单元集训卷37 平面解析几何(基础)-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面解析几何基础，以直线、圆及圆锥曲线为核心，通过层级化题型构建知识逻辑链，培养数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆|选择1-4、填空12-13、解答15-16|垂直/交点方程、弦长计算、切线轨迹|从斜率关系到圆的方程，构建“线-圆”位置关系应用逻辑| |椭圆|选择5、7、11、解答17|离心率范围、中点弦问题|以定义为起点，结合方程性质推导几何量关系| |双曲线|选择8、9、解答18|渐近线、离心率计算|通过方程特征关联渐近线斜率与离心率| |抛物线|选择6、填空14、解答19|焦点准线、最值问题|利用定义转化距离，建立代数与几何联系|

单元集训卷37　平面解析几何(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三·浙江绍兴·开学考试）已知直线与直线互相垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线垂直的充要条件，代入对应直线系数计算即可得到的值. 【详解】由于直线与垂直， 得 ，解得. 2．（25-26高三·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【详解】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 3．（25-26高三·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长 4．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将圆配方得， 因此圆心为，半径； 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离需满足； 当时，圆上恰好有3个点到直线距离为1； 当时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心到直线的距离 ， 解得，即. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义和题设等式求出焦半径，再结合椭圆中焦半径的范围，求解不等式即得离心率范围.． 【详解】由椭圆的定义，得， 又，联立解得， 因， 即 ,解得, 则离心率， 又，所以． 6．（2026·新疆·三模）已知为坐标原点，抛物线的焦点为为C上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意求出点的坐标，再由向量垂直得坐标表示列方程，求出，即得结果. 【详解】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为， 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 由，可得, ， 所以的准线方程为. 7．（25-26高三·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用点差法得到关于的方程，解出后验证即可. 【详解】设，两点的坐标分别为，，则， 又两式作差得， 故，所以，解得． 此时椭圆方程为，联立直线方程有， ，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故选：B． 8．（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理把用表示，然后利用余弦定理求得关系，从而求得离心率． 【详解】设的半焦距为，过点且与其渐近线垂直的直线与渐近线交于点H，， 渐近线的斜率的绝对值为，所以， 因为又，所以，故解得，， 则．在中，由正弦定理，得，解得，故， 由余弦定理，得，整理得，所以的离心率． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·福建厦门·期末）已知方程表示曲线，则（    ） A．曲线表示椭圆，则的取值范围是 B．时，曲线的离心率为 C．时，曲线的渐近线方程为 D．，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】BD 【分析】根据椭圆，双曲线的简单几何性质逐个判断即可. 【详解】对于A：若方程表示椭圆，所以，解得或，故A错误； 对于B：若，则曲线方程为，表示椭圆，所以，， 故，因此离心率，故B正确； 对于C：若，则曲线方程为，则， 故曲线的渐近线方程为，故C错误； 对于D：若，则，，此时方程表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：BD. 10．（2026高三·全国·专题练习）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．若，则 C．若，则直线，之间的距离为 D．直线过定点 【答案】AD 【分析】根据直线方向向量的定义、两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程逐一判断即可. 【详解】，所以该直线的斜率为. ，所以该直线的斜率为，恒过点. 对于A，因为直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量是，设， 显然，所以直线的一个方向向量是， 故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 因为， 所以不成立，故B错误； 对于C，若，所以， 所以， 所以直线，之间的距离为，故C错误； 对于D，直线过定点 ，故D正确. 故选：AD 11．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线的焦距相同，左、右焦点分别为的离心率分别为是与的一个交点，，则的值可能为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】CD 【分析】设半焦距为，设，且，则根据椭圆定义与双曲线定义得，再结合，根据余弦定理求得即可求得答案. 【详解】设半焦距为，因为与的焦距相同， 所以，对椭圆，，， 对双曲线，，， 所以，即. 设， 所以，由椭圆的定义得，， 根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设， 所以，解得， 因为，所以， 当时，，解得. 此时，，. 当时，，解得， 此时，. 综上，的值可能为或. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三下·陕西西安·期末）已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）设A为圆上的动点，PA是圆的切线且，则P点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】设点的坐标，根据切线的性质，构造直角三角形，利用勾股定理即可建立等量关系，从而求出P点的轨迹方程. 【详解】设是轨迹上任一点，连接，，， 由圆的方程为，则圆心为， 根据切线的性质，则， 则由勾股定理可得，即，所以， 即P点的轨迹方程为. 14．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形. 设，则.    因为，所以，则. 又，，则，即. 因为点P在C上，所以， 代入上式得，即，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·福建厦门·期末）已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求点到两圆公共弦所在直线的距离 【答案】(1) 由题意得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 则有，，， 因为，所以两圆相交，得证. (2) (3) 【分析】（1）根据题意求得两圆的圆心与半径，通过即可证明两圆相交； （2）将两个圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程； （3）使用点到直线距离公式即可求得点到两圆公共弦所在直线的距离. 【详解】（1）略 （2）由题意得，， 将两圆方程相减，可得，整理得， 即两圆公共弦所在直线的方程为. （3）由（2）得两圆公共弦所在直线的方程为， 故点到直线的距离. 16．（25-26高三·江苏镇江·期中）已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. (1)过点且与直线平行； (2)过点且到原点的距离等于2； (3)直线关于直线对称的直线. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得； （2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可； （3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得. 【详解】（1）联立方程，解得，． 设与直线平行的直线为， 由题意得：，， 故满足要求的直线方程为：． （2）①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2； ②当所求直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 原点到该直线的距离为， 解得， 直线方程为，                       综上所述，符合题意的直线方程为或． （3）在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则 ，解得，，      又，则直线的方程即所求直线方程，为， 化简得，. 故所求的直线方程为：． 17．（26-27高三上·北京·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，，的中点为．设为原点，射线交椭圆于点．当与的面积相等时，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）已知椭圆的焦点坐标可得，结合离心率公式可求出，再利用椭圆中求出，即可得到椭圆标准方程； （2）先设出直线的方程，与椭圆方程联立，用韦达定理求出、的横坐标之和与纵坐标之和，进而得到中点的坐标；设，点的坐标与椭圆方程联立得到和的关系，再结合两个三角形面积相等的条件，建立关于的方程求解. 【详解】（1）由题意，椭圆的一个焦点，则. 离心率，， 故椭圆的方程为. （2）设直线方程：. 由消去整理得. 设，，由韦达定理， 为中点，则， 即. 设，则，点在椭圆上，代入椭圆方程： ，即， 代入：， . 又与同以为底，， 所以，所以，所以. 两边平方得，所以， . 18．（25-26高三·云南昭通·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为、． (1)若双曲线的离心率，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (3)直线与双曲线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的离心率求的值即可. （2）根据椭圆中的关系和离心率求，，即可确定椭圆的标准方程. （3）先将直线方程与双曲线方程联立，根据方程有两个不同的解确定的取值范围，再根据与的关系求的取值范围. 【详解】（1）由已知，可得，解得． （2）由已知、， 设椭圆方程为， 所以，又因为离心率为，所以， 所以，， 所以椭圆的标准方程为． （3）如图：    联立， 消去，得， 双曲线与直线相交于相异两点， 等价于不等式组， 解得或； 依题意：， 当时，；当时，， 所以的取值范围是． 19．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出角度坐标和准线方程，再求解距离即可. （2）对直线斜率是否存在进行讨论，再结合焦半径公式求解最值即可. （3）利用中点坐标公式并结合题意表示出距离，再利用平面向量数量积的坐标表示得到或，最后分类讨论得到最值即可. 【详解】（1）由题意得，准线方程为， 则点到抛物线准线的距离为. （2）当斜率不存在时，直线方程为， 设，，联立方程组， 解得，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，由焦半径公式得， 综上可得，的最小值为. （3）如图，作出符合题意的图形， 设直线方程为，设，， 联立方程组，可得， 可得，由韦达定理得， 设线段中点为，由中点坐标公式得， 由题意得线段中点到轴的距离为 ， 而，而， 得到，而， 可得，解得或， 当时，满足，此时， 当时，此时， 解得，此时， 综上可得，线段中点到轴的距离的取值范围为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷37　平面解析几何(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三·浙江绍兴·开学考试）已知直线与直线互相垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 4．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·新疆·三模）已知为坐标原点，抛物线的焦点为为C上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 8．（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·福建厦门·期末）已知方程表示曲线，则（    ） A．曲线表示椭圆，则的取值范围是 B．时，曲线的离心率为 C．时，曲线的渐近线方程为 D．，曲线表示焦点在轴上的双曲线 10．（2026高三·全国·专题练习）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．若，则 C．若，则直线，之间的距离为 D．直线过定点 11．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线的焦距相同，左、右焦点分别为的离心率分别为是与的一个交点，，则的值可能为（   ） A．4 B． C．2 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三下·陕西西安·期末）已知两条直线：，：，若，则实数______. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）设A为圆上的动点，PA是圆的切线且，则P点的轨迹方程是______． 14．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·福建厦门·期末）已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求点到两圆公共弦所在直线的距离 16．（25-26高三·江苏镇江·期中）已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. (1)过点且与直线平行； (2)过点且到原点的距离等于2； (3)直线关于直线对称的直线. 17．（26-27高三上·北京·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，，的中点为．设为原点，射线交椭圆于点．当与的面积相等时，求的值． 18．（25-26高三·云南昭通·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为、． (1)若双曲线的离心率，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (3)直线与双曲线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，求实数的取值范围． 19．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $