5.3 二元一次方程组的应用 同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 练习聚焦二元一次方程组应用，分层设计从基础建模到综合应用，覆盖10类实际问题，适配新授课知识巩固与数学建模能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|工程、分配等单一问题|选择填空为主，直接考查列方程组，强化运算能力| |能力提升|行程、几何等复杂情境|需分析隐含等量关系，如相遇问题时间转换，培养推理意识| |综合拓展|方案优化、跨知识应用|解答题含方案设计（租车）、古代问题（《九章算术》），发展模型观念与创新意识|

5.3 二元一次方程组的应用 同步练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．开学前明明、亮亮和小伟去购买学习用品，明明用元买了1支笔和4个本，亮亮用元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了元，则小伟的购买方案共有（　　） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 2．某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，同时乙从B地出发步行到A地，20分钟两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求甲、乙二人的速度．设甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，下列方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 5．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 6．已知两件服装的成本共500元，某服装店老板分别以和的利润率定价后进行销售，共获利130元，则两件服装的成本分别为（   ） A．300元，200元 B．200元，300元 C．250元，250元 D．240元，260元 7．甘肃省定西市是“中国马铃薯之乡”．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯吨．今年采用新技术，甲基地增产，乙基地增产，两基地总产量达到吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为吨，乙基地为吨，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．24 D．28 9．《九章算术》中记载有这样一个问题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问：甲、乙持钱各几何？其意思是：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问：甲与乙各多少钱？若设甲的钱数为，乙的钱数为，则可列方程组是（     ） A． B． C． D． 10．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图所示，根据提供的信息，可得到每支网球拍的单价为________元．    12．一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入_________个大铁球和_________个小铁球．（写出一组符合要求的值即可） 13．用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为______.（用含a，b的式子表示） 14．甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇，则甲、乙两人的速度比为_____． 15．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，则点A的坐标为______． 三、解答题 16．如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 17．“亲子猫”研学公司组织某中学师生共人到佛顶山去参加研学活动，请阅读下列对话，解决实际问题： 老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到佛顶山研学，一天的租金共计元．” 小英说：“我们学校七年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到佛顶山研学活动，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用应为多少元？ 18．为了鼓励居民节约用水，临湘市政府决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超14吨（含14吨）时，则采用基本价收费；当每月用水量超过14吨时，超过部分每吨采用市场价收费． 小明家3、4月份的用水量及收费情况如下表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 3 20 49 4 18 42 (1)求每吨水的基本价和市场价分别是多少？ (2)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 19．阅读下列材料，回答问题． 对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，因为，所以． (1)计算： ， ； (2)若，都是“相异数”，其中，，，且，都是正整数，规定，当时，求的最小值． 20．黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C C A A B A B 1．【答案】B 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据明明用元买了1支笔和4个本，亮亮用元买了2支笔和3个本，列方程组得到单价，再根据小伟购买上述价格的笔和本共用了元列方程求整数解即可得到答案； 【详解】解：设1支笔的价格为x元，1个本的价格为y元，由题意可得， ，解得：， 设小伟购买笔m支，本n个，由题意可得， ，化简得， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴小伟的购买方案共有4种， 故选B； 【点睛】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 2．【答案】A 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组． 【详解】解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据路程、速度、时间之间的关系列出等式，构成方程组即可． 【详解】设甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时， 根据题意，得 ， 故选C． 【点睛】本题考查了方程组的应用，正确列出符合题意的等式是解题的关键． 4．【答案】C 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁． 根据题意，得， 解得， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键． 5．【答案】C 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题意，等量关系为：生产镜片工人数量+生产镜架工人数量=60，镜片数量=2×镜架数量，把相关数值代入即可列出方程组． 【详解】解：设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架， 故选∶C 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意找出镜片数量和镜架数量的等量关系是解题的关键．． 6．【答案】A 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用， 设A服装成本为x元，B服装成本y元，由题意得等量关系：①成本共500元；②共获利130元，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设A服装成本为x元，B服装成本y元， 由题意得：， 解得：． 答：A服装成本为300元，B服装成本200元． 故选：A． 7．【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，增长率问题的列式，找到等量关系是解题关键． 根据去年总产量吨列第一方程，再由今年增产比例和总产量吨列第二方程，据此进行判断即可． 【详解】解：∵去年甲产量吨，乙产量吨，总产量吨， ∴， ∵今年甲增产，即产量为吨，乙增产，即产量为吨，总产量吨， ∴， ∴方程组为． 故选：A． 8．【答案】B 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形中给定的长度，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积和大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， 则图中阴影部分的面积之和为． 故选：B． 9．【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题目给出的两个等量关系列方程组即可． 【详解】解：设甲的钱数为，乙的钱数为．依题意得： ． 10．【答案】B 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 11．【答案】 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】设每支网球拍的单价为x元，每支乒乓球拍的单价为y元，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设每支网球拍的单价为x元，每支乒乓球拍的单价为y元， 由题意得，， 解得， ∴每支网球拍的单价为元， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 12．【答案】 3（答案不唯一） 2（答案不唯一） 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案． 【详解】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y， 依题意可列方程组 解得 另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21， 则依题意有 这个二元一次方程的整数解有，，， 故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） ． 13．【答案】 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据盒子的结构确定等量关系是解题的关键；由题意列出方程组可求解． 【详解】解：根据题意得：， ①+②得：， ∴． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据A，B两地路程不变列方程求解即可． 【详解】解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： ， 解得：，即， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了坐标与图形，二元一次方程组的应用，设长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，求出，从而可得，结合点的位置即可得出坐标． 【详解】解：设长方形纸片的长为，宽为， ∵点B的坐标为， 则， 解得：， ∴， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16．【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 17．【答案】(1)座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元 (2)租车费用为元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组，进行解答，即可． （1）设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元，根据题意，列出方程组，即可； （2）设租辆座客车，辆座客车，根据题意得：，分类讨论，，的值，根据租金为，求出最省钱的方案，即可． 【详解】（1）解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元， ∴由题意得，， 解得：． 答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元． （2）解：设租辆座客车，辆座客车， ∴ ∴ ∵，都是非负整数， ∴或或或 ∵租金为， ∴当时，（元）； 当时，（元）； 当时，（元）； 当时，（元）； ∵， ∴使用最省钱的租车方式，费用为元． 18．【答案】(1)基本价为2元，市场价为元 (2)70元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设每吨水的基本价为元，市场价为元，根据小明家3、4月份的用水量及收费费用，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据应交水费基本价月份用水量市场价，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每吨水的基本价为元，市场价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：每吨水的基本价为2元，市场价为元． （2）（元）． 答：他家应交水费70元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组的应用；（2）根据数量关系，列式计算． 19．【答案】(1)， (2)的最小值为 【知识点】有理数四则混合运算、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据的定义式，分别将和代入中，即可求出结论； （2）由、结合，即可得出关于、的二元一次方程，解之即可得出、的值，再根据“相异数”的定义结合的定义式，即可求出、的值，将其代入中，找出最小值即可 【详解】（1）； ． 故答案为：，； （2），都是“相异数”，，， ， ． ， ， ． ，，且，都是正整数， 或或或或或或． 是“相异数”， ． ∴或或或 ∴或或或， ∴ 或或或， ∴的最小值为． 【点睛】本题属于材料阅读题，考查代数以及二元一次方程中不定方程的应用，读懂题干所给的定义和分析解决二元一次方程是解题的关键． 20．【答案】(1)A工程队用的时间，工程队用的时间；工程队整治河道的长度，工程队整治河道的长度 (2)A工程队整治河道工程队整治河道 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握工作时间、工作效率、工作总量的关系是解题的关键． （1）分析甲、乙方程组中未知数的意义，结合工作时间、工作效率、工作总量的关系判断． （2）选择甲的方程组，通过消元法求解． 【详解】（1）解：甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的长度，表示工程队整治河道的长度． （2）解：选甲同学所列方程组解得 所以． 答：工程队整治河道工程队整治河道． 选乙同学所列方程组 解得 答：工程队整治河道工程队整治河道． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $