3.1.2 函数的表示法 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数表示法，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到实际问题解决的递进，适配新授课知识内化与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|函数图像识别、解析式求解（换元/待定系数法）、分段函数求值|单选题1-8、填空题12-13，侧重概念理解与基本运算，培养几何直观与运算能力| |能力提升|函数性质判断、分段函数综合应用、简单实际建模|多选题9-11、填空题14，整合多知识点，通过盐水浓度问题渗透模型意识| |综合应用|函数解析式综合求解、二次函数图像与性质、实际优化问题|解答题15-19，如快递收益问题，需综合方法解决，发展创新意识与应用能力|

3.1.2 函数的表示法 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   2．函数满足，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 3．若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数,求的值（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则图像与x轴交点的个数是（    ） A． B． C． D． 7．已知，函数若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知函数若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（ ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在上的函数满足，则 10．(多选)设函数，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 11．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 三、填空题 12．已知函数对任意满足，则______. 13．设函数，若则实数=__________ 14．在质量分数为的盐水克中加入质量分数为的盐水克，变成质量分数为的盐水，则关于的函数解析式为__________． 四、解答题 15．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数是上的增函数且满足：； (3)已知函数满足：. 16．已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)在区间上，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围. 17．已知函数 (1)求，，的值； (2)若，求实数a的值． 18．现在网络购物方便快捷，得益于快递行业的快速发展，根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，平均每趟快递车辆的载件个数（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足，其中． (1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值； (2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益． 19．根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B A B B C AD CD 题号 11 答案 AC 1．B 法一：根据时的函数值即可得解. 法二：根据函数的图象是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，即可得解. 法一：当时，，只有B选项符合. 法二：， 则函数的图象是由函数先向右平移个单位长度， 再向上平移一个单位长度得到的，只有B选项符合. 故选：B. 2．D 利用换元法求出，代入即可求. 令，则， 所以，即， 所以， 解得. 故选：D 3．B 利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 4．B 利用换元法求解即可. 令，则， 可得， 所以. 故选：B. 5．A 利用分段函数直接有里及外求出函数的值 ∵， ∴，∴. 故选：A 6．B 令，分类讨论进行求解即可. 令， 当时，由，显然无实数根； 当时，由，舍去， 综上所述图像与x轴交点的个数是， 故选：B 7．B 根据函数的解析式，求得，结合列出方程，即可求解. 由题意可得， 则，解得， 故选：B. 8．C 根据分段函数，做出图象，求出函数在原点处的切线及对应的渐近线，数形结合得解. 当时，，所以， 又当时，， 故，则曲线在原点处的切线方程为； 当时，，即，为双曲线在第四象限的部分，其渐近线方程为，作图如下所示， 若，显然不符合题意，故，所以要使，只需满足， 故a的取值范围是． 故选：C 9．AD 直接求出的表达式，可判断A选项；利用换元法可判断B选项；利用待定系数法可判断C选项；利用方程组法可判断D选项. 对于A选项，若，则，A对； 对于B选项，若，令，则且， 所以，，故，B错； 对于C选项，因为一次函数满足，设， 则， 所以，，解得或， 因此，或，C错； 对于D选项，定义在上的函数满足①， 可得②， 由①②可得，D对. 故选：AD. 10．CD 根据分段函数解析式，对进行分类讨论计算即可求得结果. 因为，又 所以； (1)当时，，解得. (2)当时，，所以； 综上可知或. 故选：CD 11．AC 对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得. 对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B错误； 对C：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故C正确； 对D：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为；故D错误 故选：AC. 12． 采用方程组法消去，得出的解析式即可. 因为，以代替得： ， 得：. 故答案为：. 13．或1． 根据分段函数定义分类讨论求解． 时，，， 时，，（负数舍去）， 综上或1． 故答案为：或1． 14． 根据题意布列方程，整理即可得到结果. 由题意，知：， 整理，可得： 故答案为： 15．(1) (2) (3) (1)利用配凑法求解； (2)利用待定系数法求解； (3)利用方程组法求解. （1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 因为是上的增函数，所以； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 16．(1) (2) （1）设出二次函数，利用题目条件列式求解即可； （2）由题意在上恒成立，构造函数，利用单调性求解最值即可求解范围. （1）由题意设，，因为，所以， 又因为，所以， 即，所以，解得，所以. （2）由（1）得，，因为的图象恒在的图象上方， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 令，则.又因为在上单调递减， 所以，即，所以实数的取值范围是. 17．(1)，， (2)或 （1）根据自变量的范围，代入相应的解析式，求函数值； （2）分类讨论，解方程即可. （1）因为，，， 所以，， 因为， 所以， （2）由于， 当时，， 解得，又，所以不合题意，舍去． 当时，， 即化为， 解得或， 又，所以符合题意， 当时，，即符合题意． 综上可得，当时，或． 18．(1)4 (2)7分钟时，280（元） （1）当时，，不满足题意，舍去， 当时，，即． 解得（舍）或． 且，． 所以发车时间间隔为4分钟． （2）由题意可得 当时，（元） 当时，（元） 所以发车时间间隔为7分钟时，净收益最大为280（元）． 19．(1)或 (2) （1）利用待定系数法，设，求出即可； （2）利用换元法，令则，求出即可 （1）是一次函数，∴设（k） ，∴ ∴或或 （2）令则，， 学科网（北京）股份有限公司 $