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故④是真命题； ∴真命题有①③④共3个， 故答案为：3． 1．（2026八年级上 广西玉林·单元测试）如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质和已知条件证明 是等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解： ，即 是等腰三角形 对于 A，若 ，则 ， 是等边三角形，故 A 不符合题意； 对于 B，若 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 B 不符合题意； 对于 C，若 ，则 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 C 不符合题意； 对于 D，若 平分 ，只能得到 ，无法推出 的内角为 或三边相等，故 D 符合题意． 2．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段测试）如图，在中，点为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定； 连接、，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接、， ∵点为角平分线交点， ∴和分别平分和， ∴， ∵将平移，使其顶点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即图中阴影部分的周长为． 故选：D ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是_________． 【答案】等腰三角形 【分析】该题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠前后角度不变是解题的关键．根据折叠的性质得到，而，即可得，证得，从而得到的形状． 【详解】解：在长方形纸片中， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 4．（25-26八年级上·全国·阶段测试）在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)仍然成立吗？ 【答案】(1)图中有2个等腰三角形 (2)解：成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此和是等腰三角形； （2）由（1）得到，，根据线段的和差即可得到． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形． 综上所述，图中有2个等腰三角形． （2）略 【基础题型六 根据等角对等边证明边相等】 【例1】（25-26八年级上·河南平顶山·阶段测试）在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”时，需添加辅助线．如图，已知，求证．小明对辅助线的描述采取了三种不同方法：①作顶角平分线；②作底边上的高；③作底边上的中线．能够判定的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】由角平分线，高和中线的定义得到，，，然后分别根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：①作顶角平分线， ∴， 又∵，， ∴； ②作底边上的高， ∴，即， 又∵，， ∴； ③作底边上的中线， ∴， 结合，，构成，不能证明． 综上所述，能够判定的是①②． 【例2】（25-26八年级上·辽宁·期中）如图，，，图中共有全等三角形____对． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，由等角对等边得出，利用即可证明，从而得出，再利用即可证明，从而得解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； 综上所述，图中共有对全等三角形， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段测试）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，已知，，则的周长为（     ） A． B．5 C．10 D．13 【答案】C 【分析】由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：在长方形中，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，过点作交于点，交的平分线于点，若，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“角平分线+平行线”构造出等腰三角形，从而将线段和转化为和的长． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·江西景德镇·阶段测试）在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 【答案】 【分析】先运用平行线的性质推出，，再运用角平分线的性质推出，，运用等量代换结合等角对等边的性质推出，，最后根据，代入数值即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．（2023八年级上 浙江温州·周测）在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． (1)求证：； (2)若平分，且，，求的周长． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ； (2)11 【分析】（1）根据题意找出全等条件即可； （2）根据平行及角的关系说明，进而求出，即可得到的周长． 【详解】（1）略； （2）解： 平分， ， 由（1）可知， ， ， ， ． ，， 的周长， 即的周长是11． 【基础题型七 根据等角对等边求边长】 【例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据等角对等边，由 可得 ，由 可得 ，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例2】（25-26八年级上·福建泉州·阶段测试）如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 【答案】1 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，推出，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：1． 1．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可． 【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等； B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等． 2．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形，是解题的关键． 根据角平分线平行可以证明等腰三角形，所以可得，，从而由求出，即可求解的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】首先根据、，可证是等边三角形，再证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：∵、， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 4．（25-26八年级上·内蒙古·阶段测试）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 【基础题型八 等腰三角形性质和判定】 【例1】（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期中）下列说法正确的是（　　）． A．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线 B．在同一平面内，两条不平行的线段必相交 C．三角形的三条高线交于一点 D．有一个内角为的等腰三角形是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查多个基础几何概念，逐一判断各选项的正误即可得到答案． 【详解】解：选项：等腰三角形的对称轴是直线，而底边上的中线是线段，对称轴应为底边上的中线所在的直线，选项不符合题意； 选项：同一平面内，只有不平行的直线才必相交，线段不延长时，不平行也可以不相交，选项不符合题意； 选项：三角形的高线是线段，只有三条高线所在的直线交于一点，钝角三角形的三条高线是线段不相交，选项不符合题意； 选项：若为等腰三角形的顶角，则两个底角和为，等腰三角形两底角相等，因此每个底角为，三个内角均为， 若为等腰三角形的底角，则另一个底角也为，顶角为，三个内角也均为，所以有一个内角为的等腰三角形是等边三角形，选项符合题意． 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均为格点，连接，，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段测试）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，旋转角，先利用等腰三角形两底角相等求出的度数，再结合等量代换得到的度数，最后根据平角为计算出的大小． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ． 2．（25-26八年级上·山东威海·阶段测试）如图，已知，按照以下步骤作图：①分别以点A，点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交，于点D，E；②以A为圆心，的长为半径画弧，交直线于点P，连接． 下列结论错误的是（    ） A． B． C．是等腰三角形 D．垂直平分 【答案】B 【分析】根据作图步骤可知是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及平行线的判定定理对各选项进行判断即可． 【详解】解：由作图步骤①可知，是线段的垂直平分线， ，， 是等腰三角形，故C选项结论正确； ，由作图步骤②可知，， ，即， 根据等腰三角形“三线合一”性质可知，平分，且平分， ，垂直平分，故D选项结论正确； ， ，故A选项结论正确； 无法证明，故B选项结论错误． 3．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如下图，有一个长方形纸片，厘米，厘米，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，的面积是( )平方厘米． 【答案】32 【分析】根据折叠易得，长，利用等腰直角三角形的性质求得的长度，的面积． 【详解】解：由折叠的性质知，第二个图中，， ∴， 第三个图中， ∴，则， ∴， ∴的面积(平方厘米)． 4．（25-26八年级上·全国·阶段测试）如图，在等腰中，，点D是的中点，且，试判断的形状． 【答案】解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵等腰中，，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形． 【分析】根据等腰得到，由“三线合一”得到，，即可推出，，从而证明，得到，，因此可得，所以是等腰直角三角形． 【详解】略 【基础题型九 等边三角形的性质】 【例1】（2026八年级上 陕西西安·周测）将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等边三角形平行线间的顶点处作m和n的平行线，利用平行线的性质，通过等量代换得到，再计算即可． 【详解】解：如图，设等边三角形为，过点作， ∵， ∴， ∴，， 在等边三角形中，， ∴， ∴． 