25.2.4一元二次方程根与系数的关系课时 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以“一元二次方程根与系数的关系”为核心，分层设计清晰，从直接应用到综合探究，覆盖基础巩固与能力提升，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|根与系数关系直接应用（求两根和/积、已知一根求另一根）|选择题1-4、填空题11-12，直接套用韦达定理，强化符号意识| |中档|代数式变形（如两根平方和）、参数讨论（两根符号）|选择题5-8、填空题13-14，需结合方程性质推理，提升推理能力| |提升|综合应用（结合判别式、等腰三角形边长）|解答题19-21，需构建数学模型解决实际问题，体现应用意识|

25.2.4一元二次方程根与系数的关系 课时同步培优练习 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，两个实数根之和等于的方程是(    ) A. B. C. D. 2.若，是一元二次方程的两个根，则的值是(    ) A. B. C. D. 3.若是方程的一个根，则另一个根为(    ) A. B. C. D. 4.若和是 的根，则(    ) A.  ， B.  ， C.  ， D.  ， 5.若关于的一元二次方程的两根同为负数，则(    ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 6.已知，是方程的两根，则的值是(    ) A. B. C. D. 7.设，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 8.关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 10.已知和是方程的两个解，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为          ． 12.已知是方程的一个根，则该方程的另一个根为          ，           ． 13.若关于的方程的两实数根互为倒数，则           ． 14.关于的一元二次方程的两个根为，，且，则的值为          ． 15.已知方程的两个根为，，若方程的两个根互为相反数，则           ，方程的根为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.设一元二次方程的两根为，，求下列代数式的值：           ，           ； ； ； ． 17.若，是方程的两个根，求下列各式的值： ； ． 18.已知关于的一元二次方程有两个实数根． 求实数的取值范围； 若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 19.已知关于的方程． 若方程总有两个实数根，求的取值范围； 若两实数根、满足，求的值． 20.已知关于的一元二次方程 求证无论实数取何值，此方程一定有两个实数根． 设此方程的两个实数根分别为，若，求的值． 21.已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． 若，求的值； 已知等腰的一边长为，若，恰好是另外两边的长，求的周长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.B 2.A 3.A4.C 5.A 6.D 7.A 8.A 9.A 10.D 11.2 12.2-V3 1 13.-1 14.-2 15.0 x=±3 16.【小题1】 2 -3 【小题2) x+x=x1+x22-2X1x2=4+6=10: 【小题3】 x1-2x2-2=x1X2-2x1+x2+4=-3-4+4=-3 【小题4】 1+1=+x2=2=-2 X1 X2 X1X2 -33 17.【小题1】 解：：X1,x2是方程2x2-6x-1=0的两个根，且a=2,b=-6,c=-1, X+x=--,6=3,Xx=8=-号 a 2 a21 x-3x,-3到X1X-3x++9=3-3×3+9=-2 【小题2】 第1页，共1页 1相x+=3,名戈=是 名-x=x+x-4xx=32-4×2山 18.【小题1】 m 【小题2】 m=1 19,解：(1)：关于x的方程x-2(m+1)x+m2+2=0总有两个实数根. .4=[-2(m+1)-4(m2+2)=8m-4≥0' 解得：m号 (2:xx,为方程×2-2(m+1)x+m2+2=0的两个根， .x1+x2=2(m+1)'x1x2=m2+2 ,(x1+1)(x2+1)=8' .x1X2+(x1+X2)+1=8' ∴.m+2+2(m+1)+1=8 整理，得：m2+2m-3=0,即m+3)(m-1)=0, 第2页，共1页 解得：m1=-3(不合题意，舍去)，m2=1, m的值为1 20.【小题1】 证明：X2+2m+1)x+2m=0 .△=(2m+12-4×1×2m=(2m-1)2≥0 ∴.无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根. 【小题2】 解：，该方程的两个实数根分别为X1,X2, ..X1+X2=-2m-1,X1X2=2m, .x1+x2=131 (x1+x22-2x1x,=13即(-2m-12-2×2m=13: 整理得：m2=3, 解得：m=-3或m=V3, 则m的值为-V3或V3. 21.【小题1】 解：：m'n是关于x的一元二次方程x2-2a+1x+a+5=0的两个实数根， .m+n=2a+1,mn=a2+5. .m-1n-1=28,.mn-m+n+1=28. a2+5-2a+1+1=28解得a=6或a=-4 依题意，得4=4la+1-4a2+5≥0解得a≥2∴a=6 【小题2】 ①当7为底边长时，此时方程X-2la+1x+a+5=0有两个相等的实数根。 第3页，共1页 4=41a+12-4a2+5=0解得a=2 ∴.方程变为x2-6x+9=0.∴.m=n=3. .3+3<7,∴.不能构成三角形： ②当7为腰长时，设m=7. 将m=7代入方程，得49-14a+1+a2+5=0 解得a=10或a=4。 当a=10时，方程变为x2-22x+105=0,解得x=7或x=15. .7+7<15,∴.不能组成三角形： 当a=4时，方程变为x2-10x+21=0,解得x=3或x=7. ∴.△ABC的周长为7+7+3=17. 综上所述，△ABC的周长为17. 第4页，共1页