期末复习综合题2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 八年级上册数学期末复习卷，以跨学科融合与分层探究为特色，覆盖三角形、分式、全等形等核心知识，通过机器人大赛、物理振动实验等真实情境，考查数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、轴对称图形、分式意义|基础概念辨析，如第1题三角形边关系，第9题轴对称点坐标| |填空题|5/15|三角形稳定性、等腰三角形内角、跨学科受力分析|第15题结合物理斜面受力，考查几何直观与空间观念| |解答题（一）|3/21|因式分解、平行线性质、尺规作图|第18题尺规作图，培养数学表达与动手能力| |解答题（二）|3/27|代数推理、分式方程应用、跨学科物理实验|第20题机器人大赛行程问题，第21题物理振动实验探究，考查模型意识与应用能力| |解答题（三）|2/27|等边三角形综合、四边形探究|第22题分层设计初步感知到拓展应用，第23题四边形性质探究，培养推理能力与创新意识|

八年级上册数学期末复习综合题(一) (时间120分钟,满分120分,23 小题) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1.若一个三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长可能是( ) A.1 B.2 C.7 D.8 2.下列交通标志中，是轴对称图形的是( ) 3.要使分式 有意义，则x应满足( ) A. x≠2 B. x≠-1 C. x=2 D. x= - 1 4.如图,△ABE≌△ACF,若AB=5,AE=2,BE=4,则CF 的长度是( ) A.2 B.5 C.4 D.3 5.下列计算正确的是( ) 6.如图,在△ABC中,若AD⊥BC,点E是BC边上一点,且不与点B,C,D重合,则以AD为高的三角形有( )A.4个 B.5个 C.6个 D.8个 7.方程 的解为( ) C. x= - 2 D.无解 8.将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC 的大小为( ) A.140° B.160° C.170° D.150° 9.若点 P(-2,b)和点Q(a,-3)关于x轴对称，则a+b的值是( ) A.-1 B.1 C.-5 D.5 10.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE 平分∠ABC,交CD 于点E,BC=5,DE=2,则△BCE 的面积为( ) A.10 B.7 C.5 D.4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的数学道理是利用了 12.如图,在△ABC中,∠A=30°,若∠B=∠C,则∠B 的度数是 度. 13.化简: 14.如图，BC=BD，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ABD.这一个条件可以是 (写出一个即可). 15.(跨学科融合)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F₁的方向与斜面垂直，摩擦力F₂的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°，则摩擦力 F₂与重力G的方向夹角β的度数为 . 三、解答题(一)：本大题共3 小题，每小题7分，共21分. 16.(1)计算:( (2)因式分解： 17.如图,AB∥CD,点E在BC上,若∠D=∠DEC=74°,求∠B 的度数. 18.如图，求作一点P，使PM=PN，且到∠AOB 两边所在直线的距离相等. 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题(二)：本大题共3 小题，每小题9分，共27分. 19.(代数推理)若a，b，c为三角形的三边长，试证明： 的值一定为负数. 20.在粤港澳青少年机器人大赛中，参赛选手用程序控制小型赛车进行50m比赛.“梦想号”和“彩虹号”两辆赛车在赛前训练时，“梦想号”从起点出发8秒后，“彩虹号”才从起点出发，结果“彩虹号”比“梦想号”迟2秒到达终点.已知“彩虹号”的平均速度是“梦想号”的2.5倍. (1)两辆赛车的平均速度各是多少? (2)如果两车重新开始训练，“彩虹号”的行驶路程增加 ，“梦想号”的行驶路程不变，那么“梦想号”的平均速度要调整为多少，两车才能同时到达终点? 21.(跨学科融合)综合与实践. 【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究. 【实践操作】如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动.如图2，A表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时，小球从A 处摆动到B处，此时过点 B 作BD⊥OA 于点D，当小球摆动到C处时,OB与OC恰好垂直,过点C作CE⊥OA 于点E.(图中的点A,B,O,C,D,E在同一平面内) 【数据收集】测得CE=15cm,BD=8cm,AE=9 cm. 【问题解决】(1)求证:OE =BD; (2)求AD的长. 学科网（北京）股份有限公司 五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分. 22.【初步感知】(1)如图1,已知 为等边三角形，点D 为边 BC上一动点(点D 不与点 B，点C重合).以AD为边向右侧作等边 ,连接CE.求证: 【类比探究】(2)如图2，当点 D 在边 BC的延长线上时，写出AB 与CE 的位置关系为 ；线段 EC，AC，CD 之间的数量关系为 ； 【拓展应用】(3)如图3，在等边 中，AB=3,点P 是边 AC上一定点且.AP=1,，若点 D 为射线 BC 上一动点，以DP 为边向右侧作等边 ,连接CE,BE.PE+BE是否有最小值?若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 23.综合探究. 如图1和图2，在四边形ABCD中， ,BD 平分∠ABC. (1)如图1,若 ，根据教材中的性质可得 DA=CD，这个性质是 ； (2)如图2,求证:AD=CD; (3)如图3，在等腰 中， ,BD平分∠ABC,求证:BD+AD=BC. 学科网（北京）股份有限公司 八年级上册数学期末复习综合题(一) 1. B 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C 7. B 8. B 9. B 10. C 11.三角形的稳定性 12.75 13. x+y 14. AC=AD(答案不唯一) 15.115° 16.解:(1)原式 (2)原式 17.解:∵∠D=∠DEC=74°,∴∠C=180°-74°×2=32°. ∵AB∥CD,∴∠B=∠C=32°. 18.解：如图，点P(两个)即为所求. 19.证明: =(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a-b+c), ∵a，b，c为三角形的三边长， ∴a+b+c>0,a+b-c>0,a-b-c<0,a-b+c>0, 的值一定为负数. 20.解：(1)设“梦想号”赛车的平均速度为 xm/s，则“彩虹号”赛车的平均速度是2.5xm/s， 由题意得 解得x=5, 经检验，x=5是原方程的解，且符合题意， ∴2.5x=2.5×5=12.5. 答：“梦想号”赛车的平均速度为5m /s，“彩虹号”赛车的平均速度为12.5m /s. (2)设“梦想号”的平均速度调整为 ym/s，则 由题意得 解得y=10, 经检验，y=10是原方程的解，且符合题意. 答：“梦想号”的平均速度要调整为10 m/s，两车才能同时到达终点. 21.(1)证明:∵OB⊥OC,..∠BOD+∠COE=90°,∵CE⊥OA,BD⊥OA,∴∠CEO=∠ODB=90°. ∴∠BOD+∠B=90°,∴∠COE=∠B, 在△COE和△OBD中, ∴△COE≌△OBD(AAS),∴OE=BD. (2)解:∵△COE≌△OBD,∴CE=OD=15cm,OE=BD=8cm,∴DE=OD-OE=15-8=7(cm), ∴AD=AE-DE=9-7=2(cm). 22.(1)证明:∵△ABC和△ADE是等边三角形, ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, ∴△ABD≌△ACE(SAS). (2)AB∥CE EC=AC+CD (3)解：有最小值. 如图,在射线BC上截取DM=PC,连接EM,∵∠ACB=∠PED=60°,∴∠ACD=120°,易证∠EPC+∠CDE=180°,又∵∠EDM+∠CDE=180°,∴∠EPC=∠EDM. 在△EPC和△EDM中. ∴△EPC≌△EDM(SAS), ∴EC=EM,∠PEC=∠DEM,∴∠CEM=∠PED=60°, ∴△CEM是等边三角形,∴∠ECD=60°, 即点E在∠ACD的平分线上运动， 作点 P 关于CE的对称点 P'，则点 P'在BC延长线上，连接P'E,PP',此时PC=P'C=AC-AP=2,PE=P'E, ∴ PE+BE 的最小值为5. 23.(1)角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)证明:如图1,作DE⊥BA 交 BA 的延长线于E,DF⊥BC于F, ∵BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥BF,∴DE=DF, ∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠EAD=180°,∴∠EAD=∠C, 在△DEA 和△DFC中, ∴△DEA≌△DFC(AAS),∴AD=CD. (3)证明:如图2,在BC上截取BK=BD,连接DK, :AB=AC,∠A=100°,∴∠ABC=∠C=40°, ∵BD平分∠ABC, ∵BD=BK,∴∠BKD=∠BDK=80°,即∠A+∠BKD=180°, 由(2)的结论得AD=DK, ∵∠BKD=∠C+∠KDC,..∠KDC=∠C=40°, ∴DK=CK,∴AD=DK=CK, ∴BD+AD=BK+CK=BC. 12.如图,在△ABC中,∠A=30°,若∠B=∠C,则∠B 的度数是 度. 13.化简: 14.如图，BC=BD，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ABD.这一个条件可以是 (写出一个即可). 15.(跨学科融合)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F₁的方向与斜面垂直，摩擦力F₂的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°，则摩擦力 F₂与重力G的方向夹角β的度数为 . 三、解答题(一)：本大题共3 小题，每小题7分，共21分. 16.(1)计算:( (2)因式分解： 17.如图,AB∥CD,点E在BC上,若∠D=∠DEC=74°,求∠B 的度数. 18.如图，求作一点P，使PM=PN，且到∠AOB 两边所在直线的距离相等. 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题(二)：本大题共3 小题，每小题9分，共27分. 19.(代数推理)若a，b，c为三角形的三边长，试证明： 的值一定为负数. 20.在粤港澳青少年机器人大赛中，参赛选手用程序控制小型赛车进行50m比赛.“梦想号”和“彩虹号”两辆赛车在赛前训练时，“梦想号”从起点出发8秒后，“彩虹号”才从起点出发，结果“彩虹号”比“梦想号”迟2秒到达终点.已知“彩虹号”的平均速度是“梦想号”的2.5倍. (1)两辆赛车的平均速度各是多少? (2)如果两车重新开始训练，“彩虹号”的行驶路程增加 ，“梦想号”的行驶路程不变，那么“梦想号”的平均速度要调整为多少，两车才能同时到达终点? 21.(跨学科融合)综合与实践. 【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究. 【实践操作】如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动.如图2，A表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时，小球从A 处摆动到B处，此时过点 B 作BD⊥OA 于点D，当小球摆动到C处时,OB与OC恰好垂直,过点C作CE⊥OA 于点E.(图中的点A,B,O,C,D,E在同一平面内) 【数据收集】测得CE=15cm,BD=8cm,AE=9 cm. 【问题解决】(1)求证:OE =BD; (2)求AD的长. 学科网（北京）股份有限公司 五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分. 22.【初步感知】(1)如图1,已知 为等边三角形，点D 为边 BC上一动点(点D 不与点 B，点C重合).以AD为边向右侧作等边 ,连接CE.求证: 【类比探究】(2)如图2，当点 D 在边 BC的延长线上时，写出AB 与CE 的位置关系为 ；线段 EC，AC，CD 之间的数量关系为 ； 【拓展应用】(3)如图3，在等边 中，AB=3,点P 是边 AC上一定点且.AP=1,，若点 D 为射线 BC 上一动点，以DP 为边向右侧作等边 ,连接CE,BE.PE+BE是否有最小值?若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 23.综合探究. 如图1和图2，在四边形ABCD中， ,BD 平分∠ABC. (1)如图1,若 ，根据教材中的性质可得 DA=CD，这个性质是 ； (2)如图2,求证:AD=CD; (3)如图3，在等腰 中， ,BD平分∠ABC,求证:BD+AD=BC. 学科网（北京）股份有限公司 八年级上册数学期末复习综合题(一) 1. B 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C 7. B 8. B 9. B 10. C 11.三角形的稳定性 12.75 13. x+y 14. AC=AD(答案不唯一) 15.115° 16.解:(1)原式 (2)原式 17.解:∵∠D=∠DEC=74°,∴∠C=180°-74°×2=32°. ∵AB∥CD,∴∠B=∠C=32°. 18.解：如图，点P(两个)即为所求. 19.证明: =(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a-b+c), ∵a，b，c为三角形的三边长， ∴a+b+c>0,a+b-c>0,a-b-c<0,a-b+c>0, 的值一定为负数. 20.解：(1)设“梦想号”赛车的平均速度为 xm/s，则“彩虹号”赛车的平均速度是2.5xm/s， 由题意得 解得x=5, 经检验，x=5是原方程的解，且符合题意， ∴2.5x=2.5×5=12.5. 答：“梦想号”赛车的平均速度为5m /s，“彩虹号”赛车的平均速度为12.5m /s. (2)设“梦想号”的平均速度调整为 ym/s，则 由题意得 解得y=10, 经检验，y=10是原方程的解，且符合题意. 答：“梦想号”的平均速度要调整为10 m/s，两车才能同时到达终点. 21.(1)证明:∵OB⊥OC,..∠BOD+∠COE=90°,∵CE⊥OA,BD⊥OA,∴∠CEO=∠ODB=90°. ∴∠BOD+∠B=90°,∴∠COE=∠B, 在△COE和△OBD中, ∴△COE≌△OBD(AAS),∴OE=BD. (2)解:∵△COE≌△OBD,∴CE=OD=15cm,OE=BD=8cm,∴DE=OD-OE=15-8=7(cm), ∴AD=AE-DE=9-7=2(cm). 22.(1)证明:∵△ABC和△ADE是等边三角形, ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, ∴△ABD≌△ACE(SAS). (2)AB∥CE EC=AC+CD (3)解：有最小值. 如图,在射线BC上截取DM=PC,连接EM,∵∠ACB=∠PED=60°,∴∠ACD=120°,易证∠EPC+∠CDE=180°,又∵∠EDM+∠CDE=180°,∴∠EPC=∠EDM. 在△EPC和△EDM中. ∴△EPC≌△EDM(SAS), ∴EC=EM,∠PEC=∠DEM,∴∠CEM=∠PED=60°, ∴△CEM是等边三角形,∴∠ECD=60°, 即点E在∠ACD的平分线上运动， 作点 P 关于CE的对称点 P'，则点 P'在BC延长线上，连接P'E,PP',此时PC=P'C=AC-AP=2,PE=P'E, ∴ PE+BE 的最小值为5. 23.(1)角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)证明:如图1,作DE⊥BA 交 BA 的延长线于E,DF⊥BC于F, ∵BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥BF,∴DE=DF, ∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠EAD=180°,∴∠EAD=∠C, 在△DEA 和△DFC中, ∴△DEA≌△DFC(AAS),∴AD=CD. (3)证明:如图2,在BC上截取BK=BD,连接DK, :AB=AC,∠A=100°,∴∠ABC=∠C=40°, ∵BD平分∠ABC, ∵BD=BK,∴∠BKD=∠BDK=80°,即∠A+∠BKD=180°, 由(2)的结论得AD=DK, ∵∠BKD=∠C+∠KDC,..∠KDC=∠C=40°, ∴DK=CK,∴AD=DK=CK, ∴BD+AD=BK+CK=BC. $