专题2.2 立方根重难点题型专训（3个知识点+6大题型+1大提高题型+自我检测）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦立方根这一核心知识点，系统梳理立方根的定义、开立方运算及性质三大基础内容。以定义为起点明确概念，通过开立方与立方的逆运算关系及公式深化理解，结合性质（正负性、唯一性）构建完整知识支架，为后续题型训练奠定基础。 资料设计亮点突出，涵盖6大基础题型与1个提高题型，从概念理解、运算求解到规律探索、实际应用（如正方体体积计算）层层递进。通过即时训练与综合拓展，培养学生抽象能力、运算能力与应用意识，自我检测环节助力课后查漏补缺，课中辅助教师高效教学。

专题2.2 立方根重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 立方根概念理解】 4 【基础题型二 求一个数的立方根】 5 【基础题型三 已知一个数的立方根，求这个数】 7 【基础题型四 与立方根有关的规律探索】 10 【基础题型五 立方根的实际应用】 12 【基础题型六 算术平方根和立方根的综合应用】 15 第二部分·练提高题型 【提高题型一 算术平方根与立方根的综合拓展探究】 21 第三部分・自我检测 知识点01 立方根的定义 一般地，如果，那么x叫作a的立方根，也称为三次方根．a的立方根记作“”，读作“三次根号a”． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法正确的是 （    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的立方根是 D．没有立方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念． 根据定义, 正数的平方根有两个, 算术平方根是非负的；任何实数都有唯一的立方根． 【详解】选项A：的平方根是，故A错误，不符合题意； 选项B：的算术平方根是，故B错误，不符合题意； 选项C：的立方根是，故C正确，符合题意； 选项D：的立方根是，故D错误，不符合题意； 故选C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键． 根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制． 【详解】解：∵立方根运算对任意实数都有意义， ∴对于，可以是任意实数， 即的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 知识点02 开立方 1. 定义：求一个数的立方根的运算叫作开立方． 2. 性质：开立方和立方互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求． 3. 重要公式：①；②． 4. 开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·期中）下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根与立方根的定义和性质；根据相关定义计算各选项即可判断对错． 【详解】解：∵表示25的算术平方根，即， ∴A不符合题意， ∵， ∴B不符合题意， ∵，，两边相等， ∴C符合题意， ∵负数没有算术平方根，无意义， ∴D不符合题意． 2．（2026八年级上 江苏泰州·单元测试）若 ，则_____________． 【答案】 或 【分析】先根据平方运算求出的所有可能值，再根据立方根的定义求出的值，最后分情况计算的结果即可. 【详解】解：由，得或 由， 两边同时立方得 当时，； 当时，． 知识点03 立方根的性质 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数． 立方根的性质可以概括为立方根的唯一性，即一个数的立方根是唯一的． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】根据立方根的定义与性质，逐一判断各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，∴ 选项A错误； ∵，4的立方根是，不是4，∴选项B错误； ∵立方根等于它本身的数有，，，∴选项C错误； ∵对任意实数，都有，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，∴D正确． 2．（23-24八年级上·内蒙古赤峰·单元测试）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是_______ 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据平方根和立方根的性质解答即可． 【详解】解：∵的平方根是它本身，的立方根是它本身， ∴一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是． 故答案为：． 【基础题型一 立方根概念理解】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·单元测试）立方根等于的实数是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据立方根的定义，若一个实数的立方根为 ，则该实数为 ，计算可得结果． 【详解】解：∵， ∴立方根等于的实数是． 故答案为 ． 9．（23-24八年级上·吉林长春·单元测试）关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 各项利用立方根定义判断即可． 【详解】解：A、正数有一个立方根，错误； B、立方根等于本身的数有，，，错误； C、负数的立方根是负数，正确； D、负数有立方根，错误， 故选：C． 10．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：、根据平方根的定义可知的平方根是，该选项不符合题意； B、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； C、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； D、根据算术平方根的定义可知的算术平方根是，该选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则． 利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：①，成立； ②，成立； ③，不成立； ④，成立． 故答案为：③． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0.7 (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可得解； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴． 【基础题型二 求一个数的立方根】 【例1】（25-26八年级上·江苏泰州·单元测试）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根与立方根是解题的关键；根据平方根与立方根的概念进行排除选项即可． 【详解】解：∵表示64的算术平方根，应为8，∴A错误； ∵表示64的平方根，应为，∴B错误； ∵，∴，∴C错误； ∵，∴D正确； 故选D． 【例2】（2026八年级上 江苏南京·单元测试）6的平方根是________，6的立方根是________． 【答案】 【详解】解：的平方根是，的立方根是． 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据平方根、立方根定义，求出，，再分类计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 当，时，， 当，时，， 则或． 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段检测）已知a，b为实数，且，则的值为（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根成立的条件，立方根，根据算术平方根的开方数是非负数得到，进而求得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：D． 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质与立方根的概念，根据正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再确定这个正数，最后计算该数的立方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴这个正数为， ∴这个数的立方根是． 4．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）已知等腰三角形一边长为，一边长为，且，求它的周长． 【答案】 【分析】几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，从而得出，，根据等腰三角形的定义分类讨论，再结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 当腰长为时，，不能构成三角形； 当腰长为时，周长． 【基础题型三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是，则的平方根为_________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用平方根的性质和立方根的定义进行解题． 【详解】解：由题意，一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 即 ， 解得： ， 又∵ 的立方根是 ， ∴ ， 解得： ， 则 ， ∴ 的平方根是 ． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·江苏连云港·单元测试）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据平方根及立方根的定义求得x，y的值，然后代入中计算即可． 本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：的平方根是x， ， 的立方根是， ， 或， 故选：D 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是______ 【答案】3 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求一个数的算术平方根． 利用平方根互为相反数的性质求a，利用立方根的定义求b，再计算，求其算术平方根即可． 【详解】解：和是一个正数的两个平方根， ， 解得， 又的立方根是3， ， 解得， ， 的算术平方根， 故答案为： 4．（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：的立方根是， ， ； 的算术平方根为3， ， ，且， ； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， 的平方根为； （3）解：， 的立方根为. 【基础题型四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（25-26八年级上·福建南平·期中）若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． 【例2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中），，则______． 【答案】 【分析】根据立方根运算的规律，被开方数小数点向右移动三位，其立方根的小数点向右移动一位，进行计算即可． 【详解】解：由立方根的规律：∵， ∴． 1．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 2．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【详解】解：， 又， ． 3．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 【答案】 0.2646 300 【详解】解：（1）∵，则； （2）已知 则 ． 4．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 【基础题型五 立方根的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·单元测试）若将一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（     ） A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．倍 【答案】A 【分析】根据正方体体积等于棱长的立方，结合体积的变化即可求出棱长的变化倍数． 【详解】解：设原正方体的棱长为，则原正方体体积为， 设棱长变为原来的倍，则现棱长为，现体积为， 由题意得，即， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即棱长变为原来的倍． 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 【答案】 【分析】依据锻造前后铁块体积不变，先计算原长方体的体积，再根据立方体体积公式结合立方根的概念即可求出棱长． 【详解】解：由题意得，锻造前后铁块的体积不变，原长方体铁块的体积为， 设立方体铁块的棱长为， 根据立方体体积公式得， 因此即锻造成的立方体铁块的棱长为． 1．（25-26八年级上·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 2．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确掌握立方根的定义是解题关键． 根据正方体体积比求出边长比，再根据表面积与边长平方成正比，求出表面积比． 【详解】解：设正方体的边长为，则体积， 则正方体的体积为， 正方体的边长为． 正方体的表面积为， 正方体的表面积为， ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·辽宁大连·单元测试）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 【答案】9 【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，根据圆柱和正方体的体积公式列方程，再利用立方根的意义求解，最后对结果取整数即可. 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入， 可得：， ， ， 正方体的棱长为． 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）求的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：． 【基础题型六 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，正确求出、的值是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义，求出，，再代入计算求值即可． 【详解】解：的立方根是3，的算术平方根是4， ，， ，， , 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知的立方根是3，，则＝______． 【答案】1或3/3或1 【分析】根据题意求出，的值，代入即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， ， ， ， 当，时， ； 当，时， ； 综上，的值为1或3， 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查平方根与立方根，掌握开方与乘方之间的关系是关键． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可． 【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根， ∴m-n=2， ∵B=是m-2n+3的立方根， ∴m-2n+3=3， ∴     解得 ∴A==3，B= ∴B-A=2-3=-1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念． 2．（24-25八年级上·山东聊城·单元测试）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 3．（26-27八年级上·全国）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； ∵的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为． 4．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 【提高题型一 算术平方根与立方根的综合拓展探究】 【例1】（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 【例2】（23-24八年级上·内蒙古乌海·单元测试）已知的立方根是，是的算术平方根，则______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，代数式求值，根据算术平方根和立方根的定义求出的值，再把的值代入到代数式计算即可求解，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是，是的算术平方根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（23-24八年级上·广西河池·期中）已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根的定义可得，得到，进而得到，再根据算术平方根的定义即可求解，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故选：． 2．（24-25八年级上·四川凉山·期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ， 故选A． 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，符号确定，绝对值的化简，有理数的大小比较，立方根，熟练掌握绝对值的化简，有理数的大小比较是解题的关键．根据数轴上有理数的位置，有理数的运算法则，有理数的大小比较法则，立方根，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且， ∴，， ∴， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81． 【分析】（1）直接利用解方程的基本步骤求解； （2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可． 【详解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3; ②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8， ∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1． （2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27 （ⅱ）①； ②；③． 故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列说法，其中正确的说法是（   ） ①负数没有立方根； ②实数和数轴上的点是一一对应的： ③； ④正数的两个平方根互为相反数： ⑤任意实数都存在平方根； ⑥算术平方根等于它本身的数只有0． A．①②③ B．②③⑥ C．②④ D．④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义及实数的性质，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵负数的立方根是负数，∴①错误； ∵实数与数轴上的点一一对应，∴②正确； ∵，∴③错误； ∵正数的两个平方根互为相反数，∴④正确； ∵负数没有平方根，∴⑤错误； ∵算术平方根等于本身的数有0和1，∴⑥错误； ∴正确的说法是②和④， 故选C． 2．（25-26八年级上·山东东营·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义． 先计算的值，再求其算术平方根得到；计算的值，再求其立方根得到；最后求． 【详解】解：∵， ∴， ∵的算术平方根是， ∴． ∵的立方根是，， ∴． ∴． 故选B． 3．（25-26八年级上·云南楚雄·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 【答案】C 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，从而求出x的值，根据立方根的定义求出y的值，进而可求的值． 【详解】∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵y的立方根是2， ∴， ∴． 故选：C． 4．（26-27八年级上·上海）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 5．（24-25八年级上·安徽淮南）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 6．（25-26八年级上·辽宁抚顺·单元测试）下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【答案】D 【详解】解：A选项，，即1的立方等于本身，故A为假命题； B选项，，即0的绝对值等于本身，故B为假命题； C选项，的平方根是，不等于本身，故C为假命题； D选项，，，的立方根均等于本身，故D为真命题． 7．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图示判断出，，，然后化简进行计算即可． 【详解】解：∵a在0的左边，b在0的右边，且， ∴，，， ∴, , , ． 8．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平方根以及立方根的性质得出的值，进而利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， ∴，， 则． 故选：C． 9．（24-25八年级上·河南商丘·阶段检测）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 10．（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 11．（25-26八年级上·上海·单元测试）已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 【答案】当为偶数时，为；当为奇数时，为 【分析】根据立方根的定义得到根指数的关系，根据相反数的性质得到与的关系，结合已知列方程组求解，得到后再根据乘方的定义求的次方根． 【详解】解：是的立方根， ， 是的相反数， ， 两边立方得：， 又，， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， ， 求的（）次方根：当为偶数时，正数的偶次方根有两个，互为相反数，结果为；当为奇数时，正数的奇次方根只有一个正根，结果为． 12．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）已知，则的立方根是______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出和的值，再代入代数式求出的值，最后计算该值的立方根即可． 【详解】解：，且， ，， 解得，， 将，代入得：， ， 的立方根是，即的立方根是． 13．（25-26八年级上·江西上饶·期中）已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【答案】4或或5 【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 或或． 与互为相反数， ， ， 或或， 或或 ． 14．（25-26八年级上·浙江丽水·期中）若将一个棱长为10的立方体的体积减小V，而保持立方体形状不变，则棱长应减少______． 【答案】（） 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键． 先计算立方体的原体积，再得到体积减小后的新体积，进而求出新棱长，最后求棱长减少的量即可． 【详解】解：∵立方体的棱长为10， ∴原体积为． 由题意得，体积减小V后，新体积为， 由于保持立方体形状，新棱长为新体积的立方根，即． ∴棱长应减少． 故答案为：（）． 15．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 16．（26-27八年级上·全国·课后作业）根据表格中所给的信息，完成下列表格： 被开方数 1 平方根 0 算术平方根 2 立方根 3 【答案】 被开方数 1 4 0 27 平方根 0 不存在 算术平方根 1 2 0 不存在 立方根 1 0 3 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义，由已知量计算未知量，注意负数没有平方根和算术平方根。 【详解】解：第一列，被开方数为1， ∵ ，， ∴ 的平方根为，算术平方根为，立方根为． 第二列，算术平方根为， ∵ 非负平方根，被开方数， ∵ ，满足的， ∴ 被开方数为，平方根为，立方根为． 第三列，平方根为， ∵ 平方根，被开方数， ∴ 被开方数为，算术平方根为，立方根为． 第四列，立方根为， ∵ 立方根，被开方数， ∴ 被开方数为，平方根为，算术平方根为． 第五列，立方根为， ∵ 立方根，被开方数， ∵ 是负数，负数没有平方根和算术平方根， ∴ 被开方数为，平方根和算术平方根不存在． 17．（25-26八年级上·陕西商洛·期中）已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为．分别求出，，的值． 【答案】，， 【分析】根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，可求出的值，再根据立方根的定义求出的值即可解答． 【详解】解：正数的两个不相等的平方根分别是和， ， 解得， ， ． 的立方根为， ， 解得． 故，，． 18．（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】 （1）①补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②1； （2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，． ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 19．（25-26八年级上·福建福州·期中）快递自取柜某格口尺寸为，现有一个体积为的正方体纸箱，能否将该纸箱完全放入其中？为什么？ 【答案】 解：不能将该纸箱完全放入格口中，理由如下： ， ∵， ∴不能将该纸箱完全放入格口中． 【分析】本题考查了立方根、正方体体积，根据体积公式求出正方体的棱长，再和快递柜最小边长比较大小，若正方体纸箱的棱长小于或等于快递柜格口的三条边长才能放入． 【详解】略 20．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 立方根重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 立方根概念理解】 2 【基础题型二 求一个数的立方根】 3 【基础题型三 已知一个数的立方根，求这个数】 3 【基础题型四 与立方根有关的规律探索】 4 【基础题型五 立方根的实际应用】 5 【基础题型六 算术平方根和立方根的综合应用】 6 第二部分·练提高题型 【提高题型一 算术平方根与立方根的综合拓展探究】 8 第三部分・自我检测 知识点01 立方根的定义 一般地，如果，那么x叫作a的立方根，也称为三次方根．a的立方根记作“”，读作“三次根号a”． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法正确的是 （    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的立方根是 D．没有立方根 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是_________． 知识点02 开立方 1. 定义：求一个数的立方根的运算叫作开立方． 2. 性质：开立方和立方互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求． 3. 重要公式：①；②． 4. 开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·期中）下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2026八年级上 江苏泰州·单元测试）若 ，则_____________． 知识点03 立方根的性质 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数． 立方根的性质可以概括为立方根的唯一性，即一个数的立方根是唯一的． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 2．（23-24八年级上·内蒙古赤峰·单元测试）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是_______ 【基础题型一 立方根概念理解】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·单元测试）立方根等于的实数是________． 9．（23-24八年级上·吉林长春·单元测试）关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 10．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 2．（24-25八年级上·江苏扬州·单元测试）计算： (1)； (2)． 【基础题型二 求一个数的立方根】 【例1】（25-26八年级上·江苏泰州·单元测试）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026八年级上 江苏南京·单元测试）6的平方根是________，6的立方根是________． 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．或 2．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段检测）已知a，b为实数，且，则的值为（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 4．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）已知等腰三角形一边长为，一边长为，且，求它的周长． 【基础题型三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是，则的平方根为_________． 1．（25-26八年级上·江苏连云港·单元测试）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是______ 4．（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 【基础题型四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（25-26八年级上·福建南平·期中）若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【例2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中），，则______． 1．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 2．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 4．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【基础题型五 立方根的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·单元测试）若将一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（     ） A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．倍 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 1．（25-26八年级上·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 3．（25-26八年级上·辽宁大连·单元测试）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）求的值： (1)； (2) 【基础题型六 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【例2】（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知的立方根是3，，则＝______． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 2．（24-25八年级上·山东聊城·单元测试）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 3．（26-27八年级上·全国）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 4．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【提高题型一 算术平方根与立方根的综合拓展探究】 【例1】（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·内蒙古乌海·单元测试）已知的立方根是，是的算术平方根，则______． 1．（23-24八年级上·广西河池·期中）已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川凉山·期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果____________． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列说法，其中正确的说法是（   ） ①负数没有立方根； ②实数和数轴上的点是一一对应的： ③； ④正数的两个平方根互为相反数： ⑤任意实数都存在平方根； ⑥算术平方根等于它本身的数只有0． A．①②③ B．②③⑥ C．②④ D．④⑤ 2．（25-26八年级上·山东东营·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 3．（25-26八年级上·云南楚雄·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 4．（26-27八年级上·上海）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽淮南）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 6．（25-26八年级上·辽宁抚顺·单元测试）下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 7．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 8．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D． 9．（24-25八年级上·河南商丘·阶段检测）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·上海·单元测试）已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 12．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）已知，则的立方根是______． 13．（25-26八年级上·江西上饶·期中）已知，且与互为相反数，则y的值为______． 14．（25-26八年级上·浙江丽水·期中）若将一个棱长为10的立方体的体积减小V，而保持立方体形状不变，则棱长应减少______． 15．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 16．（26-27八年级上·全国·课后作业）根据表格中所给的信息，完成下列表格： 被开方数 1 平方根 0 算术平方根 2 立方根 3 17．（25-26八年级上·陕西商洛·期中）已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为．分别求出，，的值． 18．（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 19．（25-26八年级上·福建福州·期中）快递自取柜某格口尺寸为，现有一个体积为的正方体纸箱，能否将该纸箱完全放入其中？为什么？ 20．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $