第二十四章 一元二次方程（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第二十四章一元二次方程基础通关单元卷，以科技前沿（如量子比特共振频率）与生活实际（如童装销售）为情境，覆盖方程概念、解法及应用，适配单元复习，助力抽象能力、模型意识与推理能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|一般形式、根的判别式、公式法|第2题判断根的情况，基础巩固；第11题结合诺贝尔物理学奖情境，体现时代性| |填空题|4/12|配方、韦达定理、倍根方程|第14题数轴整数根方程，第16题“倍根方程”概念，培养创新意识| |解答题|8/72|实际应用、综合探究|第23题梨膏糖利润问题，第24题韦达定理构造应用，突出数学思维与模型意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十四章 一元二次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A D B B A A D B A 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．3 14．（答案不唯一） 15． 16．是 或 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法求解一元二次方程即可； （2）运用提公因式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴或 解得，；························3分 （2）解： ∴或 解得，．·······················7分 18．（8分） 【答案】(1)二；二 (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法和等式的基本性质求解即可； （2）利用十字相乘法将左边因式分解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉从第二步开始错误，因为方程左边因式分解出现了错误； 琪琪从第二步开始错误，因为她方程两边同时除以时，没有分情况讨论．·······················2分 （2）解：按嘉嘉的解法：原方程可化为：， ∴， ∴或, 解得：；·······················5分 按琪琪的解法：原方程可化为：， 当时，， 当时，两边都除以，得， ∴．·······················8分 19．（8分） 【答案】每件童装应降价10元或20元 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量与每件童装的利润是解题关键．根据题意表示出降价元后的销量以及每件童装的利润，由平均每天销售这种童装盈利1200元，进而得出答案． 【详解】解：设每件童装应降价x元， 可列方程为：，·······················3分 解得：或20，·······················7分 故要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价10元或20元．·······················8分 20．（8分） 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得，解得，即可作答． （2）理解题意，得出符合条件的最大整数，得，运用公式法进行求解，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， ∴m的取值范围是．·······················3分 （2）解：由（1）知，m的取值范围是． ∴符合条件的最大整数， ∴一元二次方程化为， 此时， ∴， ∴或， ∴当m为符合条件的最大整数时，方程的根为或．·······················8分 21．（9分） 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略·······················3分 （2）解：①把代入方程，得， ．·······················6分 ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0．·······················9分 22．（9分） 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】根据图形即可求解； 剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为，由剪拼后图形的面积不变，得，然后把代入即可求解； 把，代入即可求解． 【详解】（1）解：由题图可得，拼成的正方形的边长为，长方形的长为， 故答案为：，；·······················2分 （2）解：剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为， 由剪拼后图形的面积不变，得， 当时，， 整理得， 解得或（舍去），·······················5分 （3）解：∵，， ∴等腰三角形纸片的面积．···················9分 23．（11分） 【答案】(1) (2) 80元 (3) ①日产量定为60千克；②不能实现 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求的最大值； （3）①先根据总利润每千克利润日产量，得到总利润关于的二次函数，再令求解即可； ②令，通过方程解的情况判断目标利润能否实现． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为；·······················3分 （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元；·······················5分 （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克．·······················8分 ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划．·······················11分 24．（12分） 【答案】(1) (2) (3)的最大值为1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据实数、是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； （2）先将，代入求出，再由一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （3）将、看作是方程的两实数根，再由一元二次方程根的判别式得不等式，结合即可求解． 【详解】（1）解：实数、，且，满足、， 实数、（）是一元二次方程的两根， ， 故答案为：；·······················3分 （2）解：方程两个实数根，，若满足， ，无解或， ， ， ，， ．·······················6分 （3）解：，， 将、看作是方程的两实数根； ， 而， ， ， 即， 的最大值为1．·······················12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十四章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北衡水·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 4．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 5．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 6．（2026·河北·三模）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于y轴对称的点是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河北张家口·期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 8．（2026·河北保定·三模）已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 9．（2026·河北邢台·模拟预测）已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（     ） A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误 C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误 10．（2026·河北唐山·二模）若实数，满足，，且，则的值为（     ） A． B． C． D．2 11．（2026·河北邯郸·三模）2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件①：；②一元二次方程（其中，是实数）的两个根为和，其一次项系数的2倍与常数项的和等于两根的差的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级下·河北张家口·期末）把方程化成的形式，则m的值是________． 14．（2026·河北廊坊·二模）如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一个以这两个整数为根的一元二次方程（写一般式）______． 15．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____． 16．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 18．（8分）（24-25八年级下·河北张家口·期末）计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 (1)她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； (2)写出方程正确的解答过程． 19．（8分）（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？ 20．（8分）（25-26九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 21．（9分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 22．（9分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 (2)若，求的值； (3)在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 23．（11分）（25-26八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 24．（12分）（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，若实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如若实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、，且，满足、，则的值为___________； (2)若关于的方程有两个实数根，，若满足，求的值； (3)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十四章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 2．（25-26八年级下·河北衡水·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】计算一元二次方程根的判别式的值，根据与的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 3．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 4．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 5．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设这个数为x，根据对话描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 6．（2026·河北·三模）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于y轴对称的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程化为一般形式，求出得到点坐标，再根据对称特征求对称点坐标即可． 【详解】解： ，其中， ∴，，即点坐标为， ∵点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于y轴对称的点为． 7．（25-26八年级下·河北张家口·期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 8．（2026·河北保定·三模）已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 【答案】A 【分析】设另外两条边长为正整数，根据方程因式分解对比系数得到和与的关系，再利用三角形三边关系筛选出符合条件的，即可求出． 【详解】解：设另外两条边长分别为，，均为正整数， ∵是方程的两个根， ∴， 根据三角形三边关系，得， 列出乘积为的所有正整数对：， 逐一验证可知，前四组两数差得绝对值均大于，不符合三边关系； 仅满足，，符合条件， ∴，得． 9．（2026·河北邢台·模拟预测）已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（     ） A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误 C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误 【答案】A 【详解】解：①．∵将代入，可得， 又∵， ∴满足方程，即方程一定有一个根为，故①说法正确． ②．∵方程的两个根为和，两根都满足方程，代入得： ， ，得 ， ∴，故②说法正确． 综上①②都正确． 10．（2026·河北唐山·二模）若实数，满足，，且，则的值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】把看作一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】∵ ， ，， ∴可以把看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ． 11．（2026·河北邯郸·三模）2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件①：；②一元二次方程（其中，是实数）的两个根为和，其一次项系数的2倍与常数项的和等于两根的差的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得到，，再由条件得到，即可求解． 【详解】解：方程的两根为和， ，， 由条件①得，则，即． 由条件②可得，代入， 得，整理得， 其中，， 代入上式得，解得． 12．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据四边形的面积等于四边形面积的倍列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积， 四边形面积， 四边形的面积等于四边形面积的倍， ， 整理得 设， ， 解得或（舍去）， ． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级下·河北张家口·期末）把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 14．（2026·河北廊坊·二模）如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一个以这两个整数为根的一元二次方程（写一般式）______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先得到②段包含两个整数和0，然后根据一元二次方程的解写出方程即可． 【详解】解：由数轴可知②段包含两个整数和0， 由题意得，一元二次方程的根为，， 可以写出一个以这两个整数为根的一元二次方程为，化为一般式是（答案不唯一）． 15．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系，以及方程有两个不相等的实数根时，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的两个不相等的实数根为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴． 16．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，则的值为________． 【答案】 是 或 【分析】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）解方程，然后分是的2倍，是的2倍，两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）， ， ，， ∵4是2的2倍， ∴方程是“倍根方程”， 故答案为：是； （2）， ∴，， 解：，， ∵是“倍根方程”， ∴当是的2倍时，即，则， ∴当是的2倍时，即， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法求解一元二次方程即可； （2）运用提公因式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴或 解得，；························3分 （2）解： ∴或 解得，．·······················7分 18．（8分）（24-25八年级下·河北张家口·期末）计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 (1)她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； (2)写出方程正确的解答过程． 【答案】(1)二；二 (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法和等式的基本性质求解即可； （2）利用十字相乘法将左边因式分解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉从第二步开始错误，因为方程左边因式分解出现了错误； 琪琪从第二步开始错误，因为她方程两边同时除以时，没有分情况讨论．·······················2分 （2）解：按嘉嘉的解法：原方程可化为：， ∴， ∴或, 解得：；·······················5分 按琪琪的解法：原方程可化为：， 当时，， 当时，两边都除以，得， ∴．·······················8分 19．（8分）（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？ 【答案】每件童装应降价10元或20元 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量与每件童装的利润是解题关键．根据题意表示出降价元后的销量以及每件童装的利润，由平均每天销售这种童装盈利1200元，进而得出答案． 【详解】解：设每件童装应降价x元， 可列方程为：，·······················3分 解得：或20，·······················7分 故要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价10元或20元．·······················8分 20．（8分）（25-26九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得，解得，即可作答． （2）理解题意，得出符合条件的最大整数，得，运用公式法进行求解，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， ∴m的取值范围是．·······················3分 （2）解：由（1）知，m的取值范围是． ∴符合条件的最大整数， ∴一元二次方程化为， 此时， ∴， ∴或， ∴当m为符合条件的最大整数时，方程的根为或．·······················8分 21．（9分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略·······················3分 （2）解：①把代入方程，得， ．·······················6分 ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0．·······················9分 22．（9分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 (2)若，求的值； (3)在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】根据图形即可求解； 剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为，由剪拼后图形的面积不变，得，然后把代入即可求解； 把，代入即可求解． 【详解】（1）解：由题图可得，拼成的正方形的边长为，长方形的长为， 故答案为：，；·······················2分 （2）解：剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为， 由剪拼后图形的面积不变，得， 当时，， 整理得， 解得或（舍去），·······················5分 （3）解：∵，， ∴等腰三角形纸片的面积．···················9分 23．（11分）（25-26八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 80元 (3) ①日产量定为60千克；②不能实现 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求的最大值； （3）①先根据总利润每千克利润日产量，得到总利润关于的二次函数，再令求解即可； ②令，通过方程解的情况判断目标利润能否实现． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为；·······················3分 （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元；·······················5分 （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克．·······················8分 ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划．·······················11分 24．（12分）（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，若实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如若实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、，且，满足、，则的值为___________； (2)若关于的方程有两个实数根，，若满足，求的值； (3)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据实数、是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； （2）先将，代入求出，再由一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （3）将、看作是方程的两实数根，再由一元二次方程根的判别式得不等式，结合即可求解． 【详解】（1）解：实数、，且，满足、， 实数、（）是一元二次方程的两根， ， 故答案为：；·······················3分 （2）解：方程两个实数根，，若满足， ，无解或， ， ， ，， ．·······················6分 （3）解：，， 将、看作是方程的两实数根； ， 而， ， ， 即， 的最大值为1．·······················12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十四章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北衡水·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 4．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 5．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 6．（2026·河北·三模）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于y轴对称的点是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河北张家口·期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 8．（2026·河北保定·三模）已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 9．（2026·河北邢台·模拟预测）已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（     ） A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误 C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误 10．（2026·河北唐山·二模）若实数，满足，，且，则的值为（     ） A． B． C． D．2 11．（2026·河北邯郸·三模）2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件①：；②一元二次方程（其中，是实数）的两个根为和，其一次项系数的2倍与常数项的和等于两根的差的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级下·河北张家口·期末）把方程化成的形式，则m的值是________． 14．（2026·河北廊坊·二模）如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一个以这两个整数为根的一元二次方程（写一般式）______． 15．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____． 16．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 18．（8分）（24-25八年级下·河北张家口·期末）计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 (1)她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； (2)写出方程正确的解答过程． 19．（8分）（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？ 20．（8分）（25-26九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 21．（9分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 22．（9分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 (2)若，求的值； (3)在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 23．（11分）（25-26八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 24．（12分）（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，若实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如若实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、，且，满足、，则的值为___________； (2)若关于的方程有两个实数根，，若满足，求的值； (3)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $