第二十四章 一元二次方程 单元测试提优卷 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

**基本信息** 冀教版九年级上册一元二次方程单元提优卷，覆盖解法、判别式、韦达定理及实际应用，融合文化与生活情境，梯度设计培养数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|根的概念、配方法、判别式|第5题羊圈面积问题体现模型意识，第10题匾额外框融入文化传承| |填空题|4/12|根的判别式、韦达定理|14题结合两根关系考查运算能力，15题草坪小径问题强化几何直观| |解答题|8/72|综合应用与创新概念|21题酥饼销量增长（社会热点）、23题全整根方程（创新定义），培养推理与表达能力，契合核心素养要求|

冀教版九年级上册 第二十四章 一元二次方程 单元测试提优卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知一元二次方程 的一个根为-1，则 m的值为（　　） A．-4 B．4 C．-6 D．6 2．用配方法解一元二次方程. 时，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知方程 的一根为 则方程的另一根为(　　) A． B． C． D．3 4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数y=（k-3）x+5-k的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．如图，小红想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边 BC 上留一个 2m 宽的门(建在EF 处，另用其他材料).当羊圈的面积为 600 m2时，AB 的长为多少米?设矩形ABCD 的边AB 的长为x(m)，根据题意所列的方程是(　　) A．x(62-2x)=600 B．x(60-2x)=600 C．x(58-2x)=600 D．x(60-x)=600 6．我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A．x（x-1）=10 B．x（x+1）=10 C．x（x-1）=10×2 D．x（x+1）=10×2 7．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是(　　) A．a=1，c=4 B．a=-1，c=-5 C．a=3，c=1 D．a=2，c=2 8．用配方法解方程 将其化为(x+a)2=b的形式，正确的是(　　) A．(x-1)2=6 B．(x-1)2=4 C．(x+1)2=6 D．(x+1)2=4 9．对关于x的一元二次方程 将其一次项系数变为相反数，得到方程 则称这两个方程为“共轭方程”．若m为方程 的根，n为其共轭方程 的根，其中k为整数，且 则k的值为(　　) A．6 B．–6 C．3 D．-3 10．匾额是巴渝文化的重要标识，它既传递吉祥祈福的美好愿景，又承载忠孝节义、崇文重教的传统价值观，是巴渝民俗文化的活化石”．如图，一块匾额长，宽，现在准备在它的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与匾额衔接处忽略不计），制成后总面积为．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 11．已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（　　） A． B．1 C． D．2 12．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，． ④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数一定互为相反数． 其中，正确的有几个（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 m 的取值范围是　 　. 14．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　． 15．如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径(阴影部分)，石板小径的总面积占草坪总面积的 ，则石板小径的宽度为　 　米． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．解一元二次方程： （1） （2） 17．已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程两个实数根分别为，，且，求实数的值． 18．已知方程 的两根分别为x1，x2，求 的值. 19．若一个整式能表示成a2-b2（a，b都是整式），则称这个式子为“平方差式”，若a，b为整数，称“平方差数”则.如3=22-12；2a+1=（a+1）2-a2等. （1）写出一个大于30且小于40的“平方差数”. （2）已知（k是常数）是“平方差式”，求出符合条件的一个k值，并说明理由. 20．我们把一元二次方程 的两根记为x1，x2，若方程的两根满足 则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为k；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对。 已知关于 x 的方程. （1）不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程是对称根方程，且对称中心值为5，求m的值； （3） 若 是它的互补对，求m的值. 21．依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高.该店7 月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋. （1）求该门店7 月到9 月酥饼总销量的月平均增长率. （2）门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋.市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋.门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元? 22．根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根.如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形ABCD 拼成一个大正方形 EFGH. （1）求解方程x(x+5)=6的正根，可令m=x+5，n=x，则图中每个长方形的面积为6. ①小正方形ABCD，大正方形 EFGH的面积各是多少? ②利用大正方形EFGH 的边长，请你求出方程x(x+5)=6的正根. （2）小明用此方法求关于x的方程x(3x+t)=14(t为常数，且t>0)的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求 t 的值. 23．我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”.对于“全整根方程”设其两根为定义有序数对M（s，p）为该方程的特征数对（其中若两个“全整根方程”的特征数对分别为则称这两个方程互为“关联全整根方程”. 举例说明：方程①：特征数对M（9，20）； 方程②：特征数对M2（6，5）； 验证：因为9+6=|20-5|，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”.解答下列问题： （1）【概念辨析与计算】 已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”. ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为M（3，2），求k的值. （2）【关联探究与推理】 若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为αβ和α+1，β+1.请用含a，b的代数式表示p，q. （3）【AI验证与拓展】 某同学利用AI工具生成了“全整根方程”与“全整根方程”且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值. 参考答案 1．A 2．A 3．A 4．D 5．A 6．C 7．C 8．A 9．A 10．C 11．B 12．C 13．m≤2且m≠1 14．7 15．1 16．（1）解：(x-1)2=9， x-1=±3， 解得： x=4或x=-2 （2）解： ∴ 即 或 解得： 或 17．（1）解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：． （2）解：方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， 整理，得， 解得，， ， ． 18．解：∵方程 的两根分别为 19．（1）如等，答案不唯一 （2）∴k=5 20．（1）证明：对于方程 ∵m为任意实数时， 恒成立. ∴不论m取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根为 ∵该方程是对称根方程，且对称中心值为k=5， ∴根据定义有： 则2m+4=2×5， 则m=3； （3）解：对于方程 设它的两根为 ∵它的对称中心值为 对于方程 ∴两根之和为2m+4，所以它的对称中心值为 ∵两根之积为4m， ∴根据“互为互补对”的定义，两对称中心值之和等于两根之积的差的绝对值，则 分两种情况讨论： ①当4m-21≥0时，即 ∴m + 7 = 4 m - 2 1 . 解得 ∴此解符合题意. ②当4m-21<0时，即 ，解得 ∴此解也符合题意. 综上，m的值为 或 21．（1）（1）设该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率为x， 根据题意得：15（1+x）2=21.6， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不符合题意，舍去）． （2）设每袋酥饼需要降价y元，则每袋的销售利润为（25-18-y）元，单日可卖出（60+10y）袋， 根据题意得：（25-18-y）（60+10y）=400， 整理得：y2-y-2=0， 解得：y1=2，y2=-1（不符合题意，舍去）． ∴降价2元. 22．（1）解：①由题意，∵m=x+5，n=x，长方形面积mn=6， ∴小正方形的边长为m-n=(x+5)-x=5， ∴小正方形的面积为： 又∵大正方形的边长为m+n， ∴其面积为： 49. 答：小正方形面积为25，大正方形面积为49； ②由(1)得EF=m+n=7=2x+5， 即方程x(x+5)=6的正根为：x=1； （2）解：由题意得 解得t=1. 23．（1）；x2=2； ②∵其特征数对为， ∴ ， ， ∵，， ∴， 由第二个方程得， 代入第一个方程验证：时，，符合要求； 时，舍去，因此． （2）解：∵方程的根为， 由韦达定理得，， ∵方程的根为， 由韦达定理得： ，即 ， 代入得， 整理得． 两根积： ，展开得 ， 代入，得， 因此． （3）解：， ∴，解得：， ∴方程B的特征数对： ， ． 对方程A：， 由韦达定理得，， ∴ （）， ， ∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程A：是“全整根方程”， ∴ 是非负完全平方数， ∴时，，符合，此时； 时，，符合，此时； 其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9． 学科网（北京）股份有限公司 $