第二十五章一元二次方程（专项训练）解方程及根与系数的关系-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法与根的关系，通过分层题型系统构建“概念-判别-解法-应用”逻辑链，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解法选择|第10题|直接开平方法/配方法/公式法/因式分解法选择|从方程结构特征到最优解法匹配，培养策略性思维| |根的判别式|第3、4、5题|判别式符号与根的情况判定|结合一次函数性质深化根的存在性推理，发展逻辑思维| |根与系数关系|第7、8、15题|根的定义与韦达定理综合应用|通过代数式降次转化，构建“方程根-系数”关联认知|

第二十五章一元二次方程（专项训练）解方程及根与系数的关系-2026-2027学年九年级上册数学人教版 一、单选题 1．用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 2．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的判别式的值为（     ） A． B．12 C． D．8 4．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 二、填空题 6．填空： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 8．若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 9．关于的一元二次方程有实数根，则整数的最小值是______． 10．解下列方程：①；②；③；④．用较简便的方法依次是______；______；______；______． 11．若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值是_______________． 12．若，则的值为___________． 三、解答题-计算题 13．用配方法解一元二次方程： (1) (2) 14．解方程： (1) (2) (3) 四、解答题-问答题 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求的值． 16．判断关于x的方程是否为一元二次方程． 17．已知a是方程的一个实数根，求的值． 18．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二十五章一元二次方程（专项训练）解方程及根与系数的关系-2026-2027学年九年级上册数学人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 A C D C B 1．A 【详解】解：． 2．C 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 3．D 【分析】对于一元二次方程，根的判别式． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴． 4．C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 5．B 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 6． 1 1 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 7． 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的表达式，再结合根与系数的关系：是一元二次方程的两个根，则，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得，， 将代入所求代数式得： 原式． 8． 8 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得． ∴． ∵， 是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 9． 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，结合方程有实数根得到根的判别式大于等于，求出的取值范围，即可确定整数的最小值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得，且， 整数的最小值为． 10． 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 【分析】根据每个一元二次方程的结构特点，判断最简便的求解方法即可． 【详解】解：①， 移项化简可得，直接开平方即可得到方程的解，因此最简便的方法是直接开平方法； ②， 移项化简可得，一次项系数为偶数，配方过程计算简便，因此最简便的方法是配方法； ③，无法直接开平方，也不易进行因式分解和配方，因此最简便的方法是公式法； ④，移项后可以提取公因式可得，因式分解计算即可，因此最简便的方法是因式分解法． 11． 【分析】根据是的一个根，将代入原方程得，再代入计算即可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴把代入方程得: ， 整理得 :， ∴ ． ∴代数式的值为． 12．5或 【分析】将看作整体，换元后转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 展开整理得，即，因式分解得， 解得或， 因此的值为或． 13．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ∴， ∴，． 14．(1) (2)方程无实数根 (3) 【详解】（1）解： 即； （2）解： ∵， ∴原方程无实数根； （3）解： 即． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ，即， 解得； （2）解：是方程的一个根， 设方程的另一个根为， ， 解得， ， 解得． 16．当时，关于x的方程是一元二次方程； 当时，关于x的方程不是一元二次方程． 【分析】先将原方程整理为整式方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义分类讨论即可． 【详解】解：， ， ， 当，即时，原方程不是一元二次方程； 当，即时，原方程是一元二次方程． 17．2032 【分析】由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴． 18．(1)．二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为 (2)．二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 【详解】（1）解：，     移项得：； 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为； （2）解：， ， 整理得：； 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． 19．(1)证明： ． 方程总有两个实数根 (2)整数的值为． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）用分解因式法求出一元二次方程的两个根分别为：，，根据方程的两个根均为整数可得，再根据方程有两个不相等的实数根确定的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程可化为， 解得：，， 方程两根均为整数， 为整数，即为整数， 整数， 当时，可得：， ， 当时，， ，故舍去， 整数的值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $