5.2 二元一次方程组的解法 同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“二元一次方程组的解法”同步练习，以基础巩固、方法应用、综合拓展三层设计，构建从概念理解到参数综合的知识路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|代入/加减消元法、数学思想|直接考查解法步骤（题1、3）、定义填空（题11）| |方法层|错解分析、参数初步|通过步骤纠错（题9）、错解复原（题6）强化推理| |拓展层|同解问题、新定义运算|结合三角形三边关系（题20）、新运算（题10）培养模型意识|

5.2 二元一次方程组的解法 同步练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．用代入法解方程组时，将①代入②得（   ） A． B． C． D． 2．已知二元一次方程组：①，②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（    ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 3．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（　　） A． B． C． D． 4．若关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 5．在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．关于的方程组有正整数解，则正整数为（   ） A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5 7．如果方程组的解也是方程的解，那么m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．用加减消元法解方程组时，第一步②×5，得10x-5y=15③；第二步：③-①，得x=1；第三步：把x=1代入②，得y=-1，则上述步骤中开始出现错误的是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 9．学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（   ） A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 10．对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．解方程组用加减法消去x的方法是___________，消去y的方法是___________． 12．若，则的值为______． 13．关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为_____________． 14．若关于的方程组的解，则方程组的解为___________． 15．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为 _____． 三、解答题 16．解方程组： (1)； (2)． 17．嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为． (1)求m和n的值； (2)求方程组的正确的解． 18．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求的值 (2)若方程组的解满足方程，求的值． 19．我们给出以下两个新定义： ①对于给定的数对，如果满足，那么我们称数对是“三二一数对”； ②对于给定的数对和，如果满足，则称数对是的“和差数对”． 根据以上信息解决下列问题： (1)判断是否为“三二一数对”，并说明理由； (2)已知数对是“三二一数对”，求出该数对的“和差数对”； (3)若数对是“三二一数对”，且的“和差数对”满足条件：，求和的值． 20．下面是阳阳解二元一次方程组的过程，请阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解： ，得 ……第一步 ，得……第二步 ……第三步 把代入，得……第四步 ∴原方程组的解为……第五步 (1)任务一： 上述材料中阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是________（填序号即可）； A．公式法    B．换元法    C．代入法    D．加减法 上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是________（填序号即可）； A．数形结合    B．公理化    C．演绎    D．转化 第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (2)任务二：请你写出正确的求解过程． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B A A B B C B 1．【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了代入消元法解方程组，根据代入消元法，把②中的换成即可． 【详解】解：①代入②得，， 即． 故选：C． 2．【答案】B 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．加减消元法即将其中一个未知数的系数化为相同（或相反）时，用加减法即可达到消元的目的，转化为一元一次方程．针对具体的方程组，要善于观察，从而选择恰当的方法． 【详解】解：由题意得，①，③用代入法； ②；④，用加减法， 故选：B． 3．【答案】A 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．根据加减消元法逐项计算判断即可． 【详解】解：， A、，得，故此选项符合题意； B、，得，故此选项不符合题意； C、，得，故此选项不符合题意； D、，得，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．【答案】B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】对比两个方程组，可得新方程组，解之即可． 【详解】解：把代入中，得， ∵， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及加减消元法，解题的关键是从方程组的形式中抽象出相同部分，组成新的方程组． 5．【答案】A 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题．甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选A． 6．【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解，进行分析，再确定正整数a的值，即可作答． 【详解】解：∵方程组有正整数解， ∴两式相加有，即， ∵a，y均为正整数， ∴或或或， ∴时，不合题意，舍去， 时，，，符合题意； 时，，，符合题意； 时，，，不合题意，舍去， ∴或2． 故选：A． 7．【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、方程组相同解问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌了二元一次方程组的解法是解题的关键． 先根据同解方程将运用加减消元法求出方程组解，再将解代入方程①得到一个关于的等式，求解即可． 【详解】解：∵方程组的解也是方程的解， ∴，得， 将代入②，得， 将，代入①得， 解得， 故选：B． 8．【答案】B 【知识点】加减消元法 【分析】用加减消元法解方程组即可得． 【详解】解： ②×5，得， ③-①，得， 把代入②得，， ∴方程组的解为：， 则上述步骤中开始出现错误的是第二步， 故选：B． 【点睛】本题考查了用加减消元法解方程组，解题的关键是掌握加减消元法并正确计算． 9．【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查利用“换元”法解二元一次方程组．令，，根据题意可得出，解出x，y即可． 【详解】解：令，， ∴原方程组可化为， 依题意，得， ∴，解得． 小明这样解方程的思想是换元思想． 故选：C． 10．【答案】B 【知识点】构造二元一次方程组求解、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组及新定义运算，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性． 【详解】由得：，即； 由得：，即． 联立方程组： ， 解得：，，故结论①正确． ，即，解得，结论②正确． 方程的正整数解为： 时，； 时，， 共有2组解，结论③错误． 由得： ， ∴， 对所有成立，需，即，结论④错误． 综上，正确的结论为①、②，共2个， 故选B． 11．【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是掌握加减消元法的步骤． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解方程组用加减法消去x的方法是； 消去y的方法是． 故答案为：，． 12．【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 13．【答案】 2 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的知识，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．已知方程组的解互为相反数，结合相反数的定义可得；将代入方程组的两个方程中，还可得到、；据此建立关于的方程，进而求得的值． 【详解】解：． 方程组的解互为相反数， ③． 将代入①，得， 解得， 将代入②，得， 解得， ， ． 故答案为：2． 14．【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，由题意可得方程组的解为，求解即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：关于的方程组的解， 方程组的解为， 解得：， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】首先利用整体代值的数学思想可以得到m+n与m﹣n的值，然后解关于m、n的方程组即可求解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于m、n的二元一次方程组中， ∴解这个关于m、n的方程组得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想，对于学生的能力要求比较高． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①可得， 将代入②得， 解得， 将代入得， ∴方程组的解为． 17．【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键． （1）由于嘉嘉把方程①抄错，求得解满足方程②，淇淇把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值， （2）将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案． 【详解】（1）嘉嘉把方程①抄错，求得解为， 满足方程②， 即； 又淇淇把方程②抄错，求得的解为， 满足方程①， 即； 因此有， 解得； （2）所以原方程组可变为， 即， ①②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， 原方程组的正确的解为． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】相反数的应用、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．已知二元一次方程组的根的情况求参数以及相反数的应用. （1）解方程组得出，，根据方程组的解互为相反数，得出，即，解关于k的方程即可； （2）解方程组得，然后代入原方程即可求出k的值． 【详解】（1）解： ①②，得， ①②，得． ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即， ∴． （2） ②①，得， ∵， 解得， 代入②得：， ∴ 19．【答案】(1) 不是 (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、数字问题(一元一次方程的应用)、构造二元一次方程组求解 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义列出方程求解即可； （3）根据新定义列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： ∵， ∴不是“三二一数对”； （2）解：∵数对是“三二一数对”， ∴， ∴， ∵， ∴该数对的“和差数对”为：； （3）解：∵数对是“三二一数对”， ∴， ∵的“和差数对”满足条件：， ∴， ∴，整理得：， 联立方程组得：， 解得：． 【点睛】本题考查了新定义的运算、有理数的混合运算、一元一次方程、二元一次方程组的解法等，关键是根据题意列出正确的方程或代数式． 20．【答案】(1)①D ②D ③一；①时等号右边的4没有乘2（言之有理即可）； (2)见解析 【知识点】加减消元法 【分析】（1）①根据题意可得阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是加减法； ②根据题意可得，消元过程中体现的数学思想是转化； ③根据题意可得第一步错误；理由为①时等号右边的没有乘． （2）将第一步改正，再按照加减消元法的步骤求解即可． 【详解】（1）①根据题意可得，阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是加减法， 故选：D； ②根据题意可得，消元过程中体现的数学思想是转化， 故选：D； ③根据题意可得第一步错误； 理由：①时等号右边的没有乘（言之有理即可） （2）解：①，得③， ②③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $