2.2立方根（4知识点+6考点+课后练习）同步讲义-2025-2026学年八年级数学上册苏科版（2024）

第2章 实数的初步认识 2.2立方根 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解立方根的概念，掌握其表示方法​ . 掌握立方根的性质，能求一个数的立方根​ . 区分立方根与平方根的异同，解决简单计算问题 . . 一：立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【要点提示】一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 二：立方根的特征 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【要点提示】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 三：立方根的性质 （1）； （2）； （3）. 【要点提示】第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 四：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 考点一：立方根概念理解 1．“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．是的一个平方根 C．的算术平方根是 D．9的算术平方根是 3．下列说法中正确的有（　　）个 ①没有立方根；②的值是 ③若，则；④是5的倍数 A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知实数的立方根是，则实数的立方根是（  ） A． B．8 C． D．2 考点二. 求一个数的立方根 5．的立方根是（   ） A． B．3 C． D．9 6．计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．的平方根是（   ） A． B． C． D． 8．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 考点三.已知一个数的立方根，求这个数 9．已知的平方根是，是的立方根，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 11．若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 12．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 考点四.与立方根有关的规律探索 13．（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 14．已知，，，则 ． 15．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 16．（1）已知，则 ； （2）已知，，则 ． 考点五.立方根的实际应用 17．如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 18．形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长为（   ）cm． A． B． C．6 D． 19．一个正方体的体积为7，则它的一条棱长为（   ） A． B． C． D． 20．体积为8的立方体的棱长是（   ） A．8的平方根 B．8的算术平方根 C．8的立方 D．8的立方根 考点六.算术平方根和立方根的综合应用 21．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 22．已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根． 23．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 24．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列各式中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．5与 D．与 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果为（   ） A．2 B． C． D． 5．的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 6．若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 7．下列计算结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 9．下列命题中，真命题是（   ） A．27的立方根是 B．如果，那么 C．相等的角是对顶角 D．同旁内角互补，两直线平行 10．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．的算术平方根是 ，的立方根是 ． 12．已知则的立方根是 ． 13．方程的根是 ． 14．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 15．的算术平方根为 ，的立方根为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 实数的初步认识 2.2立方根 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解立方根的概念，掌握其表示方法​ . 掌握立方根的性质，能求一个数的立方根​ . 区分立方根与平方根的异同，解决简单计算问题 . . 一：立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【要点提示】一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 二：立方根的特征 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【要点提示】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 三：立方根的性质 （1）； （2）； （3）. 【要点提示】第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 四：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 考点一：立方根概念理解 1．“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：13的立方根是， 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．是的一个平方根 C．的算术平方根是 D．9的算术平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的基本概念.熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的基本概念是解题的关键. 根据立方根、平方根及算术平方根的定义逐一判断各选项的正误. 【详解】A. 的立方根是，而的立方根才是，故A错误. B. 的平方根为，因此是的一个平方根，故B正确. C. 0.1的算术平方根是，而的平方为，故C错误. D. 9的算术平方根是3，平方根才是，故D错误. 故选：B. 3．下列说法中正确的有（　　）个 ①没有立方根；②的值是 ③若，则；④是5的倍数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根的性质、不等式变形以及数的整除性判断，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据以上知识点，逐一分析每个命题是否正确． 【详解】解：①任何实数都有唯一的立方根，负数立方根为负数，的立方根为，故①错误； ②表示算术平方根，结果为4，故②错误； ③若，可得，则，故③正确； ④， 是5的倍数，故④正确； 综上，③④正确，正确个数为2，故选B． 4．已知实数的立方根是，则实数的立方根是（  ） A． B．8 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是掌握求一个数的立方根． 根据立方根的定义，先求出实数的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意得，实数的立方根是，即，故， ∴， ∴， 故选：D． 考点二. 求一个数的立方根 5．的立方根是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：A． 6．计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查的是实数的混合运算，先求立方根，然后加减解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 7．的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 本题应先计算出的值，再根据平方根的定义即可求得平方根． 【详解】解：， 又， 的平方根是， 故选：D． 8．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，根据立方根、算术平方根的定义解答即可． 【详解】解；A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项D不符合题意． 故选：B． 考点三.已知一个数的立方根，求这个数 9．已知的平方根是，是的立方根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用平方根及立方根的定义求出与的值，即可确定出的值． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， 则． 故选：D． 10．若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根，平方根，乘方，根据立方根，平方根求出a，b的值，代入求值即可． 【详解】解：∵是数a的立方根，是数b的一个平方根， ∴，， ∴． 故选：C． 11．若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据立方根的性质，由已知条件得到、的值，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 12．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：立方根是的数是， 故选：B． 考点四.与立方根有关的规律探索 13．（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ② 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． （1）利用立方根的性质求解即可； （2）①利用立方根的性质求解即可； ②利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：（1）； ； ； ； ； 故答案为：，，1 ，10 ，100； （2）①； ； 故答案为：，； ② 故答案为：． 14．已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 15．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 16．（1）已知，则 ； （2）已知，，则 ． 【答案】 0.2646 6.69 【分析】本题考查算术平方根，立方根，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据算术平方根的性质即可求得答案； （2）根据立方根的性质即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：6.69． 考点五.立方根的实际应用 17．如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，先求出一个小立方体的体积，再求出棱长即可． 【详解】解：一个小正方体的体积为：， 所以，小立方体的棱长为， 故选：B． 18．形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长为（   ）cm． A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根的应用，根据正方体体积公式求棱长即可． 【详解】解：正方体的体积公式为 ，其中为棱长， 已知体积，代入公式得：， 解得 ． 故选：C． 19．一个正方体的体积为7，则它的一条棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根的相关知识，解题的关键是熟练的掌握正方体的体积公式，再根据公式变换表示出棱长即可． 由正方体的体积棱长的立方，根据立方根的定义即可得到答案． 【详解】解：一个正方体的体积为7，则它的一条棱长为， 故选：A． 20．体积为8的立方体的棱长是（   ） A．8的平方根 B．8的算术平方根 C．8的立方 D．8的立方根 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．立方体的体积公式计算即可． 【详解】解：体积为8的立方体的棱长是8的立方根， 故选：D． 考点六.算术平方根和立方根的综合应用 21．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 22．已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，根据定义计算即可． 【详解】解：∵ 的算术平方根是3， ∴， 解得：， ∵的立方根是 − 1  ， ∴， 解得：， 的平方根是． 23．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 24．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根定义与性质，熟记平方根、立方根定义与性质是解决问题的关键．由平方根、立方根定义与性质逐一分析各选项的等式是否成立，即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意； 故选：D． 一、单选题 1．下列各式中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、立方根、二次根式的有关运算，易错点是将算术平方根与平方根混淆．利用算术平方根、立方根的含义逐个求解即可． 【详解】解：A．，原式错误； B．，原式错误； C．，原式正确； D．，原式错误； 故正确答案为：C 2．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．5与 D．与 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根的化简和求立方根、相反数的定义等知识.逐项化简后进行判断即可. 【详解】A. ，则与互为相反数，选项符合题意； B. ，则与相等，选项不符合题意； C. ，则5与相等，选项不符合题意； D. ，则与相等，选项不符合题意； 故选：A 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，同底数幂相乘，算术平方根，立方根，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 4．计算的结果为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据立方根的定义，找出满足的实数，从而得到的结果．本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 5．的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义解答即可． 本题考查了立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：的立方根是． 故选：D 6．若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据立方根的性质，由已知条件得到、的值，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 7．下列计算结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，同底数幂的除法，完全平方公式． 逐一验证各选项的正确性． 【详解】选项A：，正确； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D：，错误； 故选：A 8．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键．先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴棱长应变为原来的2倍． 故选：A． 9．下列命题中，真命题是（   ） A．27的立方根是 B．如果，那么 C．相等的角是对顶角 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，熟练掌握立方根的定义，平行线的性质是解题的关键． 根据立方根的定义，对顶角的定义、平行线的性质，逐项进行判断即可． 【详解】A、27的立方根是3，而非，故本选项不符合题意； B、当时，与可能相等或互为相反数（如，），结论不一定成立，故本选项不符合题意； C、对顶角必相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线中的同位角），故本选项不符合题意； D、根据平行线判定定理，同旁内角互补时两直线平行，故本选项符合题意； 故选：D． 10．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义．根据平方根与立方根的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误； 故选：C． 2、 填空题 11．的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，根据算术平方根的定义、立方根的定义解答即可，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【详解】解：， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根是； 的立方根是； 故答案为：，． 12．已知则的立方根是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的应用，熟练掌握算术平方根与立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的非负性求得，，进而代入代数式，求得立方根，即可求解． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴，的立方根是， 即的立方根是． 故答案为：． 13．方程的根是 ． 【答案】或． 【分析】由得继而得，故或，求立方根即可． 本题考查了幂的运算的逆运算，平方根，立方根，熟练掌握公式和定义是解题的关键． 【详解】解：由得， 故， 故或， 解得或． 故答案为或． 14．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握的平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义即可求解． 【详解】解：设这个实数为， 当时，它的平方根是0，立方根是0，二者相等，符合题意； 当时，它的平方根是，立方根是．若，两边同时六次方得，解得或（舍去），当时，它的一个平方根1与它的立方根1相等，符合题意； 当时，它没有实数平方根． 综上，这个数是0或1． 故答案为：0或1． 15．的算术平方根为 ，的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义、立方根的定义计算即可． 【详解】解：， 的算术平方根为8； ， 的立方根为24； 故答案为：8，． 1 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