5.3二元一次方程组的应用同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组应用，通过基础巩固、情境应用、创新拓展三层设计，覆盖从单一建模到综合探究的知识路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直接列方程组解决简单问题|古算题（第1题）、基础应用题（11题），强化建模能力| |中档|复杂情境与综合应用|方案设计（17题）、行程问题（21题），培养数学思维| |提升|新定义与拓展探究|共轭方程组（23题），发展创新意识与推理能力|

· 5.3 二元一次方程组的应用 · 同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 2．某同学的笔袋中有若干支黑色中性笔和红色中性笔（除笔芯颜色不同外，其他都相同），从中随机取出一支笔，取出的是黑色中性笔的概率，如果再往笔袋中放进6支红色中性笔，这时从中随机取出一支笔是黑色中性笔的概率变为，则笔袋中的黑色中性笔有（    ）． A．8支 B．6支 C．4支 D．2支 3．为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，红星小学某社团计划购买一批篮球和足球用于开展课后服务训练．经了解，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团的购买方案的种数一共有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 5．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（    ） A． B．2 C．4 D． 6．用如图①中的正方形和长方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将两种纸板全部用完，则的值可能是（    ）    A．200 B．201 C．202 D．204 7．如图，10块形状，大小相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则下列方程中，不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，若三角形面积为1，，求阴影四边形的面积（    ） A． B． C． D． 9．将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 10．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图中的（1）（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y 的系数与相应的常数项，把图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是 ，在图（2）所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图（2）所表示的方程组中x的值为5，则被墨水所覆盖的图形是（     ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来住店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人．可列方程组为：_______． 12．如图，长方形中放置9个形状，大小完全相同的小长方形，根据图中数据，求出图中阴影面积为________． 13．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则________． 14．幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，,0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为______． 4 0 15．小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分为_________分． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 17．为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元． (1)购进A、B两种纪念品每件各需多少钱？ (2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店有哪些进货方案？ 18．为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？ 19．为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 20．每年月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝箱，龙眼箱）． 商品 荔枝 龙眼 成本/(元/箱) 30 40 售价/(元/箱) 48 60 这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱． 21．列二元一次方程组解下列问题 (1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． (2)、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 22．自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 23．规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于的方程组为共轭方程组，则______，______； (3)若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______；的解为______； (5)发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。 试卷第6页，共7页 试卷第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C A A D C C D 11． 【分析】根据题中等量关系：一房七客多七客，一房九客一房空，得出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组的应用问题，理解题意、找到等量关系并正确列出方程组是关键． 12．18 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意，得，结合计算即可． 【详解】设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意，得 ， 解得 故， 故答案为：18． 13． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据每行、每列及对角线上的三个数的和都相等.列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】由题意得： ， 解得： ， 故答案为： 14． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，代数式求值．根据题意正确的表示各数的等量关系是解题的关键． 如图，由题意知，，，，，，解得，，，，，，然后代入求值即可． 【详解】解：如图， 4 0 由题意知，，，，，， 解得，，，，，， ∴， 故答案为：． 15．33 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设投中小圈得x分，投中大圈得y分，根据小亮及笑笑的得分，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分． 【详解】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分， 根据题意得： ， 得：， ∴小红得分为33分． 故答案为：33． 16．49 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找出等量关系、列出方程组是解题的关键． 设原来的两位数的个位数字为，十位数字为，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意，得，解得． 所以，原来的两位数为． 17．(1)购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元； (2)该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件． 【分析】（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，根据“若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，根据总价=单价×数量结合（1）的结论，即可得出关于a、b的二元一次方程，再由a、b均为不小于12的正整数，即可找出各进货方案． 【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元； （2）解：设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元， 根据题意得：， 化简得：，即． ∵a、b均为不小于12的正整数， ∴当时，；当时，；当时，；当时，． 答：该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据总价=单价×数量，列出关于a、b的二元一次方程． 18．高价格的商品原价是220元，低价格的商品原价是80元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元，根据按方案一买两件商品，则还差元，可列方程；根据按方案二买两件商品，则剩余元，可列方程，解方程组即可求出两种商品的原价． 【详解】解：设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元， 根据题意可得： 解方程组可得：， 答：高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元． 19． 该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人， ∴， 解得，， ∴捐5本的有20人，捐8本的有12人． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确运用方程表示出数量关系并求解是解题的关键． 根据该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，由此列式求解即可． 【详解】略 20．荔枝200箱，龙眼300箱 【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用．熟练掌握总利润与每箱利润和数量的关系，列出方程组，是解题的关键． 设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，根据“这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元”，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，依题意得： ， 解得：． 答：这个星期网店销售荔枝200箱，龙眼300箱． 21．(1)每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元 (2)甲的速度为，乙的速度为 【分析】本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． （1）设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据题意可列，解方程组即可； （2）设甲的速度为，乙的速度为，根据题意可列，解方程组即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元， 所以根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元． （2）设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：， 解得：． 答：甲的速度为，乙的速度为． 22．(1) (2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组： （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）此次行程高速费原价总共为：元 实际支付高速费用：元 （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 解得： 故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元． 23．(1) (2)1；1 (3) (4)； (5)，见解析 【分析】（1）根据互为共轭二元一次方程的定义可得答案． （2）根据互为共轭二元一次方程的定义得出，即可求出a、b的值； （3）把，和，代入求出k、b的值，确定这个方程后，再根据共轭二元一次方程的定义得出答案； （4）分别解这三个二元一次方程组，求出它们的解即可． （5）根据解得特征和呈现的规律得出结论即可． 本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法，理解共轭方程、共轭方程组的定义是正确解答的前提． 【详解】（1）由共轭二元一次方程的定义可得， 方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2）由于关于x,y的方程组为共轭方程组， 所以，， 解得，， 故答案为：1，1； （3）由表可得， 解得， ∴方程为， 原方程的共轭方程为； 故答案为：； （4）解方程组，可得解为； 解方程组，可得解为； 故答案为：，． （5）． 理由如下：是共轭方程， ，整理得， 的解为， ． 答案第2页，共8页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $