广东省湛江市第一中学2024届高三上学期开学考试数学试题

湛江第一中学2024届高三级开学考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：高考范围. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则=（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知函数，则的增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 15 B. 1 C. D. 6. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（ ） A B. 3 C. D. 4 7. 已知为钝角，，则的值为（ ） A. B. -2 C. D. 8. 已知函数且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 一组数据：0，1，5，6，7，11，12，则（ ） A. 这组数据的平均数为6 B. 这组数据的方差为16 C. 这组数据的极差为11 D. 这组数据的第70百分位数为7 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有两个零点 C. 恒成立 D. 恒成立 11. 已知圆与圆相交于两点，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 当时， C. 当且时， D. 当时，的最小值为 12. 《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”.在鳖臑中，，其外接球的表面积为，当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ） A. B. 此鳖臑的体积的最大值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 三棱锥的内切球的半径为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 二项式的展开式中含的系数为________． 14. 小张､小陈､小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为，小陈做出这道题的概率为，小胡做出这道题的概率为，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为__________. 15. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为________． 16. 双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）若，，求的值； （2）若，求角B，C的大小. 18. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 19. 如图，直三棱柱中，平面平面. （1）证明：； （2）若为上一点，且，求二面角的余弦值. 20. 2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表： 课余学习时间超过两小时 课余学习时间不超过两小时 200名以前 40 200名以后 40 （1）求的值； （2）依据上表，根据小概率值的独立性检验，分析学生成绩与课余学习超过两个小时是否有关系； （3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21. 已知椭圆右焦点为，上顶点为，，离心率为． （1）求椭圆标准方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程． 22. 已知函数． （1