云南师范大学附属中学2027届高三上学期第二周数学周末作业

云南师大附中2027届高三第二周数学周末作业 满分：150分 考试用时：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={yeNIy2+y-6≤0，B={l>1},则A∩B=() A.0 B.2 C.{2,3} D.{2} 2.已知z=3-41,则在复平面上，复数z所对应的点在（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列函数中，是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的是() A中 B.f(x)=lg(-x+x2+1 c-“ D.f(x)=-xcosx 4.已知实数a,b满足a>b,则（) A.a>b B.a>6 C.5+a>3+b D.5a>3b 5.已知直线：4x+3y=0和圆C:(x-4)2+0y-3)2=4,点P在直线1上，点2在圆C上，则Pg最小值为() A.1 B.3 C.6 D.9 6.在下列双曲线中，离心率最大的是() A.上=1 B.上=1 45 56 c.y￡=1 D.上x2 67 =1 78 7.设函数/)=asinx+beox,a,beR,ab≠0，@>0，若f()2/写 对任意实数x均成立，则 下列结论中一定成立的是() A.x∈R,总有f(x)=(-x) B.x∈R,总有∫(x)=-∫(-x) CeR,总有作+小 D.xeR,总有侣x+=-f(x) 8.已知向量a=(1,0),同=V5,a.6=0,若向量c满足日=2且6--6-a=2,则符合条件的向量c的 个数为() A.0 B.2 C.4 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 试卷第1页（共4页） 9.下列说法正确的是（) A.X独立性检验方法不适用于普查数据 B.数据1,2,2,3,3,4,4,5,8,9的上四分位数是8 C.如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，则2=1 D.已知父亲身高为172cm,儿子身高的观测值为176cm,儿子身高预测值为173cm,则儿子身高的残 差为3cm 10.已知平面内的三个非零向量a,6,c满足-(6-a)=,且a-=6-d--d=2,则下列说法正确的是 ( ) A.aLB B.(a-)(6-e=2 C.a.c的最小值为1 D.a.c的最大值为3 11.已知无穷数列{an}前n项和为Sn,若存在不相等的正整数i,j,使得S=S,则称{an}为“绝对数列”.则 下列选项正确的是() A.已知数列an=2n-5n∈N),则数列{an}为“绝对数列 B.若数列{an}和{bn}均为“绝对数列，则{an+b}为“绝对数列 C.若等比数列{an}为“绝对数列”，则公比为-1 D.存在两个公差均不为0的等差数列{an}和{b},使得数列{an},{bn},{an+bn}和{abn}均为“绝对数 列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知向量a=(1-元，V),6=(2,2),若(a+)1(a-),则a在6方向上的投影向量的坐标是 13.(2+x-x2)的展开式中含x2的项为 14.如图为四棱锥P-ABCD的平面展开图，其中FBCD为平行四边形，△ABF是边长为1的等边三角形， A为DF的中点，GC= ,则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为 E(P) 2 H(P) D F(P) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.设S,为数列a,}的前n项和，且S,=a,-aeN,) G(P) (1)求数列{an}的通项公式： ②若数列化，}满足6，=公，求数列，}的最大值。 a. 试卷第2页（共4页) 16.函数f(y)=arnx-ax-x,aeR. 2 (1)a=1时，求f(x)在x=1处的切线方程： (2)若∫(x)有两个极值点，求a的取值范围. 17.如图，圆柱O,O的轴截面是边长为2的正方形，P为⊙O2上一点，正方形ABCD内接 02 于⊙O,设平面PAD与平面PBC的交线为直线I,点Q为直线1上一点. (1)证明：11/BC; (2)求四棱锥P-ABCD外接球的表面积： ()若平面PAD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD,当直线PB与平面2CD所成角的余弦值为5时， 3 求P2的长 18.人工智能(AI)离不开光，光电子因AI重生一AI是需求发动机，光学光电子是AI的算力底座、 感知神经与计算新范式，二者深度绑定、相互成就.某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某 种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100 件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 [20,68) [68,76) [76,84) [84,92) [92,100] 元件数（件） 2 18 36 40 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品的概率（用分数表示). (2)现采取分层（按次品与合格品分层）随机抽样的方式，从100件样品中共抽取10件，再随机选出3件， 求选出的这3件样品中次品件数X的分布列与数学期望E(X). (3)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望E(X)=“,方 差D()=0,则对任意正数，均有Px-小小s号成立.若X~8(om引，证明：P0≤X≤2)50 试卷第3页（共4页) 19.已知双曲线C:兰茶=1(@>0b>0)的左、右焦点分别为R,,唐蜡长为2，且点P2)在双由 线C上. (I)求双曲线C的方程， (2)斜率为-1的直线与双曲线C的右支交于A,B两点（异于点P). ①若直线AP,BP的斜率分别记为k,k2,k+k2=0,求1的值. ②若△PAB的外接圆圆心为M,试问在x轴上是否存在定点2使MQ-MP为定值？若存在，求出2点 坐标：若不存在，请说明理由 试卷第4页（共4页） 《9月5日周末作业》参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 D A B c B A B ACD ABD 题号 11 2 13 答案 D (1,0) 48x2 37π 9 7.C【详解】因为f(x)2f 所以直线x= 工为函数∫(x)的对称轴，故C成立： 由三角函数的性质可得 后0不为函数（四的对称中心，故D不恒成立。 若Vx∈R,总有f(x)=f(-x,即asin(-ox)+bcos(-x)=-asin@x+bcosox-asinwx+bcoswx恒成立， 所以asin@x=0恒成立，只能是a=0,A不恒成立： 若VxeR,总有f(x)=-f(-x),即asin(-x)+bcos(-ox)=-asinwx+bcos@x=-asin@x-bcosox亘成立， 所以bcoswx=0恒成立，只能是b=0,B不恒成立. 8.B【详解】设i=(m,),所以 m+T=V5'则6=(0，-月)或石=0，V).不纺设=红，)，0为坐标 m= 原点，OA=a,OB=i,OC=c,则AB=2.由于=2，则点C的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆， 由于E---2,所以BC-AC=2=,当i=0,5)时，此时B=(0,√5)，则点C也在射线BA 上（过点A远离点B),由于点A,B在圆内，所以射线BA与圆O有一个交点，即符合条件的向量c有1个 同理，当i=(0,√5)时，此时B=(0,√3)，则点C也在射线BA上（过点A远离点B),由于点A,B在圆内， 所以射线BA与圆O有一个交点，即符合条件的向量c有1个，综上，符合条件的向量c的个数为2. 11.AD 【详解】A选项，因为an=2n-5,可知{an}是以a,=-3为首项，公差为2的等差数列， 则3，=n×←3列心？-x2=n2-,取1=1=3S=s=3,所以a,}为绝对数，故A选项正确： 2 B选项：由A选项，取an=21-5,不妨取bn=-2n+7,此时{b}的前n项和B。=-n2+6n, 取i=2,j=4,则B,=B-8,可知{b}是“绝对数列.但an+b,=2,其前n项和T,=2n是单调递增的， 故{a。+b,}不是“绝对数列”，B选项错误C选项：因为等比数列{a}为“绝对数列”，取i=1,j=2,此时 S=S,即a=a+a,解得g=-2,此时S=S,=a也满足条件，故C选项错误.D选项：取 a,=b-3-n,此时{a,}的前n项和为4=-+5”，取1=2,1=3，此时4=4=3，即{a,},}均为绝 2 对数列”.a。+bn=6-2m,其前n项和Cn=-n2+5n,取i=2,j=3,此时C=C=6,即{an+b,}为“绝对 答案第1页（共4页) 数列”.则a,bn=(3-n)2,其前5项分别为4,1,0,1,4，设abn=(3-m)2的前n项和为D,由D2=D=5,可 知{abn}也为“绝对数列”，综上，故D选项正确， 14. 【详解】△ABF是边长为1的等边三角形，故侧棱PM=MR=1,PB=BF=1,底边AB A是DF中点，DF=2AF=2,FBCD是平行四边形，故底边BC=DF=2,CD=FB=1,AD=AF=1, GC=PC=0.可知底面ABCD为等腰梯形，因为△ABF为等边三角形，且FBCD为 2 平行四边形，可得：∠BAD=120°，∠ABC=60°，在底面ABCD中连接AC, 则AC1=AB2+BC2-2AB.BC·cos60°=1+4-2=3，即BC2=AB2+AC2,∠BAC=90°， 在底面ABCD以AB,AC分别为x,y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，如图： B 01 可得：40Q0,8000,D-50,C05,0,因为∠4C=0,则底面4Bc0 外接圆，也即是△MBC的外接圆，即BC的中点即为底面4BCD外接圆因心，坐标为O(G,0 x2+y2+22=1 设P(x%2),由PA=1、PB=1、PC= ,可得 -+1，解得x= 3 2 42=4 x+-3+z2= 2 DPG3由四校锥外接球的性质，外接球的球心在过Q垂直于底面的直线上，故设球心 解得k=-】 ，因此外接球半径平方： R2=1+k2=1+1=37 外接球表面积：S=4πR2=4π 3737π 3636 369 15.(1)an=3"(2)1 16.()r=x-7:2)ae(e+) 17.(I)证明：在正方形ABCD中，AD/1BC,因为BCE平面PAD,ADC平面PAD, 所以BC/I平面PAD,又因为平面PAD与平面PBC的交线为直线I,且BCc平面PBC, 所以111BC:(2)8π(3)5√2或√2. 详解：(3)在正方形ABCD中，AD⊥DC,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD, 所以CDI平面PAD,而PDc平面PAD,所以CD⊥PD, 同理可证AD⊥PD,所以D为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， P(0,0,2)B(N2,5,0,C0,5,0)D0,0,0)2,0,2),设平面2CD的法向量为m=(x,yz, D0=(a,0,2),DC=(0,2,0,PB√22-，所以有 m·D0=ax+2z=0 m.DC=√2y=0 ，所以y=0,令z=a,所以 答案第2页（共4页） x=-2,即m=(-20,),因为直线PB与平面2CD所成角的余弦值为5 所以直线PB与平面CD所成 3 m PB -2W2-2a 角的正弦值为 -P丽3√2+2+4x√4+a23 →a2-62a+10=0→a=5V2,或a=V2,当a=5√2时，Pg=5V2,当a=√2时， m02 P2=V2,所以P2的长为5√2或√2 18号 (2) X 0 1 2 1 15 5 15 E 诺X-810o 则E(X)=50,D(X)=25, 又P-=c周 =X=100-, 所以P(0≤X≤2)=P0≤X≤25减75≤X≤10)=P0X-5022). 由比雪夫不等式可知，Px-5种5亭石 所以P(0≤X≤25)s 50 19.四号-广=10a01:@在箱上有在定点Q0,使得wg-Mr为定值2 【详解】(1)由条件，2b=2,所以6=1，又点P2)在双曲线C上，所以兰1=1，解得a=反， 数双面线C的标准方程为号-少=1。 (2)①设点A(x,y),B(x2,y2),设直线AB的方程为y=-x+m,因为点P不在直线AB上，则m-2≠1， y=-x+m, 可得m≠3，联立 ,可得x2-4x+2(m2+1)=0,则△=16m2-8(m2+1)=8(m2-1)>0,解得 2y2 为+x2=4m>0, m<-1或m>1,由题意可得 =2m2+1小0所以m>1且m≠3，所以 +恋=2+西-1+2+m-到m-3-2到，2m-3-(6-2 x-2x-2-2为-2 x-2 2-2 答案第3页（共4页） =m-3+2m-3）1-A=m-32x+,2-2）1-元 (m-34m+2-x-2(1+0]1-2 2(m2+1-8m+4 名-2x2-2 xx2-2(名+x2十4 _m-34m+--21+0]1-天0，即[4-2+刃m+(a-1x=0，=1. 2(m-1)(m-3) YA ②设aPAB的外接圆方程为x2+y2+Sx+y+n=0,代入坐标， 5+2s+1+n=0, 则{x好++%+%+n=0, x号+y2+Sx2+y2+n=0, 将头=-x+m代入++sx+%+n=0, 可得+(m-x)+sx+(m-x)+n=0, 即2x+(s-1-2m)x+(m2+m+n)=0, 同理2x+(s-1-2m)x+(m2+m+n)=0, 所以，，x2为关于x的方程2x2+(s-1-2m)x+m2+tm+n=0的两根， 又因为，x2为关于x的方程x2-4mx+2(m2+1)=0的两根， 所以方程2x2+(s-t-2m)x+(m2+m+n)=0与方程x2-4mx+2(m2+1=0为同解方程， s-1-2m=-8m, 所以{m2+m+n=4m2+1,解得 s=-3m-3, t=3m-3, 5+2s+1+n=0, 13-3m 易知点M( 3m-1 =1, 2 所以直线MP的方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3, (0).wai-)w-)) 因此Mg-MP=(-3a+3)m+(a2-3a+4),要使其为定值，只需a=1即可.Mg-MP-2, 故在x轴上存在定点2(L,0),使得Mg-MP为定值2. 【点睛】通过方程间的联立来求解直线MP并求出点Q, 答案第4页（共4页）