2026-2027学年人教版数学九年级上册【判别式与根与系数的关系】专项训练

九年级上册判别式、根与系数的关系培优专项练习

第一部分 知识梳理

一、根的判别式

1. 定义：对于一元二次方程（），式子叫做根的判别式.
2. 判别式与根的情况：
   方程有两个不相等的实数根；
   方程有两个相等的实数根；
   方程无实数根.
3. 使用注意：二次项系数是隐含条件，当方程未明确说明是一元二次方程时，需分类讨论.

二、根与系数的关系（韦达定理）

1. 若一元二次方程（）的两个实数根为、，则：
    
2. 特殊形式：当二次项系数为时，方程的两根满足：
    

三、常见变形公式

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 

四、六大核心题型概览

第二部分 典例分析与变式训练

题型一：利用判别式判断根的情况

方法点拨：对于一元二次方程，直接计算，根据的符号判定根的情况.当二次项系数含参数时，注意分类讨论.

例1判断下列关于的方程根的情况：

（1）    （2）

解：

（1），，方程有两个不相等的实数根.

（2），，方程无实数根.

变式1判断下列方程根的情况：

（1）   （2）

（3）   （4）

 

 

题型二：已知根的情况求参数

方法点拨：根据的符号列不等式（或方程），同时注意二次项系数不为零的隐含条件.

例2已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围.

解：

方程有两个实数根，.

，

解得.

变式2

（1）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.

（2）若关于的方程有实数根，求的取值范围.

（3）若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围.

 

 

题型三：利用韦达定理求代数式的值

方法点拨：先由韦达定理求出与的值，再将目标代数式转化为这两者的组合形式，整体代入求解.

例3设、是方程的两个根，求下列各式的值：

（1）和

（2）

（3）

（4）

解：

（1）由韦达定理：，.

（2）.