【例2】（2026八年级上 福建厦门·单元测试）如图，P是等边的边上一点，以点A为中心，把逆时针旋转至，则旋转的角度为______°． 【答案】60 【分析】由旋转得，得，从而可求旋转角． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转得， ∴， 又旋转角为， 而， ∴． 1．（25-26八年级上·广东深圳·阶段测试）如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】证明以及所有的小等边三角形全等，进而解题． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ ． 2．（2026八年级上 江苏连云港·周测）如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出，结合求出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴， ， （两直线平行，同位角相等）． 3．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，在等边中，点在上，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．要使点D恰好落在上，则的长是_____ 【答案】 6 【分析】根据等边三角形的性质得出，由旋转的性质得出，，利用平角的定义及三角形内角和定理推导出，结合判定，利用全等三角形的性质得出，代入数值计算即可． 【详解】解：点D恰好落在上时，如图， 是等边三角形， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 点在上， ， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 4．（2023八年级上 江苏盐城·单元测试）已知为等边三角形，点为直线上一动点（点不与点，点重合）．以为边作等边三角形，连接． (1)如图，当点在边上时． 求证：； 直接写出线段，与三者之间的数量关系：______（不需证明）； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请画出图形，写出，，三者之间存在的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)①∵和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中： ​， ． ②． (2)数量关系：，证明如下： 在延长线上取点，作等边，连接． 、为等边三角形， ，，， 即， 在和中： ， ， ∴， 又， ． 【分析】（1）①根据等边三角形的边相等、内角为的性质，因为和都是等边三角形，所以可得到，且，通过等式变形得到夹角，用判定定理证明三角形全等．②利用①中全等三角形对应边相等的结论，结合的线段和关系，推导三条线段的数量关系． （2）先按要求画出点D在延长线上的图形，同理先证明，再根据此时的线段和关系，推导对应的三条线段数量关系． 【详解】（1）①略． ②数量关系：．理由： ∵， ∴， ∵， ∴ （2）略． 【基础题型十 等边三角形的判定】 【例1】（23-24八年级上·内蒙古乌海·阶段测试）已知的三边a、b、c满足，则是（   ） A．等腰但非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的定义，掌握绝对值的非负性是解题关键．利用绝对值的非负性，和为零则每个绝对值为零，推导出三边相等，即可得解． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·山西太原·期中）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解． 【详解】解：括号内填（答案不唯一）可以使等腰成为等边三角形． 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段测试）已知：如图，，，分别为边，上的高线，且． 求证：为等边三角形． 证明：，，◎， （全等的判定方法为★） ⊙ ⊙ ，即为． 则回答错误的是（   ） A．◎代表 B．★代表 C．⊙代表 D．代表等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定． 根据全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定补全证明过程判断即可． 【详解】证明：，，， （全等的判定方法为） ，即为等边三角形． 即◎代表=，★代表，⊙代表，代表等边三角形， 只有选项B符合； 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·阶段测试）如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（   ） A． B．垂直平分 C．是等边三角形 D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，则可得到，求出，，则可证明是等边三角形，再证明，得到，则可证明垂直平分，可证明，则可证明，据此可得答案． 【详解】解：∵将折叠，使点落在点处，为折痕， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∴， ∵在中，， ∴，， ∴是等边三角形，，故C结论正确，不符合题意； 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分，故B结论正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟知折叠的性质是解题的关键． 3．（25-26八年级上·新疆·期中）如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，，与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的序号是______． 【答案】①②③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键．首先证明，得到，得到是等边三角形，判断②正确；根据与都是等腰直角三角形，进而推出，再根据三线合一的性质得到①③正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，进而根据等边三角形的性质即可推出的度数为，判断④正确． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故②正确 ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴为的角平分线， ∵为等腰三角形， ∴垂直平分，故①正确， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴是的边上的中线， ∴，故③正确， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，且是上边的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为，故④正确， 综上所述，①②③④都正确． 故答案为：①②③④． 4．（25-26八年级上·山东济南·阶段测试）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 【基础题型十一 等边三角形的判定和性质】 【例1】（25-26八年级上·河北保定·阶段测试）如图是人字梯的示意图，若支架，的长度都为（连接处忽略不计），当B，C之间的距离为时，不用测量就可以知道的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，由题意可得，从而得出为等边三角形，即可得出结果，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段测试）如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段检测）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；②由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得：，即可得出结论；④根据，，可知，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知⑤正确． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，，故①正确； ②， 在和中， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③ 与②的过程同理得：， ∴，故③正确； ④∵，， ∴ ∴， ∵， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①②③⑤． 2．（25-26八年级上·河南安阳·阶段测试）下面是某个机械装置的连杆装置及简易图，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方固定一小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，将杆从水平位置缓慢向上拉起．已知，当杆与水平面夹角为时，测得，则此时点到水平线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 先过点作于，过点作于，利用等腰三角形三线合一求出的长度，再通过角的关系证明，从而得到，进而求出点到水平线的距离． 【详解】解：过点作于，过点作于． ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，将沿射线方向平移3个单位长度，得到，连接，则的长为__________． 【答案】6 【分析】根据平移的性质得出，，，然后证明是等边三角形，最后根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵沿射线方向平移3个单位长度，得到， ∴，，， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段测试）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ； （2）略 【基础题型十二 含30度角的直角三角形】 【例1】（25-26八年级上·山东淄博·阶段测试）在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】过点作于点，求出，的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的中线，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴的面积为． 【例2】（25-26八年级上·福建厦门·阶段测试）如图，平分，于点D，E是边上的一点，连接，，若，则线段的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，过点作于点，由直角三角形的性质求出，再根据角平分线的性质可得即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·山西运城·阶段测试）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】过点作于点D，根据含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，求出，分割法推出阴影部分的面积即为的面积，即可得出结果. 【详解】解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】延长交于点E，证明是直角三角形，由直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵在四边形中，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·河北邢台·阶段测试）如图，在池塘两岸有四个点、、、，且它们在同一直线上（、之间不能直接测量），点、在直线异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若连接、，则与的数量关系是； (3)现测得，，求池塘两岸的宽度． 【答案】(1)证明：， ， 在和中，， ； (2)； (3)． 【分析】（1）先由平行线性质得到，再结合题中所给条件通过“”证明全等； （2）根据证明，即可得到与的数量关系； （3）根据得到，根据30度角的性质作答即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图， ∵， ∴，，， ∴，， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【基础题型十三 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】C 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接， ∵电线杆与地面垂直， ∴， ∵点D是的中点， ∴在中，（米）， 即，两点间的距离为4米． 【例2】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）等腰直角三角形顶角平分线和底边的位置关系是______，数量关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质（三线合一、斜边上中线的性质），解题的关键是利用等腰三角形“三线合一”判定位置关系，结合等腰直角三角形斜边上中线的特殊性推导数量关系． 先根据等腰直角三角形的定义明确顶角与底角，利用“三线合一”得出顶角平分线与底边的位置关系；再结合等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，确定二者的数量关系． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵是顶角平分线， ∴由等腰三角形“三线合一”得，且D为中点， ∵等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴． 故答案为：；． 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段测试）如图，在等腰三角形中，是顶角平分线，分别为两腰的中点，关于①、②、③，正确的有（    ） ①平分的面积；②为直角三角形；③ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是掌握以上性质． 利用等腰三角形的三线合一以及直角三角形斜边中线定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴， ∴， ∴平分的面积， 故①正确； ②∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确； ③∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴，， ∴， ∵分别为两腰的中点， ∴， ∴， 故③正确； 综上，正确的有①②③， 故选：A． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段测试）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，延长交于点，再延长至点，使得．已知，则下列说法正确的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质及线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 根据全等三角形的性质得出，，，，，即可得出，根据等腰三角形的性质得出，即可得出是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及等边对等角得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质及外角性质可得，得出A选项正确；若平分，可得，根据含角的直角三角形的性质得出，根据可得出不成立，判定B选项错误；根据，可判定C选项错误；根据正方形面积公式及三角形面积公式得出，可判定D选项错误；综上即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四个全等的直角三角形围成正方形和正方形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故A选项正确，符合题意； 若平分，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴不成立，则平分不成立，故B选项错误，不符合题意； ∵，， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵，， ∴，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知等腰直角三角形的底边长是其腰长的倍．如图，和是等腰直角三角形，，点在上，是的中点，连接．若，则的长的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，可证明得到，则可证明，由直角三角形的性质得到，由垂线段最短可知，当线段，有最小值，则此时有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知，当线段，有最小值， ∴此时是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图所示，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，点E、F分别在上，经过旋转到了的位置． (1)和之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ (2)与相交于点G，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)可看成绕点D顺时针旋转得到 (2)解：，理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是斜边上的高， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）证明， 即可得到结论． 【详解】（1）解：可看成绕点D顺时针旋转得到． 理由如下： ∵经过旋转到了的位置， ∴，． ∵为斜边上的高， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴绕点D顺时针旋转得到． （2）略 【基础题型十四 直角三角形的两个锐角互余】 【例1】（25-26八年级上·甘肃天水·阶段测试）如图，在内引射线，作于点D，于点E，若，，下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用证明，即可判断A； 根据可得出，即可判断B； 根据可得出，，从而可求得，即可判断D； 再求得，即可判断C． 【详解】解：∵作于点D，于点E， ∴， 在与中， ， ∴， 故A正确，但不符合题意； ∵， ∴， 故B正确，但不符合题意； ∵， ∴，， ∴， 故D正确，但不符合题意； ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 【例2】（2025八年级上 福建泉州·周测）小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，直角三角形两个锐角互余，解题关键利用直角三角形两个锐角互余求出相应角度． 根据求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得：． 故答案为：． 1．（2026八年级上 福建福州·周测）光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对顶角相等的性质得，通过角度差计算出，接着依据 “一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条” 的平行线性质，由 且 推导出 ，得到直角，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出角 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为法线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2026八年级上 浙江绍兴·周测）如图，已知斜面与水平面的夹角，一个木块静止在斜面上，其所受重力G方向竖直向下，支持力F方向垂直于斜面向上．若表示G与F两个方向之间的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得：，根据直角三角形的性质可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3.（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或 【分析】要分类讨论，当等腰三角形的顶角是钝角或等腰三角形的顶角是锐角两种情况，然后作出示意图，在锐角三角形中，由可得，结合，即可求出顶角度数；在钝角三角形中，由可得，根据邻补角的性质即可解答． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图： ∵ ∴， ②当为钝角三角形时，如图： ∵， ∴ ∴， 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 4．（25-26八年级上·广东广州·阶段测试）如图，，点为上一点，且，点为直线上一动点，的角平分线交于点． (1)若，求证：； (2)设的角平分线交于点． ①若点在射线上运动的过程中，的大小是否发生变化？如果不变，求的度数，如果变化，请说明理由； ②若，求的度数． 【答案】(1)证明：是的平分线， ， ， ， ； (2)①不变，；②或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，即可解答； （2）①设，利用角平分线的定义即可解答； ②分两种情况，即点在上方或点在下方，分别计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①不变， 是的角平分线， ， 设， ， ，， ， ， 是的平分线， ， ； ②如图，点在上方， ， ， ， ； 如图，点在下方， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，或． 【基础题型十五 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 故选：B． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，若，则___________；若，则___________，此时是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴在中，若，则， ∵在中，， ∴， ∴当时，是直角三角形． 故答案为：；；直角． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点． (1)若，求的度数； (2)若交于点． ①求证：平分； ②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ①证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【分析】（1）根据平角的定义和，求出，结合平分，即可求解． （2）①根据，得出，结合，即可得，得证；②根据，，得出，结合，，，证出，即可证，得出，从而可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）略 【基础题型十六 旋转模型（全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（23-24八年级上·河南南阳·阶段测试）如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 【答案】D 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB＝∠C'CA＝62°，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解． 【详解】解：∵CC'∥AB， ∴∠CAB＝∠C'CA＝62°， ∵将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置， ∴AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'， ∴∠AC'C＝∠ACC'＝62°， ∴∠CAC'＝180°-2×62°=56°＝∠BAB'， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和，求得的度数是解题的关键． 【例2】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段测试）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 1．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）如图，是边长为1的等边的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转，得到、、，连接、、、、．当的周长取得最大值时，此时旋转角的度数为（   ） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】连接OA、OB、OC、．由△OA≌△OC推出∠O＝∠O＝120°，则有△O≌△O≌△O，＝＝，△是等边三角形，当O、C、共线时，O＝OC+C＝OC+CA＝+1时，O最长，此时＝•（+1）＝1+，α＝150°． 【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、． ∵O是等边三角形△ABC是中心， ∴∠BAO＝∠ACO＝30°，OA＝OC， ∵∠BA ＝∠AC＝α， ∴∠OA＝∠OC， 在△OA和△OC中， ， ∴△OA≌△OC（SAS）， ∴∠AO＝∠CO，O＝O， ∴∠O＝∠AOC＝120°， 同理可证∠O＝∠O＝120°，O＝O， 则有△O≌△O≌△O， ∴＝＝， ∴△是等边三角形， 在△O中， ∵∠O＝120°，O＝O， ∴当O最长时，最长， ∵O≤OC+C， ∴当O、C、共线时，O＝OC+C＝OC+CA＝+1时，O最长， 此时＝•（+1）＝1+，α＝150°， ∴△的周长的最大值为3+3． 故选：D 【点睛】本题考查旋转变换、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、最大值问题等知识，解题的关键是灵活应用全等三角形的判定，学会利用三角形的三边关系解决最大值问题． 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．证明△TBP≌△CBQ（SAS），推出CQ=PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=5． 【详解】解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H． ∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴AB=2BC，∠ABC=60°， ∵AT=TB， ∴BC=BT， ∵BP=BQ，∠CBT=∠PBQ， ∴∠CBT-∠PBC=∠PBQ-∠PBC，即∠TBP=∠CBQ， ∴△TBP≌△CBQ（SAS）， ∴CQ=PT， 根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=AB=5， ∴CQ的最小值为5． 故选A 【点睛】本题考查旋转变换，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 3.（23-24八年级上·贵州遵义）在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______． 【答案】6 【分析】延长BC到F，使BF=2BC，得是等边三角形，再证明得即可解题． 【详解】解：延长BC到F，使BF=2BC，即， ∵在中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵在等边三角形中，，， ∴， ∴ （SAS）， ∴， 又∵，E为边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了等边三角形性质和判定、全等三角形性质和判定．解题关键是补全图形构造手拉手全等模型，从而由得． 4．（24-25八年级上·山东济南·阶段测试） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）略 （2）略 【提高题型一 利用等腰三角形的性质和判定解决问题】 【例1】（2025八年级上 江苏盐城·周测）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【例2】（25-2八年级上·全国）如图，在等边中，点分别是的中点，点是上一动点，当的周长最小时，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，等角对等边，等边三角形的性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半． 作点关于的对称点，连接，交于点，根据三线合一得到是的平分线，是的垂直平分线，即，，根据点是的中点，为定值，可知要使的周长最小，即最小，当三点共线时，即点与点重合，取得最小值，最小值为的长，根据三线合一得到，进而得到，即，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半得到，可知． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点． 是等边三角形，且点是的中点， 是的平分线，是的垂直平分线， ， 点是的中点，为定值， ∴要使的周长最小，即最小． （两点之间线段最短）， ∴当三点共线时，即点与点重合，取得最小值，最小值为的长， 点是的中点， 由对称性可得，点为的中点， 是的平分线， ， ， ． ， ∴， ． 故选：D． 1．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画圆，两个圆与格点的交点，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、、、、即为第三个顶点的位置，故以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出个． 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东烟台·阶段测试）如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 【答案】D 【分析】过作延长线于，连接，，，根据角平分线的定义证得，证明得到，，再证明得到，，进而可判断选项D正确；假设是的垂直平分线，证明得到，则根据垂直平分线的判定可得点、、共线，这种情况不一定成立，故假设不成立，可判断选项B错误；假设，则，可证明得到，可得，与矛盾，可知选项C错误；现有的条件无法证明，可判断选项A错误，进而可得答案． 【详解】解：如图，过作延长线于，连接，，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是中点，， ∴是的中垂线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故选项D正确，符合题意； 对于选项B，假设是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，即点、、共线， 由图知，这种情况不一定成立，故假设不成立，即选项B错误，不符合题意； 对于选项C，假设，则， ∴， ∵， ∴， ∴在中，这与矛盾，故选项C错误，不符合题意； 对于选项A，现有的条件无法证明，故选项A不符合题意． 3．（25-26八年级上·山东东营·阶段测试）如图，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则_____________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的判定定理得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ，， 以此类推：． 4．（23-24八年级上·四川成都·阶段测试）已知，在中，，于点D，E是上一点，满足：；将绕点E顺时针旋转，交于点F． (1)如图1， ①试说明：； ②若，请探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若E是线段的中点，求的值． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ∵将绕点E顺时针旋转，交于点F， ， ， ， ； ②，理由如下： 过F作于H， 由①知，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． (2)3 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到，再根据旋转性质和余角性质得到，然后根据等角对等边可得结论； ②过F作于H，则，证明得到即可得到结论； （2）过F作于G，根据等腰三角形的性质，结合已知可得，由推导出，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）①略； ②略 （2）解：如图，过F作于G， 是线段的中点， ， 由（1）知， ， ∵， ， ， ， 即， ， ， ． 【提高题型二 解决与直角三角形有关的问题】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置，若，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，设与交于点，根据平移的性质，结合等腰三角形的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据，利用梯形的面积公式即可得出阴影部分面积． 【详解】解：如图，过点作于，设与交于点， ∵， ∴， ∵将沿着一定方向平移到的位置， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例2】（25-26八年级上·辽宁铁岭·阶段测试）如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 【答案】10 【分析】由折叠可得，点是的中点，再根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为， ∴， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴． 1．（25-26八年级上·河南开封·阶段测试）如图，在中， 平分，交边上的高于点．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先证，再证，推出，在中，利用含30度的直角三角形的性质，得，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， 中，， ， ， ． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，，，点是的中点，点为内一点，，若已知的面积，则一定可以求出（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．的面积 D．的面积 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，直角三角形的判定，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 过点作，交延长线于点，先由同角的余角相等得，再通过三角形内角和定理，等边对等角，证明，则，即可证，则，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴若已知的面积，则一定可以求出线段的长． 故选：B． 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·阶段测试）如图，，，，延长交于F，若，则________． 【答案】 【分析】由，得到是等边三角形，由等边三角形的性质和，推出，再由，推出，从而求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·上海·阶段测试）如图，已知在中，，是高，是中线，是的角平分线，求证：． 【答案】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据是的角平分线，可得，再由是高以及，可得，根据直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求证． 【详解】略 1．（25-26八年级上·山西长治·阶段测试）若、、分别是的三边长，且，则以下关于的形状及其周长的取值范围的描述正确的是（     ） A．直角三角形； B．等腰三角形； C．直角三角形； D．等腰三角形； 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质判断三角形形状，再根据三角形三边关系求出周长的取值范围，最终得到正确选项 【详解】解：∵，，且 ∴， ∴，， ∴是等腰三角形，排除A、C选项； 设，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得 即 三角形周长，变形得 将代入得，即 ∴是等腰三角形， 2．（25-26八年级上·山西晋中·阶段测试）如图，已知是的角平分线，点是上一点，且，连接，与交于点，连接．则下列结论正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等边对等角即可证明①正确；根据等腰三角形三线合一即可证明②正确；证明，即可证明③④正确． 【详解】解：∵， ∴； 故①正确； ∵， ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴； 故②正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴；． 故③④正确； 综上可知，正确的是①②③④． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段测试）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 4．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知中，，点在上，连接，、是两点上，连接延长线交于点，当，且时，的长为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.2 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 5．（25-26八年级上·河南商丘·阶段测试）如图，在正方形网格中有线段，点在网格的格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明得到，，可证明，进而得到，再根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 由网格的特点可得，，， ， ，， ， ， ， ， ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等角对等边的性质是解题的关键． 先计算各角的度数，利用角平分线性质、全等三角形判定，结合等角对等边逐一判定等腰三角形的个数． 【详解】解：在中，， 是的平分线， 是角平分线，，∴点到和的距离相等，即，∴是等腰三角形； 在和中，，，是等腰三角形； 在中，，是等腰三角形； 在中，且，是等边三角形，， 在中，，，是等腰三角形； 综上所述，图中的等腰三角形有△BDE、△ABE、△ACD、△BEC，共4个． 故选：C． 7．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，，点是的中点，连接、、，则图中等腰三角形有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的判定，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：点是的中点， ， ， ， ，，，，是等腰三角形． 故选：D 8．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）已知等腰中，边上的高恰好等于的一半，则的度数是（） A． B．或或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外角的性质；本题考查等腰三角形的性质，需分情况讨论：当为底边时，；当为腰且高在三角形内部时，；当为腰且高在三角形外部时，． 【详解】解：设边上的高为，为垂足，则． ①当为底边（）时： ，， ， 又， 为等腰直角三角形，， 同理， ． ②当为腰且，高在三角形内部时： 在中，， 取的中点，连接， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ， ， 又，， 设，则，解得， ． ③当为腰且，高在三角形外部时： 在中，， 同理可得， ，且， ， 设，则，解得， ． 综上，的度数为或或， 故选：D． 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，连接，两边，分别交、于点E、F，连接，过点F作于点H，在线段上截取，连接．现给出以下三个结论：①；②是等腰直角三角形；③当时，，上述结论中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证得，推出，，即可判断①②；由，，得到，进而推出，求得，，由，得到，，从而得到，即可判断③． 【详解】解：∵在中，，，点P是的中点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故①②正确，符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意． 10．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在长方形中，连接，将沿着翻折至长方形所在的平面内，得，与交于点F，O为的中点，连接．若，，则线段EF的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵将沿着翻折至长方形所在的平面内，得， ∴ ∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 11．（25-26八年级上·四川达州·阶段测试）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为__________ ． 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可知，，周长转化为，当，，三点共线时，周长取得最小值，从而解得，即可求解的面积． 【详解】解：连接，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵点为的中点， ∴， 周长， 当，，三点共线时，周长取得最小值， 此时，周长最小值， 解得， 的面积． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段测试）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，．若，，则___________． 【答案】5 【分析】如图，过点C作，交的延长线于点G，交延长于点H，先证明是等腰直角三角形，得，设，则，再证明，得，然后证明，得，根据CH=7列方程可得结论． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于点G，交延长于点H， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形面积，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识，注意根据题意作出辅助线是关键． 13．（25-26八年级上·四川成都·阶段测试）如图，有两个边长为5的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合，在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积为______． 【答案】 【分析】设交于点T，交于点S，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，，证明，得到，则可得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，设交于点T，交于点S，连接， 由题意得，点E为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·山东淄博·阶段测试）如图，在中，，，P是直角边上一动点，连接，在的右侧作等边，连接．若，则周长的最小值为______． 【答案】/ 【分析】先得到，设中点为，点关于的对称点为，连接，则为等边三角形，得到，再证，得到，然后可得． 【详解】解：在中，，，， ，， 设中点为，点关于的对称点为，连接， 则，又， 为等边三角形， 中点为， ，，， 又为等边三角形， ，，即， 又， ， 在和中， ， ， ， 则周长， 则周长的最小值为． 15．（25-26八年级上·安徽六安·阶段测试）如图，在中，，，为的中点，将绕着点逆时针旋转至． （1）求______；（用含的式子表示） （2）当时，的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质． （1）根据中点的定义和旋转的性质可得，根据等边对等角可知，根据三角形外角的性质可得； （2）连接，可知，即可求出，根据，可知，根据三角形内角和定理可得，解方程即可求出的度数． 【详解】（1）解：为的中点， ， 由旋转可知， ， ， 是的外角， ， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，连接， ，为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 16．（2023八年级上 四川成都·单元测试）已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： (1)在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） (2)在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有 个． (3)如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；4 (3)△BMN的周长不变，其周长为12 【分析】（1）易得，根据等边三角形的性质，等边对等角推出，根据三角形的面积公式，列出函数解析式即可； （2）分三种情况进行讨论求解即可； （3）延长至点F，使，连接，证明，得到．再证明，得到，推出的周长为定值即可. 【详解】（1）解：如图1，由题意，得， ∵， ∴， ∵等边的边长为6， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，（i）当D点在上， ①以D为顶点，， ②以O为顶点，， （ii）当D点在上， ∵，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形， 以O为顶点时，． （iii）当D点在上时， 此时的最短距离为时，此时，不存在以O为顶点的等腰三角形； 当以C为顶点时，D点和A点重合， 当以D为顶点时，， 综上所述，这样的点D共有4个； （3）解：的周长不发生变化．理由如下： 延长至点F，使，连接，如图3， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴． ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∴． ∴的周长不变，其周长为12． 17．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）我们已经学习了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． (1)请你根据给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，是的平分线，点在上，，垂足分别为，求证：． (2)如图2，是的平分线，点在上，，垂足分别是，．过点作交于点，在上取一点，使得，若，求线段的长． 【答案】(1) 证明：， 是的平分线， ． 又， ， ． (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）运用证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）运用证明可得，再根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边可得，再根据等量代换即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得． ， ． ， ． 又， ， ， ． 18．（25-26八年级上·山东威海·阶段测试）如图，在等边三角形中，，点在边上，连接，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)点关于直线的对称点为，连接．补全图形并证明． 【答案】(1)证明：∵等边和等边， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ； (2)补全图形如下： 证明：∵点和点关于对称， 垂直平分， ， ， ∴，即， 由得， ． 【分析】证明即可求证； 由轴对称可得垂直平分，得到，进而由等腰三角形的性质得，即得到，又由全等三角形的性质得，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 19．（25-26八年级上·山西吕梁·阶段测试）综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ． ， 为等边三角形， ， ，即． ， ， ． 在和中， ， ； (2) (3)证明：过点作，交于， 是等边三角形，， ∴， ∴，即①． ②，③， 由①②③知，， ． ， ． (4)的长为或 【分析】（1） 利用等边与推出两个等边三角形，得到边、角相等，通过证； （2） 结合中点、等边、等腰三角形角度推导，证； （3） 作平行线构造小等边三角形，用证全等，推导出； （4） 分、两类讨论，结合等边边长与等腰性质计算长度． 【详解】（1）略 （2）解：为等边三角形，是中点， ， ， ． ， ． ． 为AC中点，， ． （3）略 （4）解：已知，为直角三角形，分情况讨论： ①当时，如图， 是的中线， ， 由（1）知，， ； ②当时，如图， ． ， ， 由（3）知，， ； 综上，的长为或． 20．（25-26八年级上·四川成都·阶段测试）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 等腰三角形重难点题型专训 （7个知识点+16大题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 等腰三角形的定义】 6 【基础题型二 等边对等角】 7 【基础题型三 三线合一】 9 【基础题型四 找出图中的等腰三角形】 11 【基础题型五 根据等角对等边证明等腰三角形】 13 【基础题型六 根据等角对等边证明边相等】 15 【基础题型七 根据等角对等边求边长】 16 【基础题型八 等腰三角形性质和判定】 19 【基础题型九 等边三角形的性质】 20 【基础题型十 等边三角形的判定】 22 【基础题型十一 等边三角形的判定和性质】 24 【基础题型十二 含30度角的直角三角形】 26 【基础题型十三 斜边的中线等于斜边的一半】 28 【基础题型十四 直角三角形的两个锐角互余】 30 【基础题型十五 锐角互余的三角形是直角三角形】 32 【基础题型十六 旋转模型（全等三角形的辅助线问题)】 34 第二部分·练提高题型 【提高题型一 利用等腰三角形的性质和判定解决问题】 36 【提高题型二 解决与直角三角形有关的问题】 38 第三部分・自我检测 知识点01 等腰三角形的相关概念 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）线段，作等腰三角形，那么（    ） A．能作出的三角形只有1个 B．能作出的三角形只有2个 C．能作出的三角形只有3个 D．不能作出 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）在古代文明中，人们开始观察并研究各种自然形状和图案，其中包括等腰三角形．古希腊数学家对几何学进行了系统的研究，并提出了许多与等腰三角形相关的定理和性质．已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为 ___． 知识点02 等腰三角形的性质 1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴. 2. 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展 （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·福建泉州·阶段测试）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026八年级上 福建宁德·周测）用个全等的等腰三角形拼成如图所示的风车图案，则图中等腰三角形顶角的度数是_____． 知识点03 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定 （3）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南南阳·阶段测试）如图，在中，平分，．已知，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，若，则的长度为__________． 知识点4 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴. （2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南周口·阶段测试）如图，已知是等边三角形，D为边上的点，，经旋转后到达的位置，那么旋转了（       ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海金山·阶段测试）在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 知识点05 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有两个角是60°的三角形是等边三角形． （4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 2．（24-25八年级上·河北邢台·阶段测试）下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 知识点06 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段测试）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 2．（25-26八年级上·上海宝山·阶段测试）在中，，，，那么_____ 知识点07 直角三角形的性质 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 在△ABC内作∠ACD=∠A，可得AD=DC(等角对等边），由∠B与∠A互余，∠BCD与∠ACD互余，可得∠B=∠BCD(等角的余角相等)，从而可得BD=DC(等角对等边），于是得到CD=-AB（这里 CD是斜边AB上的中线). 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西商洛·期中）如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·甘肃平凉·阶段测试）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 【基础题型一 等腰三角形的定义】 【例1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 【例2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 1．（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 2．（25-26八年级上·河南南阳·阶段测试）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（     ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级上·宁夏银川·阶段测试）已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是________． 4．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【基础题型二 等边对等角】 【例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，，点E在直线上，连接，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026八年级上 河北邯郸·周测）如图，树叶上两点A，关于直线对称，P为上任意一点．若，则的度数为________． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段测试）如图所示，，有以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26八年级上·湖南娄底·阶段测试）如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点的对应点为，点的对应点为点，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D．平分 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 4．（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段测试）如图，点C在线段上，． (1)找出一个与全等的三角形，并说明理由； (2)若，求的度数． 【基础题型三 三线合一】 【例1】（25-26八年级上·山西运城·阶段测试）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【例2】（2023八年级上 山东临沂·单元测试）如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 1．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段测试）下列说法错误的是（     ） A．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形 B．若三条线段长度之比为，则它们可以构成三角形 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 2．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段测试）如图，在中，，于点D，垂直平分交于点E，交于点F，点P是线段上一个动点，则的周长的最小值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．（25-26八年级上·宁夏银川·阶段测试）如图，等腰三角形的面积是24，腰的垂直平分线分别交于E、F两点，点M为线段上的一动点，点D为的中点，，连接． （1）连接，是否垂直于？____（填“是”或 “否”）； （2）的最小值为____． 4．（25-26八年级上·福建福州·阶段测试）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【基础题型四 找出图中的等腰三角形】 【例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段测试）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】（23-24八年级上·四川成都·阶段测试）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（22-24八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有_____个．   4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段测试）已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）． 【基础题型五 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例1】（25-26八年级上·全国·周测）在中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【例2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列命题：①成轴对称的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，其中真命题的个数为______ 1．（2026八年级上 广西玉林·单元测试）如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 2．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段测试）如图，在中，点为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是_________． 4．（25-26八年级上·全国·阶段测试）在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)仍然成立吗？ 【基础题型六 根据等角对等边证明边相等】 【例1】（25-26八年级上·河南平顶山·阶段测试）在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”时，需添加辅助线．如图，已知，求证．小明对辅助线的描述采取了三种不同方法：①作顶角平分线；②作底边上的高；③作底边上的中线．能够判定的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【例2】（25-26八年级上·辽宁·期中）如图，，，图中共有全等三角形____对． 1．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段测试）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，已知，，则的周长为（     ） A． B．5 C．10 D．13 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，过点作交于点，交的平分线于点，若，，则的长为（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江西景德镇·阶段测试）在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 4．（2023八年级上 浙江温州·周测）在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． (1)求证：； (2)若平分，且，，求的周长． 【基础题型七 根据等角对等边求边长】 【例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【例2】（25-26八年级上·福建泉州·阶段测试）如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 1．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（    ） A．   B．   C．   D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 4．（25-26八年级上·内蒙古·阶段测试）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【基础题型八 等腰三角形性质和判定】 【例1】（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期中）下列说法正确的是（　　）． A．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线 B．在同一平面内，两条不平行的线段必相交 C．三角形的三条高线交于一点 D．有一个内角为的等腰三角形是等边三角形 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均为格点，连接，，，，则________． 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段测试）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 2．（25-26八年级上·山东威海·阶段测试）如图，已知，按照以下步骤作图：①分别以点A，点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交，于点D，E；②以A为圆心，的长为半径画弧，交直线于点P，连接． 下列结论错误的是（    ） A． B． C．是等腰三角形 D．垂直平分 3．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如下图，有一个长方形纸片，厘米，厘米，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，的面积是( )平方厘米． 4．（25-26八年级上·全国·阶段测试）如图，在等腰中，，点D是的中点，且，试判断的形状． 【基础题型九 等边三角形的性质】 【例1】（2026八年级上 陕西西安·周测）将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026八年级上 福建厦门·单元测试）如图，P是等边的边上一点，以点A为中心，把逆时针旋转至，则旋转的角度为______°． 1．（25-26八年级上·广东深圳·阶段测试）如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 2．（2026八年级上 江苏连云港·周测）如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，在等边中，点在上，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．要使点D恰好落在上，则的长是_____ 4．（2023八年级上 江苏盐城·单元测试）已知为等边三角形，点为直线上一动点（点不与点，点重合）．以为边作等边三角形，连接． (1)如图，当点在边上时． 求证：； 直接写出线段，与三者之间的数量关系：______（不需证明）； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请画出图形，写出，，三者之间存在的数量关系，并写出证明过程． 【基础题型十 等边三角形的判定】 【例1】（23-24八年级上·内蒙古乌海·阶段测试）已知的三边a、b、c满足，则是（   ） A．等腰但非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【例2】（24-25八年级上·山西太原·期中）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段测试）已知：如图，，，分别为边，上的高线，且． 求证：为等边三角形． 证明：，，◎， （全等的判定方法为★） ⊙ ⊙ ，即为． 则回答错误的是（   ） A．◎代表 B．★代表 C．⊙代表 D．代表等边三角形 2．（25-26八年级上·湖北孝感·阶段测试）如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（   ） A． B．垂直平分 C．是等边三角形 D． 3．（25-26八年级上·新疆·期中）如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，，与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的序号是______． 4．（25-26八年级上·山东济南·阶段测试）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【基础题型十一 等边三角形的判定和性质】 【例1】（25-26八年级上·河北保定·阶段测试）如图是人字梯的示意图，若支架，的长度都为（连接处忽略不计），当B，C之间的距离为时，不用测量就可以知道的度数为（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段测试）如图，等腰，，，则________． 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段检测）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③ 2．（25-26八年级上·河南安阳·阶段测试）下面是某个机械装置的连杆装置及简易图，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方固定一小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，将杆从水平位置缓慢向上拉起．已知，当杆与水平面夹角为时，测得，则此时点到水平线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，将沿射线方向平移3个单位长度，得到，连接，则的长为__________． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段测试）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【基础题型十二 含30度角的直角三角形】 【例1】（25-26八年级上·山东淄博·阶段测试）在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 【例2】（25-26八年级上·福建厦门·阶段测试）如图，平分，于点D，E是边上的一点，连接，，若，则线段的长是______． 1．（25-26八年级上·山西运城·阶段测试）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 4．（24-25八年级上·河北邢台·阶段测试）如图，在池塘两岸有四个点、、、，且它们在同一直线上（、之间不能直接测量），点、在直线异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若连接、，则与的数量关系是； (3)现测得，，求池塘两岸的宽度． 【基础题型十三 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【例2】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）等腰直角三角形顶角平分线和底边的位置关系是______，数量关系是______． 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段测试）如图，在等腰三角形中，是顶角平分线，分别为两腰的中点，关于①、②、③，正确的有（    ） ①平分的面积；②为直角三角形；③ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段测试）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，延长交于点，再延长至点，使得．已知，则下列说法正确的是（    ） A． B．平分 C． D． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知等腰直角三角形的底边长是其腰长的倍．如图，和是等腰直角三角形，，点在上，是的中点，连接．若，则的长的最小值为__________． 4．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图所示，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，点E、F分别在上，经过旋转到了的位置． (1)和之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ (2)与相交于点G，试判断与的大小关系，并说明理由． 【基础题型十四 直角三角形的两个锐角互余】 【例1】（25-26八年级上·甘肃天水·阶段测试）如图，在内引射线，作于点D，于点E，若，，下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上 福建泉州·周测）小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则________． 1．（2026八年级上 福建福州·周测）光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026八年级上 浙江绍兴·周测）如图，已知斜面与水平面的夹角，一个木块静止在斜面上，其所受重力G方向竖直向下，支持力F方向垂直于斜面向上．若表示G与F两个方向之间的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 4．（25-26八年级上·广东广州·阶段测试）如图，，点为上一点，且，点为直线上一动点，的角平分线交于点． (1)若，求证：； (2)设的角平分线交于点． ①若点在射线上运动的过程中，的大小是否发生变化？如果不变，求的度数，如果变化，请说明理由； ②若，求的度数． 【基础题型十五 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，若，则___________；若，则___________，此时是___________三角形． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点． (1)若，求的度数； (2)若交于点． ①求证：平分； ②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由． 【基础题型十六 旋转模型（全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（23-24八年级上·河南南阳·阶段测试）如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 【例2】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段测试）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    1．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）如图，是边长为1的等边的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转，得到、、，连接、、、、．当的周长取得最大值时，此时旋转角的度数为（   ） A．60° B．90° C．120° D．150° 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级上·贵州遵义）在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______． 4．（24-25八年级上·山东济南·阶段测试） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【提高题型一 利用等腰三角形的性质和判定解决问题】 【例1】（2025八年级上 江苏盐城·周测）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-2八年级上·全国）如图，在等边中，点分别是的中点，点是上一动点，当的周长最小时，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 1．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·山东烟台·阶段测试）如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 3．（25-26八年级上·山东东营·阶段测试）如图，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则_____________． 4．（23-24八年级上·四川成都·阶段测试）已知，在中，，于点D，E是上一点，满足：；将绕点E顺时针旋转，交于点F． (1)如图1， ①试说明：； ②若，请探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若E是线段的中点，求的值． 【提高题型二 解决与直角三角形有关的问题】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置，若，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·辽宁铁岭·阶段测试）如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 1．（25-26八年级上·河南开封·阶段测试）如图，在中， 平分，交边上的高于点．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，，，点是的中点，点为内一点，，若已知的面积，则一定可以求出（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．的面积 D．的面积 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·阶段测试）如图，，，，延长交于F，若，则________． 4．（25-26八年级上·上海·阶段测试）如图，已知在中，，是高，是中线，是的角平分线，求证：． 1．（25-26八年级上·山西长治·阶段测试）若、、分别是的三边长，且，则以下关于的形状及其周长的取值范围的描述正确的是（     ） A．直角三角形； B．等腰三角形； C．直角三角形； D．等腰三角形； 2．（25-26八年级上·山西晋中·阶段测试）如图，已知是的角平分线，点是上一点，且，连接，与交于点，连接．则下列结论正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 3．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段测试）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知中，，点在上，连接，、是两点上，连接延长线交于点，当，且时，的长为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.2 5．（25-26八年级上·河南商丘·阶段测试）如图，在正方形网格中有线段，点在网格的格点上，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，，点是的中点，连接、、，则图中等腰三角形有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）已知等腰中，边上的高恰好等于的一半，则的度数是（） A． B．或或 C．或 D．或或 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，连接，两边，分别交、于点E、F，连接，过点F作于点H，在线段上截取，连接．现给出以下三个结论：①；②是等腰直角三角形；③当时，，上述结论中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 10．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在长方形中，连接，将沿着翻折至长方形所在的平面内，得，与交于点F，O为的中点，连接．若，，则线段EF的长度为（　　） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·四川达州·阶段测试）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为__________ ． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段测试）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，．若，，则___________． 13．（25-26八年级上·四川成都·阶段测试）如图，有两个边长为5的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合，在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积为______． 14．（25-26八年级上·山东淄博·阶段测试）如图，在中，，，P是直角边上一动点，连接，在的右侧作等边，连接．若，则周长的最小值为______． 15．（25-26八年级上·安徽六安·阶段测试）如图，在中，，，为的中点，将绕着点逆时针旋转至． （1）求______；（用含的式子表示） （2）当时，的度数为______． 16．（2023八年级上 四川成都·单元测试）已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： (1)在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） (2)在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有 个． (3)如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 17．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）我们已经学习了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． (1)请你根据给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，是的平分线，点在上，，垂足分别为，求证：． (2)如图2，是的平分线，点在上，，垂足分别是，．过点作交于点，在上取一点，使得，若，求线段的长． 18．（25-26八年级上·山东威海·阶段测试）如图，在等边三角形中，，点在边上，连接，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)点关于直线的对称点为，连接．补全图形并证明． 19．（25-26八年级上·山西吕梁·阶段测试）综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 20．（25-26八年级上·四川成都·阶段测试）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $