第五章 二元一次方程组 单元测试 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组单元卷，覆盖解的概念、消元法、应用等核心知识，融合数学文化与实际情境，适配单元复习，培养抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|二元一次方程解、消元法思想、一次函数交点|第11题结合《九章算术》，体现文化传承| |填空题|8题|构造方程组、坐标三角形面积、三元一次方程应用|第18题小猫与桌子高度问题，情境生活化| |解答题|5题|整体代入法、新定义问题、工程问题|第25题工程接力问题，培养模型意识与运算能力|

第五章 二元一次方程组 单元测试2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．若是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．已知一次函数的图象与的图象交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．我们在解二元一次方程组时，可将代入中，消去x从而求解，这种解法体现的数学思想是（    ） A．分类讨论 B．转化 C．数形结合 D．公理化 4．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中，能消元的是（    ） A． B． C． D． 5．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 6．设直线y＝kx+6与y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…），则S5的值等于（　　） A． B． C．1 D．3 7．解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（    ） A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x 8．如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 9．方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 10．晓丹老师为了奖励期中考试中本班成绩优异的学生，准备购买单价为6元的笔记本与单价为10元的钢笔两种奖品，共花了70元，则共有（   ）种不同的购买方案． A．5 B．4 C．3 D．2 11．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“……”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（    ） A．甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50 B．乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50 C．乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50 D．甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50 12．《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，，先将方程①中的未知数系数排成数列，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似． 方程①： 第一步方程②： 第二步方程③： 其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：（2）（3）其中正确的有（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 二、填空题 13．写出一个以为解的二元一次方程组：_______． 14．若为自然数，且与都是一个自然数的平方，则的值为___________． 15．直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数图像与x、y轴分别交于点A、B，则为此一次函数的坐标三角形．由以上可知，一次函数的坐标三角形的面积是_____． 16．解方程组若用代入消元法解这个方程组，第一步应把______化为______，代入______中，消去______，组成二元一次方程组；如果用加减消元法解这个方程组，第一步应用______，消去______，与①组成二元一次方程组． 17．如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为___； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水______． 18．小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为_____． 19．重庆某大学对重庆某村实施“技术助农”．该村种植有A、B、C三种经济作物，助农前，A，B，C三种作物亩数比例为2：5：3；助农后，三种经济作物的亩数都得以增加，其中B作物增加的亩数占总增加亩数的．助农前，C作物的亩产量是B作物亩产量的2.5倍，A，B两种作物的亩产量之和恰好是C作物的亩产量；助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量．若助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多，而C作物的产量比助农前A，B，C三种作物产量的总和还多5%，则助农前后A作物的产量之比为__________． 20．已知，则_______ ． 三、解答题 21．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 22．阅读下列材料，解答问题： 若一个自然数能被13整除，则称这个自然数为“一生数”．若一个四位自然数，百位数字为1，个位数字为4，则称这个四位数为“一世数”．若一个四位自然数既是“一生数”，又是“一世数”，则称这个数为“一生一世数”． 例如：因为，318为整数，所以4134是“一生数”；因为4134是四位数，且百位数字为1，个位数字为4，所以4134为“一世数”：因为4134既是“一生数”，又是“一世数”，所以4134为“一生一世数”． (1)求证：任意一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和一定是“一生数”； (2)若一个四位自然数m是“一生一世数”，记，求的最大值与最小值之差． 23．在平面直角坐标系中，点，若，则称点与点互为“对角点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“对角点”． (1)若点的坐标是，则在点，，中，点的“对角点”为点______； (2)若点的坐标是的“对角点”在坐标轴上，求点的坐标； (3)若点的坐标是与点互为“对角点”，且，互为相反数，求点的坐标． 24．阅读材料： 通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：如图，直线的表达式为，直线与轴、轴交于两点，若直线与直线关于轴对称，求直线的表达式．下面是小明的解题思路． 第一步：求出直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线； 第三步：求点关于轴的对称点的坐标为； 第四步：由点，点，利用待定系数法，可得直线的表达式． (1)参考小明的解题思路和结论，解决问题：直线关于轴对称的直线的表达式为________； (2)如图，若过点且平行于轴的直线叫做直线，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式； (3)如图，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 25．为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B B D B A B B C D C B 1．【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解的应用，解题的关键是掌握解的定义． 将方程的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将，代入方程得：， 即， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了两个一次函数交点坐标的求解，解题的关键是理解两函数图象的交点坐标是对应方程组的解．联立两个一次函数的解析式组成方程组；解方程组求出x和y的值，得到交点坐标；对比选项得出正确答案． 【详解】解：联立两函数解析式得： 将第一个方程代入第二个方程得：， ∴． 把代入得：． 所以交点Q的坐标为． 故选：B． 3．【答案】B 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，理解消元法（加减消元法和代入消元法）解二元一次方程组的方法是解题关键． 通过代入消元法消去未知数x，将二元一次方程转化为一元一次方程． 【详解】解：在解二元一次方程组时，将代入，即， 从而将二元一次方程组转化为一元一次方程求解， 这种解法体现的数学思想是：转化思想． 故选：B． 4．【答案】D 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本步骤：消元．根据题意逐一验证每个选项即可． 【详解】解：A项：，得，故本选项不符合题意； B项：，得，故本选项不符合题意； C项：，得，故本选项不符合题意； D项：，得，故本选项符合题意． 故选：D． 5．【答案】B 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 6．【答案】A 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可分别求出直线y=5x+6、y=6x+6与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：当x=0时，y=5×0+6=6， ∴直线y=5x+6与y轴的交点A的坐标为（0，6）； 当y=0时，5x+6=0，解得：x=， ∴直线y=5x+6与x轴的交点B的坐标为（，0）， 当x=0时，y=6×0+6=6， ∴直线y=6x+6与y轴的交点C的坐标为（0，6）； 当y=0时，6x+6=0，解得：x=-1， ∴直线y=6x+6与x轴的交点D的坐标为（-1，0）． ∴S5=BD•OA=×|-1-（）|×6=， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键． 7．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案． 【详解】解：由②3+③得：11x+10z=35， ∴转化为二元一次方程组为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元． 8．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程的运用，根据图示，设圆形为，三角形为，正方形为，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设圆形为，三角形为，正方形为， ∴， ∴由①得， 把③代入②，，整理得，， ∴， ∴应方△的数量为6个， 故选：B ． 9．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 10．【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程求解是解题的关键． 设购买笔记本为x本，钢笔为y支，则根据“购买单价为6元的笔记本与单价为10元的钢笔两种奖品，共花了70元”列出方程并解答即可． 【详解】解：设购买了笔记本x本，钢笔y支， 根据题意得出：， ∴， ∵x，y为正整数， ∴是正整数， ∴x一定要是5的倍数， ∴当时，， 当时，， ∴有两种购买方案：购买笔记本5本，钢笔4支或购买笔记本10本，钢笔1支； 故选D． 11．【答案】C 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方程组中第二个方程等价于，表示乙得到甲所有钱的后，乙的钱变为50，与选项C一致，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：第二个方程，等价于，即乙增加甲钱的后共有钱50， 故缺失条件为“乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50”， 故选：C． 12．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可. 【详解】解： 由，得④， 由，得⑤， 由，得， ∴， 由，得⑥， 由，得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的系数表示出来． 13．【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查构造二元一次方程组，根据二元一次方程组的解，进行构造即可． 【详解】解：由题意，可以构造的方程组为： ； 故答案为：（答案不唯一）． 14．【答案】160 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查平方差公式，二元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 通过设定平方数关系，利用平方差公式将问题转化为求解二元一次方程组，根据因数分解和奇偶性确定唯一解． 【详解】解：设，，其中、为自然数，则． 由平方差公式，． ∵、为自然数，和同奇偶，且， ∴解方程组，得，． 代入，得． 故答案为． 15．【答案】9 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查在直角坐标系中求三角形的面积、一次函数与坐标轴的交点问题，分别令、求得、，再利用面积公式求解即可． 【详解】解：把代入得，，解得， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：9． 16．【答案】 ③ ② 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】先观察方程，利用代入法或加减法确定消去哪个未知数计算简单，再根据消去的未知数选择变形即可． 【详解】解：解方程组若用代入消元法解这个方程组，第一步应把③化为，代入②中，消去，组成二元一次方程组；如果用加减消元法解这个方程组，第一步应用，消去，与①组成二元一次方程组． 故答案为：③；，②，，， 【点睛】本题考查的是利用代入消元法与加减消元法解三元一次方程组，能熟练的选择合适的方法解方程组是解本题的关键． 17．【答案】 225 3600 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用． （1）根据函数图象可知长方体铁块的底面边长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据函数图象可知，求出，根据乙水槽倒完水的时间为40秒即可求出乙水槽存水量． 【详解】解：（1）观察图1甲槽与图2两次转折点A、B，可知： 长方体铁块的底面边长为，高为， 体积为； （2）根据题意得：， 解得：． ∴注水速度为， ∵乙水槽倒完水的时间为40秒， ∴乙水槽存水量， 故注水前乙水槽内装有水． 18．【答案】 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查三元一次方程组解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据第一图示：桌子高度站立小猫高度趴下小猫高度；第二图示：桌子高度趴下小猫高度站立小猫高度列出方程组进行解答便可． 【详解】解：设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据题意得， ， ①②得，， ， 桌子的高度为厘米． 故答案为：． 19．【答案】90：271 【知识点】列代数式、三元一次方程组的应用 【分析】设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b， 则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为1.5b．可得助农后，A作物的亩产量为2b，B作物的亩产量为b，C作物的亩产量为b．设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y，则B作物增加的亩数为x，A作物增加的亩数为（x﹣x﹣y），列出方程组，可得到助农前A作物的产量为，助农后A作物的产量为ab，即可求解． 【详解】解：设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b， 则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为2.5b﹣b＝1.5b． ∵助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量， ∴助农后，A作物的亩产量为：1.5b（1+）＝2b， B作物的亩产量为：b（1+）＝b， C作物的亩产量为：1.5b（1+）+b（1+）＝b． 设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y， 则B作物增加的亩数为x，A作物增加的亩数为（x﹣x﹣y）， ∴ 解得： ∴助农前A作物的产量为：2a×b＝， 助农后A作物的产量为：（2a+x﹣x﹣y）×2b＝ab． ∴助农前后A作物的产量之比为：90：271． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，列代数式，依据题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 20．【答案】 【知识点】绝对值非负性、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查关于非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键，根据非负数的性质列出方程组，解方程后，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 21．【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法，熟练掌握利用整体思想求解方程是解题的关键；根据题意可把整体代入求解z，然后再求解方程组即可． 【详解】解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 22．【答案】(1) 解：设这个数为：， ∴ ∵x、y为整数 ∴为整数 ∴任意一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和一定是“一生数” (2)540 【知识点】整式加减的应用、二元一次方程的解 【分析】（1）设这个数为：，再计算一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和，即可求解； （2）设这个数为：，可得，从而得到或，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设这个数为：， ∴， ∴为13的倍数， ∵，，且为整数，， ∴或， ∴或或或或或， ∴这个数为1144，4134，7124，2184，5174，8164， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，整式加减的应用，理解新定义是解题的关键． 23．【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】相反数的应用、几何问题(一元一次方程的应用)、构造二元一次方程组求解、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）本题主要考查自定义题目，利用互为对角点的概念，直接计算与点互为“对角点”的坐标． （2）本题主要考查利用互为“对角点”定义，求点坐标，注意分类讨论思想，题目中没有说明点在那个轴上，注意讨论到位即可求解． （3）本题主要考查利用“对角点”的概念和互为相反数的定义求点坐标，利用方程思想求解是解决问题的关键，直接依据题意解二元一次方程组即可求解点坐标． 【详解】（1）解：由题可知，，，， 根据互为对角点的概念得； ； ； ； ∴点的“对角点”为和， 故答案为：， （2）解：∵点的坐标是，且点的“对角点”在坐标轴上； ①当点在轴上时，设点； 依据题意，； ∴； ②当点在轴上时，设点； 依据题意，； ∴ 综上所述，或． （3）解：由题可知，和互为“对角点”； ∴； ∵，互为相反数； ∴； 故满足：； 解得：，； ∴． 24．【答案】(1)； (2)直线的表达式为； (3)直线 的表达式为． 【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（）先求出与轴交点坐标为，，则与轴对称的点坐标为，，然后利用待定系数法即可求解； （）直线与的交点坐标为，则点关于的对称点坐标为，设直线的解析式为，然后然后利用待定系数法即可求解； （）由题意得，，则两点的坐标关于直线的对称点分别为，， 设直线的解析式为，然后利用待定系数法即可求解； 本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由得，当时，当时，， ∴与轴交点坐标为，， ∴与轴对称的点坐标为，， 设直线关于轴对称的直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线关于轴对称的直线的表达式为， 故答案为：； （2）解：∵直线与的交点坐标为， ∴点关于的对称点坐标为， 设直线的解析式为， 则 ，解得， ∴直线的表达式为； （3）解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∴两点的坐标关于直线的对称点分别为，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线 的表达式为． 25．【答案】(1)，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，． (2)整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $