25.2.4 一元二次方程根与系数的关系 分层训练 2026----2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 练习以根与系数关系为核心，分层设计从基础应用到综合拓展，覆盖单一知识点到跨模块综合，适配新授课巩固与能力提升，培养运算能力、推理意识及模型应用。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|两根和与积直接计算、代数式求值|选择填空为主，强化公式直接应用| |逆向应用|已知一根求另一根、已知两根构造方程|解答题训练逆向思维，巩固方程根的关系| |参数求解|利用两根关系求参数值|含参数选择填空，提升符号运算能力| |综合拓展|判别式与根系数关系综合应用|多问解答题，培养逻辑推理与综合分析| |中考实战|中考真题情境化应用|对接测评，强化模型意识与问题解决|

25.2.4一元二次方程的根与系数的关系(分层训练） 一、不解方程求两根之和与两根之积 1.已知，是方程的两个实数根，则的值为　　 A． B．1 C． D．3 2.若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 3.一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4.若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则 　　 5．已知两个不相等的实数，，满足：，，则________． 6.已知方程 的两根为x₁、x₂，求x₁+x₂和x₁x₂。 2、 利用根与系数的关系求代数式的值 1.已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 2.已知a、b是方程的两根，则的值为 ． 3.若，是方程的两个实数根，则的值为______． 4.若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 5.已知方程的两根分别是和，则代数式的值为_____． 6.已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 三、已知一元二次方程的一根求另一根 1.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根（  ） A．2 B． C．1 D． 2.关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 即，方程的另一个根为． 3.已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当时，求实数的取值范围． 四、已知两根求一元二次方程 1．已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（    ） A．b=﹣1，c=2 B．b=1，c=﹣2 C．b=1，c=2 D．b=﹣1，c=﹣2 2.已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是　　 A. B． C． D． 五、已知两根的关系求参数 1.若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是______． 2.已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则m的值_________． 3.设，是关于的方程的两个根，且，则　　 ． 4.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则k的值为_________． 5.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则的值是　　 A．2 B． C．2或 D．不存在 6、 判别式和根与系数的关系综合问题 1. 已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程有两个实数根为，且求的值 2.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值． 3.关于的一元二次方程的有两个实数根为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 1.关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ） A．   B．   C．   D．   2.已知关于的一元二次方程． （1）证明：该方程一定有两个不相等的实数根． （2）已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为时，求的值． 3.如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 4.阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现，如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么由求根公式可以推出，；已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数满足：，，且，则______，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数m，n满足： ，且 ，求的值． 1.（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 2.（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 3.（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 4.（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 5.（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 6.（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 7.（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 8.（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 9.（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系(分层训练）答案 一、不解方程求两根之和与两根之积 1.B　 2.D   3.B   4. 1 5． 6.解：a=1，b=−5，c=6 ，。 二、利用根与系数的关系求代数式的值 1. 2. 3. 4. 5. 6. 4 三、已知一元二次方程的一根求另一根 1.D  2.解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系： ， 解得， 即，方程的另一个根为． 3.解：（1）设方程的另一个根为， 则， ； （2）当时，方程为， 由题意可得：， 解得． 四、已知两根求一元二次方程 1.D 2.C　 五、已知两根的关系求参数 1. 8 2. 3. 4. 1 5.A　 六、判别式和根与系数的关系综合问题 1. （1）证明：， ， ∵， ∴， 即， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2） 解：∵方程有两个实数根为， ∴，， ， ∵， ∴， 即， 解得：，． ∴或． 2. （1）证明：∵， ∴原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵、是原方程的两根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，． 3.解：（1）因为关于的一元二次方程的有两个实数根， 所以△，且， 解得， 所以的取值范围是． （2）因为关于的一元二次方程的两个实数根为，， 所以． 又因为， 所以， 则， 所以， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 所以的值为8． 1.D 2.（1）证明：由题意可知：△， 不论实数取何值，该方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个根为，， ，， 由题意可得：， ， ， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去． ． 3. （1）解：， ， 或， 所以， ∵， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， 或， 解得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， 或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或． （3） 解：根据题意，设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得，， 解得，或，， 所以的值为或． 4.（1）7，1； （2）解： ， ∵，， ∴原式； （3）解：∵ ，且 ， ∴、是方程的两个不相等的实数根， ∴． 1. 3 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.（1）证明：∵原方程为， ∴ , ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 学科网（北京）股份有限公司 $