2026-2027学年人教版数学九年级上册【判别式与根与系数的关系】专项训练

**基本信息** 以判别式与韦达定理为核心，构建“概念-方法-应用”三层体系，通过六大题型+变式训练培养抽象能力与推理意识，实现专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|定义/性质/公式|无|概念生成→性质推导→变形公式| |典例分析|6题型各1例+3变式|Δ符号判定、参数范围确定、韦达定理整体代入、综合题“先Δ后韦达”|题型与方法对应，覆盖基础到综合| |综合训练|基础6题+能力5题+拓展2题|新定义转化、分类讨论|应用拓展，衔接中考命题趋势|

九年级上册判别式、根与系数的关系培优专项练习 第一部分 知识梳理 一、根的判别式 1. 定义：对于一元二次方程（），式子叫做根的判别式. 1. 判别式与根的情况： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程无实数根. 1. 使用注意：二次项系数是隐含条件，当方程未明确说明是一元二次方程时，需分类讨论. 二、根与系数的关系（韦达定理） 1. 若一元二次方程（）的两个实数根为、，则： 1. 特殊形式：当二次项系数为时，方程的两根满足： 三、常见变形公式 1. 1. 1. 1. 1. 1. 四、六大核心题型概览 题型 考查重点 核心思想 题型一 利用判别式判断根的情况 计算的符号，判定根的个数 题型二 已知根的情况求参数 根据的不等式建立参数范围 题型三 利用韦达定理求代数式的值 将目标式转化为的组合 题型四 已知一根求另一根及参数 代入原方程或利用韦达定理列方程 题型五 判别式与韦达定理的综合 先验证，再运用韦达定理 题型六 新定义型问题 理解新定义，结合判别式与韦达定理推理 第二部分 典例分析与变式训练 题型一：利用判别式判断根的情况 方法点拨：对于一元二次方程，直接计算，根据的符号判定根的情况.当二次项系数含参数时，注意分类讨论. 例1判断下列关于的方程根的情况： （1） （2） 解： （1），，方程有两个不相等的实数根. （2），，方程无实数根. 变式1判断下列方程根的情况： （1） （2） （3） （4） 题型二：已知根的情况求参数 方法点拨：根据的符号列不等式（或方程），同时注意二次项系数不为零的隐含条件. 例2已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围. 解： 方程有两个实数根，. ， 解得. 变式2 （1）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. （2）若关于的方程有实数根，求的取值范围. （3）若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围. 题型三：利用韦达定理求代数式的值 方法点拨：先由韦达定理求出与的值，再将目标代数式转化为这两者的组合形式，整体代入求解. 例3设、是方程的两个根，求下列各式的值： （1）和 （2） （3） （4） 解： （1）由韦达定理：，. （2）. （3）. （4）. 变式3 （1）设、是方程的两根，求的值. （2）已知、是方程的两个根，求的值. （3）设、是方程的两个实数根，求的值. 题型四：已知一根求另一根及参数 方法点拨：已知一根，可利用韦达定理中的两根之和或两根之积直接求出另一根，再代回求参数. 例4已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根及的值. 解： 设另一根为，由韦达定理：，. 又，，解得. 另一根为，的值为. 变式4 （1）已知是方程的一个根，求此方程的另一个根和的值. （2）已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根及的值. （3）关于的一元二次方程有一个解为，求该方程的另一个解及的值. 题型五：判别式与韦达定理的综合 方法点拨：此类问题需要同时使用判别式和韦达定理.关键步骤：先用确定参数的取值范围，再利用韦达定理建立关于参数的方程，最后检验求得的参数是否满足. 例5已知关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，求的值. 解： 设两根为、，则，. 由题意：，即， 代入得：， 整理得：，即， 即，解得，. 检验：当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 或. 变式5 （1）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，且，求的值. （2）关于的方程有两个实数根、，且，求的值. （3）已知关于的一元二次方程，若方程的两根分别是等腰两边、的长，其中，求的值. 题型六：新定义型问题 方法点拨：理解新定义的内涵，将其转化为常规的判别式和韦达定理问题求解. 例6定义：如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“美丽方程”. （1）下列方程中，是“美丽方程”的是_________（填序号）. ①　　②　　③ （2）若是“美丽方程”，求的值. 解： （1）①解得，，①是“美丽方程”. ②解得，，②不是“美丽方程”. ③解得，，③是“美丽方程”. 综上，①③是“美丽方程”. （2）解得. 该方程“美丽方程”，，即， 或，解得或. 变式6 （1）定义：若两个实数根的差为，则称此方程为“差根方程”.判断方程和是否为“差根方程”. （2）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：.判断方程的根的情况，并说明理由. 第三部分 综合训练 一、基础训练 1. 一元二次方程的两根分别为、，则______，______. 1. 判断下列方程根的情况： （1） （2） （3） 1. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________. 1. 已知、是方程的两根，则的值为________. 1. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________. 1. 设、是方程的两个实数根，则______，______. 二、能力提升 1. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值. 1. 若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围. 1. 已知、是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值. 1. 已知关于的方程. （1）求证：无论取何值，该方程总有两个实数根. （2）若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，求的值. 1. 已知关于的方程. （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）若方程的两个实数根、满足，求的值. 三、拓展探究 1. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，求代数式的值. 解：是方程的根，，即. . 又由韦达定理：，. 原式. 由，代入得：原式. 阅读材料，回答问题. 材料：已知、是方程的两个根，求的值. 解：是方程的根，， 即.. 由韦达定理：，原式. 请仿照以上方法，完成下列各题： （1）已知、是一元二次方程的两个根，求的值. （2）已知、是方程的两根，求的值. 1. 已知关于的一元二次方程. （1）求证：方程有两个不相等的实数根. （2）若该方程的一个根为，求的值. （3）在（2）的条件下，且为正数，设方程的两个根为、，求的值. 第四部分 答案与解析 题型一：利用判别式判断根的情况 变式1 （1），有两个不相等的实数根. （2），有两个不相等的实数根. （3），有两个不相等的实数根. （4）原方程化为，，有两个不相等的实数根. 题型二：已知根的情况求参数 变式2 （1）方程为一元二次方程，. ，解得. 综上，且. （2）当时，方程为，有实数根，符合题意. 当时，，解得. 综上，. （3）方程为一元二次方程，. ，解得或. 综上，或. 题型三：利用韦达定理求代数式的值 变式3 （1），，. （2）是方程的根，，即. . 由韦达定理：，，原式. （3），，且. . 题型四：已知一根求另一根及参数 变式4 （1）设另一根为，则，. 又，. 另一根为，. （2）设另一根为，则，. 又，. 另一根为，. （3）设另一根为，则，，，. 另一根为，. 题型五：判别式与韦达定理的综合 变式5 （1）方程有两个不相等的实数根，，即. 设、为两根，则，. 又，代入得，，. ，满足.. （2）方程有两个实数根，，即. ，. 代入，得， 整理得，解得，. ，舍去，. （3），方程总有两个不相等的实数根. 解得，即，. 等腰三角形两边、的长为方程两根，， 当时，三边为，符合三角形三边关系； 当即时，三边为，符合三角形三边关系. 或. 题型六：新定义型问题 变式6 （1）①，解得，，，是"差根方程". ②，解得，，，不是"差根方程". （2）由新定义得，， 方程有两个不相等的实数根. 综合训练 一、基础训练 1. ，. 1. （1），有两个不相等的实数根. （2），无实数根. （3），有两个相等的实数根. 1. ，. 1. ，，原式. 1. ，. 1. ，. 二、能力提升 1. ，. 1. 方程为一元二次方程，，即. ，解得. 综上，且. 1. 是方程的根，，即. . 由韦达定理：，原式. 1. （1） ，方程总有两个实数根. 解得，即，. （2）当为腰时，或（舍去），解得，此时三边为，符合. 当为底时，，解得，此时三边为，符合. 或. 1. （1）， 方程总有两个不相等的实数根. （2），， 代入，得， 整理得，解得. 三、拓展探究 1. （1）是方程的根，，即. . 由韦达定理：，原式. （2）是方程的根，，即. . 由韦达定理：，原式. 1. （1）， 方程有两个不相等的实数根. （2）将代入得，. （3）∵为正数，.方程为，解得，. ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $