第23章 数据分析与统计估计 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（冀教版·新教材）

第二十三章 数据分析与统计估计 知识梳理导图 算术 一般地，对于n个数x,x2,x3,…,xm,我们把 平均数 (1十x2十…十x)叫作这n个数的算术平均数 平 若n个数T,x2,x3,…,xn的权分别是w1,w2,心3，…，wu,则 数 x1w1十x22十x3w3+…十xnwn w1+w2干w3+十wn 叫作这n个数的加权平均数 加权 平均数 若n个数中，℃1，℃2，x,,Ck出现的次数分别为f斤1， f2,f,…,f,这里f十f2十f十…十f=n,则 f十2f十xf十十x叫作这n个数的加权平均数 n 众数 一组数据中出现次数最多的数叫作这组数据的众数 将一组数据按照由小到大（或由大到小)的顺序排列， 位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最 中位数 中间两个数据的平均数（当数据个数为偶数时） 数据分析 离差平方和。样本中，各数据与平均数的差的平方和 与统计估计 方 s=[2x+(-z}+…十（红，-x)] 数据的 差 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小 波动程度 用样本方差估计总体方差 数据的分组通常用组内离差平方和最小来分组 一组数据的中位数也叫作50%分位数，记作m0,中位数把这 组数据分成左右两部分，用m和m分别表示左右两部分数 四分 据的中位数.m25,m0,m这三个数值把所有数据分为个数相 位数。 等的四组，这三个数叫作这组数据的四分位数 四分位数 与箱线图 箱线图 用一组数据的最小值，m5,mo,m5,最大值绘制成的统计图 应用 解决实际问题，做出决策 重难疑点解法 分上分点个平均数、中位数和众数的应用 如下（满分：100分）： 例某校组织学生参加安全知识竞赛，为了解 七年级：90,95,95,80,85,90,80,90,85,100. 竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生，统计的成绩 八年级：85,85,95,80,95,90,90,90,100,90. 1 实验班提优训练数学九年级上HBJY 平均数 中位数 众数 [理解]根据箱线图和四分位数解答即可. 七年级 89分 a分 90分 八年级 90分 90分 b分 根据以上信息回答下列问题： (1)a= ,b= (2)通过已有数据分析，你认为哪个年级的成绩 比较好？说明理由 名师启发(1)根据中位数、众数的定义即可得 出答案； (2)根据平均数、中位数和众数的大小进行比较即可. 归纳总鸡 本题考查了四分位数、箱线图，掌握四分位 数的计算方法是解答本题的关键. 归纳总结 2上分点3方差 本题考查了平均数、中位数、众数，理解平均 例3(2025·石家庄模拟)某中学举办“网络安全 数、中位数、众数的定义是正确解答的前提，掌握平 知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名 均数、中位数、众数的计算方法是解决问题的关键. 选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手 的决赛成绩如图所示. 分上分点2四分位数与箱线图 」分数 口 100 例2[应用]甲、乙两组的测试成绩如下： 90 七年级 80 ▣ 甲：91,96,70,89,60,70,100,80,92,98； 70 八年级 乙：92,93,70,88,82,75,96,80,92,95. (1)求甲组数据的四分位数； 5 选手编号 (2)根据四分位数可绘制箱线图如图所示，观察 平均数 中位数 众数 方差 图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图， [理解]根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对 七年级 a 85 6 S品七年级 两组成绩的看法。 八年级 85 100 160 (1)根据统计图填空：a= 6= 甲组 乙组 (2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析， 70 80909396 哪个代表队的决赛成绩较好？ 6065707580859095100 (3)计算七年级代表队决赛成绩的方差s尾年级，并 名师启发[应用](1)根据四分位数的定义解答 判断哪一个代表队选手成绩较为稳定。 即可； 名师启发(1)根据平均数的计算公式和众数、中 (2)结合(1)的结论解答即可； 位数的定义分别进行解答，然后把表补充完整即可； 2 第二十三章 (2)根据在平均数相同的情况下，中位数高的那个队 分上分点4数据的分组 的决赛成绩较好进行解答； 例4公司6名员工年龄为22,25,28,30， (3)根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差 35,40,分成两组，使组内年龄差异最小. 的意义即可得出答案. 名师启发先分两组，分别算出两组的离差平方 和，最后再相加. 型归纳总结 通用解法总结： 1.将数据从小到大排列； 归纳总结 2.枚举所有可能的两组组合； 3.按照组内年龄差异最小，选择使两组组内离差 方差反映了一组数据的波动大小，方差越大， 平方和最小的分组， 波动性越大，方差越小，波动性越小 易错易混辨析 不理解加权平均数的概念而出 )易错点1 饥固特 现错解 1.(2025·廊坊霸州期末)某校举办了以“展礼仪风采， 例①在一次数学检测中，七(1)班50人，平均 树文明形象”为主题的比赛，从服装礼仪、语言表 分为86分；七(2)班52人，平均分为84分；七(3)班 达、举止形态这三个方面来考查，所占比例分别 49人，平均分为85分，则这次检测中这三个班级数学 为30%，40%，30%，某选手各项得分如表： 成绩的平均数是 分（精确到0.01分）. 项目 服装礼仪语言表达举止形态 解析.86分出现50次，84分出现52次，85分 成绩/分 95 80 85 出现49次，.这次检测中这三个班级数学成绩的平均 则该选手的最终成绩是( ) 1 数是50+52+49X(86X50+84X52+85X49)= A.89分 B.88分 1 C.87分 D.86分 50+52+49 ×12833≈84.99（分）. )易错点2不理解众数的概念而出现错解 答案84.99 例2为了保护环境，加强环保教育，某中学组 辨析归纳 -- 在计算一组数据的平均数时，一定要认真审 织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽 题，弄清楚所求的结果是算术平均数还是加权平均 取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计： 数，如本题，由于已知的三个数据既不是出现1次， 废旧电池数/节 4 5 6 8 也不是出现的次数都相等，而是依次出现50,52， 收集到此节数的人数/人 91111 5 !49次，所以应根据加权平均数的求解方法计算其 根据统计表可知，学生收集到的废旧电池数的众 平均数 数是(). 3 实验班提优训练数学九年级上HBY A.6 B.11 C.5或6D.5和6 饥固特 解析观察统计表可知，收集到5节和6节废旧 2.如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延 电池数的人数最多，都是11人，所以学生收集到的废 时服务的打分情况，则所打分数的众数是( 旧电池数的众数是5和6. 2分10%1分5% 答案D 辨析归纳-·一 3分 5分 25% 15% 求众数的问题中，容易出现两类错误：一是不 理解众数的概念，从而混淆了“数据”与“该数据出 4分 45% 现的次数”的区别，由此出现误选B的错误；二是误 (第2题) 认为众数只有1个，实际上，众数可能有1个，也可 A.3分 B.3.55分 能没有或有多个，由此出现误选A或C的错误. C.4分 D.45% 素养考向提分 新情境 姓名 笔试 口语听力 例①双减政策落地，各地学校大力提升学生核 小强 96 86 73 心素养，学生的综合评价分学习、体育和艺术三部分， 小敏 92 81 83 学习成绩、体育成绩与艺术成绩按5：3：2计入综合 (1)求小强的平均成绩 评价，若宸宸学习成绩为90分，体育成绩为80分，艺 (2)若按笔试占20%，口语占50%，听力占30%， 术成绩为85分，则他的综合评价得分为(). 计算综合成绩（满分为100分），应该选派谁去参 A.84分 B.85分 加全国的英语竞赛？ C.86分 D.87分 解析根据题意，得他的综合评价得分为 90×5+80×3+85×2 5+3+2 =86(分). 答亲C 的点设 加权平均数的计算公式为x x1f1十xf2十+xf,其中f1,f2,…,f代 n 表各数据的权，且f1十f2十…十f。=n. 孔释反月 1.大学期间含金量较高的四个竞赛之一是全国大学 生英语竞赛，获奖学生轻松获取保研资格.某大学 为此要选拔一位学生参加全国的英语竞赛，该校 对参与选拔的同学进行了笔试、口语与听力三个 方面的测试，最终进入选拔的两位同学是小强和 小敏，他们各项得分如下表所示： 4 第二十三章 新考法 则该送餐员十二月份平均每单送餐费是(). 例2(2025·黑龙江绥化期末)阳光小学数学思维 A.4.4元B.4.6元C.4.8元D.5元 3.(2026·郑州四中月考)2024年10月，神舟十九号载 社团进行了一次测试，这次测试成绩的统计图表损坏 人飞船发射成功，神舟十八号与神舟十九号6名 了（如图），请利用图表中仅存的数据信息解答下列各题。 航天员胜利会师中国空间站.校团委组织了“中国 数学思维社团测试成绩统计表 梦·航天情”系列活动.下面是八年级甲、乙两个班各 总人数平均分及格率优秀率 项目的成绩（单位：分）： 83.5 96% 班级知识竞赛 演讲比赛 版面创作 人数 85 91 88 16 乙 90 84 87 (1)如果根据三项成绩的平均分计算最终成绩，请 4 通过计算说明甲、乙两班谁将获胜， 优秀良好合格不合格等级分数 90~10080~8960~79<60 (2)如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5： (1)数学思维社团一共有多少人参加了这次测试？ 3:2的比例确定最终成绩，请通过计算说明甲、乙 (2)数学思维社团这次测试成绩的优秀率是多少？ 两班谁将获胜。 (3)考试时，如果社团中一个学生因病请假.第二 天这位同学进行了补考，他考了94分，那么这次测试 的平均分约 (填“提高”或“降低”) 分.（保留一位小数） 解答(1)2÷(1-96%)=50. 故数学思维社团一共有50人参加了这次测试. （2)这次测试成续的优秀率是员×10%-32%。 (3)提高0.2提示：[83.5×50+94幻÷(50+ 1)≈83.7（分）， 83.7-83.5=0.2(分)， 即这次测验的平均分约提高0.2分： 点 (1)先求出不及格率，根据不及格的人 数除以不及格率即可求解；(2)用优秀人数除 以总人数即可；(3)先计算出现在的平均数，然后相 减即可. 举反白 2.(2025·泰州靖江一模)某送餐员十二月份送餐统计 数据如下表： 送餐距离小于等于3千米 大于3千米 占比 70% 30% 送餐费 4元/单 6元/单 54答亲6D详解 第二十三章数据分析与统计估计 ②当分为22,25和28,30,35,40时，则x1=23.5, 例(1)9090[解析]：将七年级10名学生成 x2=33.25,S1=4.5,S=86.75,S+S号=91.25； 绩从小到大排列，得80,80,85,85,90,90,90,95,95， ③当分为22,25,28和30,35,40时，x1=25,x2=35, 100,处于最中间位置的两数都是90， S=18,S2=50,S1+S2=68; ∴.七年级学生成绩的中位数是90分，即a=90. ④当分为22,25,28,30和35,40时，x1=26.25,x2=37.5, ,八年级学生成绩中出现次数最多的是90， S=36.75,S=12.5,S+S2=49.25; ∴.八年级学生成绩的众数是90分，即b=90. ⑤当分为22,25,28,30,35和40时，x1=28,x2=40, (2)八年级成绩较好.理由如下： S=98,S号=0，S+S8=98. 两个年级成绩的中位数和众数相同，八年级成绩的 综上，按组内离差平方和最小原则，应分为22,25,28， 平均数比七年级的高，∴八年级成绩较好 30和35,40两组. 例2[应用](1)把甲组的成绩按从小到大排列 巩固特 为60,70,70,80,89,91,92,96,98,100， 1.D[解析]95×30%+80×40%+85×30%= 故中位数为 9+91 =90,第一四分位数为70，第三四 86(分).故选D. 2 2.C[解析].45%>25%>15%>10%>5%， 分位数为96. 由扇形统计图知，打4分的人数占总人数的 (2)如图所示. 45%,人数最多， 甲组 .所打分数的众数为4分.故选C. 60 7 9096100 旧纳总结本题主要考查众数，求一组数据的众 乙组 909396 数的方法：找出出现次数最多的那个数据，若几个 6065707580859095100 数据出现次数都是最多且相同，此时众数就是这 [理解]根据箱线图和四分位数，可知甲组成绩比较分 多个数据 散，乙组成绩比较集中（答案不唯一）. 例3(1)858580[解析]七年级的平均数a= 举反日 1.(1)小强的平均成绩为(96+86+73)÷3=85（分）. 75+80+85+85+100 5 =85,众数b=85, (2)小强的综合成绩为96×20%+86×50%+ 八年级选手的成绩从小到大排列是70,75,80,100， 73×30%=84.1(分)， 100,故中位数c=80. 小敏的综合成绩为92×20%+81×50%+83× (2)由表格可知七年级与八年级的平均数相同，七年 30%=83.8(分) 级的中位数高，故七年级决赛成绩较好 84.1>83.8,∴.应该选派小强同学去参加全国 (③足=号×[(5-85y+(80-5)2+2×(85 的英语竞赛。 2.B[解析]该送餐员十二月份平均每单送餐费是 85)2+(100-85)2]=70, 4×70%+6×30%=4.6(元)，故选B. 5气年级<只年级， 3.(1)甲班的平均分为(85+91+88)÷3=88（分）， ∴七年级代表队选手成绩较为稳定. 乙班的平均分为(90+84十87)÷3=87（分）. 例4①当分为22和25,28,30,35,40时，则元1= ,88>87,.甲班将获胜， 2,d,=号×(25+28+30+35+40)=31.6， (2)甲班的最终成绩为(85×5+91×3+88×2)÷ (5+3+2)=87.4(分)， S=0,S=(25-31.6)2+(28-31.6)2+(30-31.6)2+ 90×5+84×3+87×2 (35-31.6)2+(40-31.6)2=141.2,S+S=141.2; 乙班的最终成绩为 5+3+2 ，36 87.6(分). ∴.此方程无解，即第10天不能全部销售完， 87.4<87.6,乙班将获胜 ∴.第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋 第二十四章一元二次方程 的价格全部卖给古城小吃店的利润为(15一13)· 例1由条件可知2a2-3a-1=0, [900-2×25-8(25+7]=(1350-60r)元， ∴.2a2-3a=1,∴.a(2a-3)=1, .2a(2a-3)+1=2×1+1=3. ∴25×2X(25-18)+8(25-13-x)(25+75)+ 例2(1)x2-2x-5=0, 13500-600x=40500, .x2-2x=5, 解得x1=0,x2=4. ∴.x2-2x+1=5+1, 是促销， 即x2-2x+1=6, ∴.x=4.故促销时每袋应降价4元. .(x-1)2=6, 巩固特训 ∴x-1=土√6， 1.(1)一[解析]，原方程没有变形为一般形式就 .x1=1十6，x2=1-√6. 进行求解， (2)(x-2)2=3x-6, 解题过程从第一步开始出现错误 ∴.(x-2)2=3(x-2), (2)x2=3x+2, ∴.(x-2)2-3(x-2)=0, 原方程可变形为x2一3x一2=0， .(x-2)(x-2-3)=0, .a=1,b=-3,c=-2, ∴.x-2=0或x-5=0, ∴.△=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17, ∴.x1=2,x2=5. x=-b±6-4ac=3±17 2a 2 例3(1)：x=-1是一元二次方程b(x2-1)十 2ax+c(x2+1)=0的根， x,=3+/17 2 x2=37 2 .-2a+2c=0,∴.a=c, 关键提醒本题考查了解一元二次方程，熟练掌 ∴.△ABC为等腰三角形. 握公式法解方程的步骤和方法是解题的关键. (2).b(x2-1)+2a.x+c(x2+1)=0, 2.(1)由条件可知3m-3=0, ∴.(b+c)x2+2ax+(c-b)=0. 解得m=1, 方程有两个相等的实数根， .原方程化为2x2一8x=0, .△=4a2+4(b+c)(b-c)=0, 分解因式得2x(x-4)=0, ∴.a2+b2=c2, 解得x1=0,x2=4, ∴.△ABC为直角三角形 方程的另一根为x=4. 例4(1)设总共生产了a袋手工汤圆， (2)设关于x的一元二次方程2x2一8x+3m一 依题意，得器+船=21，解得a=90 3=0的两个根分别为x1,x2, 故总共生产了9000袋手工汤圆. 则有x1:三=3 2 (2)设促销时每袋应降价x元，当钢刚好10天全部卖完时， 方程有两个根且都是正整数， 依题意，得225×2×(25-13)+8(25-13-x)· (3m-3>0, (25+2+）=4050, 4=(-8)2-4×2(3m-3)≥0， 解得1<m<号当m=2时z,=是，此时， 3 整理得x2-6.x十45=0. .△=b2-4ac=62-4×45=-144<0, x2不都是正整数，因此m-2不符合题意；当m= 371