5.1 认识二元一次方程组 同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组概念与应用，分层设计从基础概念到综合拓展，通过几何直观与模型意识培养，实现知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二元一次方程（组）定义、解的概念|单选1-5直接考查定义辨析，填空9验证解的适用性，强化抽象能力| |中档|简单实际应用、几何图形关联|单选6购物方案、8印刷问题，填空12促销情境，培养模型意识与运算能力| |提升|综合应用与创新拓展|解答15新定义“反对称方程”、17最佳分解问题，发展推理意识与创新意识|

5.1 认识二元一次方程组 同步练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．是关于、的方程的一个解，的值是（   ）． A．7 B．3 C． D． 3．已知方程组的解为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 5．下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 6．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有（    ）种购买方案． A．3 B．6 C．7 D．8 7．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 8．某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了xh， B印刷机印制了yh． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了m份， B印刷机印制了n份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 二、填空题 9．在方程①，②，③，④中，任选两个组成二元一次方程组，若是该方程组的解，则选择的两个方程是______．（填序号） 10．已知是关于x，y的二元一次方程，则_________． 11．方程组的解的情况是_________． 12．小明作业本中有一道未写完的题目如下：小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是小东在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费7200元，则“五一”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“五一”前同样的电视机每台元，空调每台元，根据题意，得该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则被污染的条件是______，方程①是______． 13．如图，10个相同的小长方形拼成一个大长方形，设小长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积为_____平方厘米． 三、解答题 14．某中学为了改造劳动实践基地，需要和两种规格的钢管．从建材市场购回一根长的钢管，将其截成长段，长段． (1)列出关于，的二元一次方程； (2)应该怎么样截这一根钢管更好？ 15．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 16．如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    17．我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）=. 例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18-1>9-2>6-3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）==． （1）填空：f（6）=　　，f（9）=　　； （2）一个两位正整数t（t=10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字，得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有满足条件的两位正整数，并求f（t）的最大值． 18．根据题意设未知数，并列出方程或方程组（不必求解）： (1)刘老师在暑假开始时，给全班50名学生每人发了一封举办夏令营活动通知的信件，共需邮资43.60元．已知本市邮资为每封0.80元，外地邮资为每封1.20元．问：班级中有多少名学生家住本市，多少名学生家住外地？ (2)某校课外阅读小组组员订甲、乙两份杂志，其中甲杂志是月刊，每月一期定价为6.2元；乙杂志是双月刊，两个月一期定价为6.6元．每位组员都是其中一份杂志订半年，另一份杂志订全年．经统计，甲杂志订费为2418元，乙杂志订费为1089元．求这个课外阅读小组的人数．（解答这个问题应该如何设未知数？和同学讨论，说一下你的想法） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A C B A D C 1．【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】先判断方程是否为整式方程，再依次根据未知数个数、含未知数项的次数筛选符合条件的选项． 【详解】解：A. 是整式方程，含有2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，属于二元一次方程； B. 不是整式方程，不属于二元一次方程； C. 含有3个未知数，不属于二元一次方程； D. 中含未知数的项的次数为2，不属于二元一次方程． 2．【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程解的定义，将方程的解代入原方程，转化为关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得． 故选：B． 3．【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组解的定义及利用方程组的解求未知参数，解题的关键是理解方程组的解能使方程组中每个方程都成立，将解代入含未知参数的方程求解． 根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足其中每个方程，将代入含有的方程，得到关于的一元一次方程，求解该方程即可得到的值． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴该解满足方程， 将，代入 得：， 化简得：， 解得：， 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义，需满足：由两个方程组成、含有两个未知数、每个方程均为一次整式方程． 【详解】解：选项A中第二个方程为二次方程，不符合定义； 选项B中含有三个未知数，不符合定义； 选项C中两个方程均含两个未知数且均为一次方程，符合定义． 选项D中第一个方程为二次方程，不符合定义； 故选：C． 5．【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可． 【详解】解：A、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； B、把满足中的两个方程，故是方程组的解，故选项正确； C、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； D、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误． 故选B． 6．【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键；设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据总花费列出方程，结合x、y为正整数且每种奖品至少1件的条件，找出符合条件的整数解即可确定购买方案的种数． 【详解】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品， 依题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案. 故选：A 7．【答案】D 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每张长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：由图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为． 得图1正方形阴影部分边长为，图2正方形阴影部分边长为， 设每张长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得，， 故选：． 8．【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据两台印刷机印刷的时间和数量分别建立方程组进行判断即可得到答案． 【详解】解：设印刷机印制了，印刷机印制了， 两台印刷机完成该任务共需， ， 总共印制1000份， ， ， 设印刷机印制了份，印刷机印制了份， 总共印制1000份， ， 印刷机印制150份，印刷机印制200份， 印刷机印制小时，印刷机印制小时， ， ， 故选：C． 9．【答案】②④ 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将、分别代入每个方程，判断是否符合方程即可得出答案． 【详解】解：当、时， ①； ②； ③； ④； 所以是方程组的解， 故答案为：②④． 10．【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的概念， 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1，且 的系数不能为零的整式方程，据此作答即可． 【详解】解：∵是关于 和 的二元一次方程， ∴ ，， ∴a=−2， 故答案为：． 11．【答案】 无解 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键． 通过比较两个方程即可得到结论． 【详解】解：对于方程组 ， 观察两个方程，左边均为 ，但右边分别为 和 ， 由于 ，因此方程组矛盾，无解． 故答案为：无解． 12．【答案】同样的空调每台降价400元； 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由方程②的信息可得答案； （2）设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元，根据小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，写出方程即可． 【详解】解：（1）被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元， 故答案为：同样的空调每台优惠400元； （2）设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元， 根据题意得：， 故答案为：； 13．【答案】675 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程解方程即可． 【详解】根据图示可得： 长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75； 长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y， 联立得： 解得：， ∴每个小长方形的面积为15×45=675（平方厘米） 故答案为：675． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 14．【答案】(1) (2)，， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】（1）根据长和长的钢管的总长度等于，即可求解； （2）根据，都是正整数，分别把，2，3，4，5，6，7代入（1）中方程，即可求解． 【详解】（1）解：长段，长段，根据题意得： ； （2）解：∵，都是正整数， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴符合条件的解为：，，． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键． 15．【答案】(1) (2)， 【知识点】二元一次方程的定义、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 16．【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积； 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得 ，变形得 解得 ∴小长方形的面积为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键． 17．【答案】（1），1；（2）f（t）的最大值为 【知识点】有理数加减混合运算的应用、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、二元一次方程的解 【分析】（1）结合题意，根据有理数加减法和乘除法的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，列二元一次方程并求解，得b-a=6，从而得t的值；根据题意，分别计算f（t），通过大小比较，即可得到答案． 【详解】（1）6=1×6=2×3 ∵6-1>3-2 ∴f(6)=； 9=1×9=3×3 ∵9-1>3-3 ∴f(9)=1 故答案为：，1； （2）由题意可得： ∴b-a=6 ∵1≤a≤b≤9 ∴b=9，a=3或b=8，a=2或b=7，a=1 ∴t为39，28，17 ∵39=1×39=3×13 ∴f(39)=； ∵28=1×28=2×14=4×7 ∴f(28)=； ∵17=1×17 ∴f(17)=； ∵ ∴f(t)的最大值为：． 【点睛】本题考查了有理数运算、二元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握有理数加减和乘除运算、二元一次方程的性质，从而完成求解． 18．【答案】(1)设班级中有名学生家住本市，名学生家住外地，所列方程组为（答案不唯一） (2)设甲订全年、乙订半年的有人，甲订半年、乙订全年的有人，所列方程组为，小组总人数为（答案不唯一） 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】（1）两个等量关系：①本市学生人数＋外地学生人数＝总人数50；②本市信件总邮资＋外地信件总邮资＝总邮资43.60元，据此设未知数列二元一次方程组； （2）设两类人数分别为、，小组总人数，根据甲总订费、乙总订费列方程组． 【详解】（1）解：设家住本市学生名，家住外地学生名， 根据总人数：， 根据总邮资：本市每封0.8元、外地每封1.2元，， 可列方程组： ． （2）解：设甲订全年、乙订半年的有人，甲订半年、乙订全年的有人， 甲杂志费用：甲全年：元/人，甲半年：元/人， 总甲费： ， 乙杂志费用：乙半年：元/人，乙全年：元/人，总乙费： ， 列方程组： ， 小组总人数为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $