1.3 空间向量及其运算的坐标表示（五大题型）训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量坐标表示的运算与应用，以题型为载体构建“坐标运算—模长—平行—垂直—夹角”的递进式知识逻辑，强化几何问题代数化的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |坐标运算|4题|平行四边形顶点坐标、向量加减数乘运算|从向量坐标定义到四则运算，构建代数表达基础| |模长表示|4题|空间四边形中点、正方体区域模长计算|基于坐标运算推导模长公式，关联几何距离| |平行表示|4题|共线向量参数求解、方向向量应用|通过坐标成比例刻画平行关系，体现向量共线条件| |垂直表示|4题|垂直向量参数、正方体垂直关系证明|利用数量积为零建立垂直代数条件，连接几何垂直| |夹角表示|4题|正方体向量夹角、单位向量夹角计算|由数量积公式变形推导夹角余弦，实现角度量化|

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 题型一 空间向量的坐标运算 1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（    ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 3．已知空间向量，，则 _______． 4．已知，，. (1)求的值； (2). 题型二 空间向量模长的坐标表示 5．在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知是棱长为2的正方体的表面及内部的点，满足（，，），则（     ） A．若，则， B．若与，，三个向量的夹角都相等，则的最大值为 C．若，则点的运动区域的面积为 D．当时，存在满足 7．向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 8．如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)求向量的斜坐标； (2)设，，求及； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 题型三 空间向量平行的坐标表示 9．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 10．已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．已知两平行直线的方向向量的坐标分别为，则______． 12．已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 题型四 空间向量垂直的坐标表示 13．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 14．已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 15．已知向量，若，则________． 16．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 题型五 空间向量夹角余弦的坐标表示 17．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 18．已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 19．设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 20．已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 题型一 空间向量的坐标运算 1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 2．已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（    ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 【答案】BD 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则，由，且， 可得，所以点的坐标是，故A不正确； 因为，则，故B正确； 因为，，所以， 且，， 则，故C错误； 由C可知， 则四边形的面积为，故D正确； 故选：BD 3．已知空间向量，，则 _______． 【答案】3 【详解】因为空间向量，， 所以. 4．已知，，. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由，可得，. ，故 （2），，可得，，故 题型二 空间向量模长的坐标表示 5．在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 6．已知是棱长为2的正方体的表面及内部的点，满足（，，），则（     ） A．若，则， B．若与，，三个向量的夹角都相等，则的最大值为 C．若，则点的运动区域的面积为 D．当时，存在满足 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标关系判断A，向量数量积相等可得，计算向量的模判断B；分析可知点在及其内部，即可求面积即可判断C；根据数量积判断垂直关系即可判断D. 【详解】如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，. 因为是正方体的表面及内部的点，所以. 对于选项A，， 若，则， 得，不需要，例如当时，故A错误； 对于选项B，， 因为与，，三个向量的夹角都相等， 所以，即，则. 所以，则. 因为，所以，故B正确； 对于选项C，点，， 若， 当时，则，得与重合； 当时，则，得与重合； 当时，则，得与重合. 所以点在及其内部，则， 所以，即点的运动区域的面积为，故C正确； 对于选项D，当时，，. 所以， 所以 ， 所以不存在满足，故D错误. 7．向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【分析】由投影向量定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】因为向量、向量，所以， ，由投影向量定义， 在方向上的投影向量. 8．如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)求向量的斜坐标； (2)设，，求及； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)； (3)存在； 【分析】（1）直接用向量表示，即可得答案； （2）根据向量数量积的运算律计算即可判断，再根据结果代入对应数值即可求得答案. （3）设平面，进而根据向量垂直关系求得，设，，求得，再根据线面角的向量求法求得，最后将的值代入即可求得. 【详解】（1）因为，所以． （2）设，， ， 所以； . （3）． 设，， ． 设平面，，，． ，即，取． 设直线与平面夹角为． ， 即，解得或（舍） 所以，存在点满足题意，且． 题型三 空间向量平行的坐标表示 9．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 10．已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 11．已知两平行直线的方向向量的坐标分别为，则______． 【答案】2 【详解】由直线，得，解得，所以． 12．已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 题型四 空间向量垂直的坐标表示 13．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 14．已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 15．已知向量，若，则________． 【答案】 【详解】因为，所以， 即， 解得，则． 16．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，设点P的坐标为，根据求出点坐标，即可利用向量的模求出的长度； （2）设Q的坐标为，根据向量垂直即可求出Q的坐标，进而利用可求出. 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 题型五 空间向量夹角余弦的坐标表示 17．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   18．已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积为零判断AD，根据模长公式求解判断B，根据向量夹角的余弦公式求解判断C. 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 19．设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 20．已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. （2）由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $