精品解析：安徽池州市第十一中学等校2026-2027学年八年级上学期开学数学收心练习

八年级数学试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 了解一批种子的发芽率 B. 了解某品牌灯泡的使用寿命 C. 了解全市居民一周运动时间 D. 了解某班50名学生的身高 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. 3 B. C. D. 6. 下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②带根号的数一定是无理数；③不等式的正整数解有无数个；④负数没有立方根．其中错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 点在的延长线上，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数a、b满足，且，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 10. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是90，则裁剪前大正方形红布的面积为 A. 100 B. 120 C. 150 D. 180 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 的平方根是______． 12. 如果可分解为，则__________． 13. 横、纵坐标均为整数的点称为整点．一列有规律的整点如图排列，从第一个点开始，它们的坐标依次为，，，，，，根据这个规律，第2026个整点的坐标为______． 14. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，图中所有的点都在同一平面内． （1）若时，的度数是______； （2）若，当时，的度数是______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 解不等式组：，并求出它的整数解． 17. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，是平方根等于本身的数． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到， （1）请画出，并写出点的坐标；__________ （2）内一点，平移后的对应点的坐标为__________． （3）求的面积． 19. 为了满足教学需要，某中学拟购进甲、乙两种品牌的鼠标，调查得知每个甲品牌鼠标的进价比每个乙品牌鼠标的进价高，用6600元购进的甲品牌鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌鼠标的数量多50个．求该中学购买甲、乙两种品牌鼠标的进价分别是多少． 20. 某校为了解七年级学生每天的体育锻炼时间，随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果分为“．优秀（小时）”“．良好（小时）”“．合格（小时）”“．不合格（基本不练）”四个等级，并绘制统计图． （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中“”部分所对应的圆心角为______度； （4）若该校七年级共有800名学生，请估计每天体育锻炼时间达到“良好”及以上的学生人数． 21. 若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： （1）若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； （2）实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 22. 综合与实践 【阅读材料】 著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”．利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． （1）在学习“整式的乘法”时，图1是一个边长为的正方形，分成四个部分，分格线均与正方形或长方形的边平行．根据面积相等可得等式______． 如图2，模仿图1，可得等式______． 【进一步探究】 （2）如图3，可得等式______． 【直接应用】 （3）当时，，求和的值． 23. 综合实践 【问题背景】潜望镜是潜水艇中用来从水下观察水面上事物的一种仪器，它通过两个平行的平面镜反射来实现观察，如图1，，根据光的反射原理，可以得到，． 【理解原理】 （1）如图1，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（把证明过程补充完整） 理由：． ∴（ ）， ∵，， ∴（__________________）． ． 即__________________ （ ） 【尝试探究】 （2）改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．如图2，，入射光线经两次反射后，反射光线与平行，但方向相反，求； （3）如图3，若，，入射光线与反射光线的夹角，若三角形为锐角三角形，请直接写出的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数都属于有理数，根据概念逐一判断即可。 【详解】解：A、，2是整数，属于有理数，故A不符合要求， B、是无限不循环小数，属于无理数，仍是无限不循环小数，是无理数，故B符合要求， C、是有限小数，属于有理数，故C不符合要求， D、是分数，属于有理数，故D不符合要求． 2. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 了解一批种子的发芽率 B. 了解某品牌灯泡的使用寿命 C. 了解全市居民一周运动时间 D. 了解某班50名学生的身高 【答案】D 【解析】 【分析】根据调查范围，样本数量，调查是否具有破坏性，判断最适合全面调查的选项． 【详解】解：∵全面调查适用于范围小，样本数量少，调查无破坏性的情况，抽样调查适用于范围大，样本多或调查具有破坏性的情况， ∴A选项中一批种子数量多，调查发芽率存在损耗，适合抽样调查； B选项中测试灯泡使用寿命具有破坏性，适合抽样调查； C选项中全市居民数量多，调查范围大，适合抽样调查； D选项中某班仅50名学生，范围小，数量少，便于调查，最适合采用全面调查． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：给不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，故A不成立； 选项B：给不等式两边同时除以，不等号方向改变，得，两边加，不等号方向不变，得，故B不成立； 选项C：给不等式两边同时除以，不等号方向不变，得，故C不成立； 选项D：给不等式两边同时加，不等号方向不变，得，故D一定成立． 4. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分解因式的方法：提公因式法和公式法对每一项判断即可解答． 【详解】解：∵，∴错误，故项不符合题意； ∵，∴错误，故项不符合题意； ∵，∴正确，故符合题意； ∵，∴错误，故项不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了因式分解的方法：提公因式和公式法，掌握完全平方式，平方差公式分解因式是解题的关键． 5. 若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，当分式中的变量扩大3倍后，分母变为原来的9倍．要使分式的值不变，分子A必须也变为原来的9倍．因此，A的表达式在变量扩大3倍后应等于原表达式的9倍，据此进行判断即可． 【详解】解：原分式为，当和扩大为原来的3倍时，分母变为．此时分式变为．要使分式的值不变，需满足，即． 选项A：，扩大后仍为3，不满足． 选项B：，扩大后为，而，不相等． 选项C：，扩大后为，而，不相等． 选项D：，扩大后为，而，相等． 故选D． 6. 下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②带根号的数一定是无理数；③不等式的正整数解有无数个；④负数没有立方根．其中错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】逐个判断每个说法的正误，统计错误说法的个数，用到垂直的性质，无理数定义，不等式的解，立方根的定义等知识点． 【详解】解：①正确结论为“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，原说法缺少前提，错误； ②举例，是有理数，因此带根号的数不一定是无理数，原说法错误； ③不等式的正整数解为，有无数个，原说法正确； ④负数有立方根，例如，原说法错误； 综上，错误的说法共个． 7. 点在的延长线上，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角形外角的性质求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，最后由三角形的内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 已知实数a、b满足，且，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知等式用表示，再代入不等式求出，的范围，最后逐一验证选项即可． 【详解】解：， ， ， 解得，故选项B符合题意； ∴， ∴， ∴，故选项A不符合题意； ∴，， ∴，故选项C不符合题意； ∴，， ∴，故选项D不符合题意． 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得出，整体代入进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是90，则裁剪前大正方形红布的面积为 A. 100 B. 120 C. 150 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形面积的计算以及代数式的化简与求值，解题的关键是根据图形中阴影部分的构成列出面积关系式，再结合已知条件求解． 由图2阴影面积列出方程，化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式，计算即可． 【详解】解：∵图2所示的阴影部分面积为90， ∴， 展开化简：， ， ，则． 根据图3所示的阴影部分面积为90可得：． ∴大正方形面积：． 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出的值，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：∵， ∴的平方根为． 12. 如果可分解为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】展开右侧的因式乘积，对比左右多项式对应项系数求解后代入计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 13. 横、纵坐标均为整数的点称为整点．一列有规律的整点如图排列，从第一个点开始，它们的坐标依次为，，，，，，根据这个规律，第2026个整点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】观察图中点的坐标可知，当n为奇数时，第个整点的坐标为，然后按照规律求解即可． 【详解】解：∵第个整点的坐标为， 第个整点的坐标为， 第个整点的坐标为， …… ∵， ∴第个整点的坐标为， ∴第2026个整点的坐标为． 14. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，图中所有的点都在同一平面内． （1）若时，的度数是______； （2）若，当时，的度数是______． 【答案】 ①. ##35度 ②. 【解析】 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”可得，再根据“两直线平行，内错角相等”得出答案； （2）延长，根据折叠的性质得，先根据平行线的性质得，再根据平行线的性质求出，，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：（1）如图所示， 根据题意，得， ∴， ∴； （2）如图所示，延长，根据折叠的性质得， ∵ ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 解不等式组：，并求出它的整数解． 【答案】；，0 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集是 如图， 17. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，是平方根等于本身的数． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的定义和立方根的定义得出方程组，求出解即可，再根据平方根等于本身的数是0解答； （2）将三个字母的值代入待求式，并求出值，再根据平方根定义解答． 【小问1详解】 解：因为的算术平方根是3， 所以； 因为的立方根是2， 所以，即， 联立，得， 解得． 因为c是的平方根等于本身的数， 所以． 【小问2详解】 解：因为， 所以， 所以16的平方根是． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到， （1）请画出，并写出点的坐标；__________ （2）内一点，平移后的对应点的坐标为__________． （3）求的面积． 【答案】（1）如图所示，； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移坐标变化规律，横坐标加5，纵坐标减2，算出三点坐标，在坐标系描点连线画出，写出坐标． （2）总结通用平移坐标变换规则，横坐标，纵坐标，直接写出坐标． （3）用包含三角形的长方形总面积减去周围三个直角三角形面积，得到面积． 【小问1详解】 解：作图略， ∵将先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，， ∴即； 【小问2详解】 解：∵将先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，， ∴； 【小问3详解】 解：． 19. 为了满足教学需要，某中学拟购进甲、乙两种品牌的鼠标，调查得知每个甲品牌鼠标的进价比每个乙品牌鼠标的进价高，用6600元购进的甲品牌鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌鼠标的数量多50个．求该中学购买甲、乙两种品牌鼠标的进价分别是多少． 【答案】该中学购买甲品牌鼠标的进价为元/个，购买乙品牌鼠标的进价为30元/个 【解析】 【分析】设该中学购买乙品牌鼠标的进价为x元/个，则购买甲品牌鼠标的进价为元/个，根据用6600元购进的甲品牌鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌鼠标的数量多50个建立方程求解即可． 【详解】解：设该中学购买乙品牌鼠标的进价为x元/个，则购买甲品牌鼠标的进价为元/个． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴， 答：该中学购买甲品牌鼠标的进价为元/个，购买乙品牌鼠标的进价为30元/个． 20. 某校为了解七年级学生每天的体育锻炼时间，随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果分为“．优秀（小时）”“．良好（小时）”“．合格（小时）”“．不合格（基本不练）”四个等级，并绘制统计图． （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中“”部分所对应的圆心角为______度； （4）若该校七年级共有800名学生，请估计每天体育锻炼时间达到“良好”及以上的学生人数． 【答案】（1） （2）补全条形统计图如下： （3） （4）估计每天体育锻炼时间达到“良好”及以上的学生有400人． 【解析】 【分析】（1）利用等级人数与对应占比，通过“总数频数频率”求出抽取学生总数． （2）用总人数依次减去、、等级人数，算出等级人数，以此补全条形统计图． （3）先求等级人数占总人数的百分比，再用“圆心角度数对应占比”计算对应圆心角度数． （4）先算出样本中“良好及以上”的人数占比，再用总人数乘该占比，完成总体人数估计． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次调查共抽取了名学生． 【小问2详解】 解：（人）， ∴等级人数为人， 补全统计图略． 【小问3详解】 解：， ∴扇形统计图中“”部分所对应的圆心角为度． 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计每天体育锻炼时间达到“良好”及以上的学生有人． 21. 若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： （1）若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； （2）实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）求出，分两种情况进行解答即可； （2）求出，由即可得到答案． 【小问1详解】 解：由条件可知， ， 为偶数， ， 若，则，，因此小数部分为； 若，则，，因此小数部分为； 的小数部分为或； 【小问2详解】 解：由条件可知，， ，； ， ∴右边， ， 两边立方得：， ， ， ， ， 的“舒适区间”为． 22. 综合与实践 【阅读材料】 著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”．利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． （1）在学习“整式的乘法”时，图1是一个边长为的正方形，分成四个部分，分格线均与正方形或长方形的边平行．根据面积相等可得等式______． 如图2，模仿图1，可得等式______． 【进一步探究】 （2）如图3，可得等式______． 【直接应用】 （3）当时，，求和的值． 【答案】（1）； （2） （3）20；80 【解析】 【分析】（1）结合图形和正方形面积求解； （2）结合图形和正方形面积求解； （3）把和代入（2）中式子可求出，再把整理为，再代入和，进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：∵ 把和代入得： ， ∴， ∵和， ∴原式． 23. 综合实践 【问题背景】潜望镜是潜水艇中用来从水下观察水面上事物的一种仪器，它通过两个平行的平面镜反射来实现观察，如图1，，根据光的反射原理，可以得到，． 【理解原理】 （1）如图1，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（把证明过程补充完整） 理由：． ∴（ ）， ∵，， ∴（__________________）． ． 即__________________ （ ） 【尝试探究】 （2）改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．如图2，，入射光线经两次反射后，反射光线与平行，但方向相反，求； （3）如图3，若，，入射光线与反射光线的夹角，若三角形为锐角三角形，请直接写出的取值范围______． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；等量代换，；内错角相等，两直线平行； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定与性质完成证明即可； （2）先求出，进而求出，即可求出结论； （3）先求出，根据三角形为锐角三角形列不等式组计算求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ， ， ， ，即； 【小问3详解】 解：，理由如下： 由图可得，， ， ， 同理可得，， ， ∵三角形为锐角三角形， ，， 即． 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $