第五章 二元一次方程组 单元测试 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册第五章二元一次方程组单元卷，90分钟100分，覆盖方程组解法、函数图像、实际应用等核心内容，注重抽象能力、运算能力与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|正比例函数图像、方程组解的意义、函数平移与交点|结合图像分析，考查几何直观| |填空题|5/20|二元一次方程定义、《九章算术》盈不足问题、方程组解迁移|融入文化传承，培养数据意识| |解答题|5/50|解方程组、新定义“邻好关系”、课桌裁切方案设计|设置分层任务，发展创新意识与应用能力|

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第五章 二元一次方程组 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）八年级上册第五章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知点在正比例函数的图象上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把坐标代入解析式即可求得的值． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴得， 解得． 2．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入各选项验证， 代入A选项的两个方程： ，与方程右边相等，成立； ，与方程右边相等，成立，符合题意； 代入B选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入C选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入D选项的，得，方程不成立，不符合题意． 3．已知方程组的解满足，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】观察方程组中两个方程的系数，将两个方程作差可直接凑出的形式，结合已知条件即可求出的值，无需单独求解，简化计算过程． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．若方程组的解满足，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出方程组的解，再计算的值即可． 【详解】解：， 由①变形，得， 将代入②，得， 解得， 将代入，得， ∴方程组的解为， ∴． 5．小明解出了关于的二元一次方程组的解为因不小心，有两处被污染，则“”和“”代表的数分别是（     ） A．17，9 B．22，9 C．14，6 D．18，6 【答案】A 【分析】先利用方程组的解满足方程的性质，先求，再求即可． 【详解】解：把代入，得，解得，即； 把，代入，得． 6．直线经过点和点，把直线向右平移2个单位长度得到直线，则直线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先运用待定系数法求出直线的表达式，再结合一次函数平移规则“左加右减，上加下减”求出直线的表达式． 【详解】解：设直线的表达式为， ∵直线a经过点，， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线向右平移2个单位长度得到直线， ∴直线b的表达式为，即． 7．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与相交于点求得，即可得到关于的方程的解． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴关于的方程的解是． 8．在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【答案】B 【分析】分两种情况讨论中线分周长的组合，结合等腰三角形性质列方程组，求解后验证三边关系． 【详解】解：如图，设等腰的腰长，底边长， ∵是边上的中线， ∴， 分两种情况：情况①当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形； 情况②当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形． 综上，底边长为7或11． 9．一次函数与的图象如图所示， 则下列结论： ①；②；③x的值每增加1，的值增加；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①根据函数图象直接得到，进一步即可得到；②根据当时，，即可求得；③求得，即可判断③；④当时，代入两个函数解析式，借助图象即可判断． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ．∴， ．∴，即，故②正确； ∵， ∴ 当的值每增加，，故③错误， 当时，， 由图象可得：当时，，即，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 10．若关于、的二元一次方程组的解为，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用整体换元思想，将待求解方程组变形为与已知方程组结构一致的形式，再结合已知解计算即可． 【详解】解：对方程组变形得： ， 方程组的解为， ， 解得：， 方程组的解是． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若是关于x，y的二元一次方程，则________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的整式方程叫做二元一次方程）列出关于、的方程组，求解后再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得：， ∴． 12．《九章算术》原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？译文：现有一些人共买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，则还差4钱，问共多少人，物品价格多少钱？设共有x人，物品的价格是y钱，则可列方程组为____________． 【答案】 【分析】根据人数和物价不变，分别从两种出钱方案中提取总出钱数和物价的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：设共有人，物品的价格是钱， 第一种方案：每人出钱，盈余钱，总出钱减去盈余等于物价，可得方程， 第二种方案：每人出钱，还差钱，总出钱加上差的钱数等于物价，可得方程， ∴可列方程组为． 13．已知方程组的解是，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组解的定义，将待求解方程组变形为与已知解的原方程组结构相同的形式，通过对应关系得到关于x，y的方程，求解即可得到结果； 【详解】解：∵方程组的解是， 将方程组的两边同时除以4，变形得， 对比原方程组可得， 解得， 因此方程组的解为． 14．若方程组的解是，则方程组的解为___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ∵方程组的解是， ∴， 解得． 15．已知关于x的整系数的二次三项式，当x分别取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值分别为1，5，25，50，经过验算，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是_______． 【答案】25 【分析】根据代数式的值，整式的加减，数的性质，求解即可； 【详解】解：把x的值分别代入二次三项式得，①，②，③，④， 得：， ∵a和b都是整数， ∴只能是偶数， 故③和④中有一个错误； 得：， ∵a和b都是整数， ∴只能是5的倍数， 故③和①中有一个错误； 综上，故③是错误的． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先把方程组整理为，再利用加减消元法解方程组即可； 【详解】（1）解： ②①得，， 把代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为． （2）解： 方程组可化为， ①②得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为． 17．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①， 得， ∴方程组的解是； （2）解：， ，得， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解是． 18．我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，；用表示大于a的最小整数，例如：，，．解决下列问题： (1)______，______； (2)若，那么x的取值范围是______； (3)已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围． 【答案】(1)4，3 (2) (3)， 【分析】（1）根据与的定义求解即可； （2）根据与的定义求解即可； （3）设，代入求解二元一次方程组，再根据与的定义求解即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：∵表示不大于a的最大整数， ∴若，则是不大于的最大整数， ∴． （3）解：设， 则有， 解得， 即， ∵表示不大于的最大整数， ∴， ∵表示大于的最小整数， ∴． 19．新定义：已知关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就称方程组的解x与y具有“邻好关系”．如：关于x，y的方程组的解为，因为，所以关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解x与y是否具有“邻好关系”，并说明理由； (2)若关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 【答案】(1)该方程组的解与具有“邻好关系”，理由如下： ， 由得， 将代入得， 解得， ∵， ∴该方程组的解与具有“邻好关系”； (2) 【分析】（1）先求出方程组的解，再结合“邻好关系”的定义判断即可得出结果； （2）先求出方程组的解，再结合“邻好关系”的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：， 由得， 解得， 将代入②得， 解得， ∵关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得． 20．图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成．经测量，该款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为．学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌面和桌腿挡板．如图2所示，该型号板材为长方形，长，宽．（板材切割无损耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用） 【任务一】拟定裁切方式 (1)若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板_______块； (2)若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料．请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡板多少块）； 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得． 要求： ①从【任务一】第（2）问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭配裁切，（即这两种方案均须被使用）； ②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材； 请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多少张板材． 【答案】(1) (2)解：∵， ∴只能先将的板材先切成四个的小长方形板材，再去切割桌面或者桌腿挡板， ∵桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为， ∴每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板， ∴板材最多可以切出四块桌面， ∵将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料， ∴满足条件的裁切方案： 方案一：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案二：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案三：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案四：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； (3)该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材 【分析】（1）将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材即可求解； （2）先将的板材先切成四个的小长方形板材，每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板，据此设计方案即可； （3）根据题意还需要块桌面，块桌腿挡板，分别选择两种方案，设出每种方案需要用到的板材数量，根据桌面和桌腿挡板数量列方程组求解即可． 【详解】（1）解：将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材，即桌腿挡板尺寸， ∴将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板块； （2）略 （3）解：∵现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板， ∴还需要块桌面，块桌腿挡板， ①选择方案一和方案二， 设方案一和方案二用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材； ②选择方案一和方案三， 设方案一和方案三用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买张，方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材； ③选择方案一和方案四， 设方案一和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得不是整数，不合题意； ④选择方案二和方案三， 设方案二和方案三用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑤选择方案二和方案四， 设方案二和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑥选择方案三和方案四， 设方案三和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； 综上所述，该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为块和块张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为块和块张板材． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 第五章二元一次方程组 注意事项： 1.测试范围：北师大版(2024)八年级上册第五章。 2.考试时间：90分钟试卷满分：100分。 第I卷选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.已知点A2,-2)在正比例函数y=的图象上，则k的值为() A.3 B.1 C.-3 D.-1 x=-1 2.已知二元一次方程组的解是y=-2,则该方程组可以为() x+y=-3 x+y=-3 A x-2y=3 B.x-y=5 [2x=y x-y=1 C.x+y=3 D.3x-y=5 [27x+63y=59 3.已知方程组63x+27y=-13的解满足x-y=m-1,则的值为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 [3x-y=7 4.若方程组x+2y=0的解满足x-y=m,则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 3x-y=3 x=4 5.小明解出了关于x,y的二元一次方程组2x+y=△的解为y=o因不小心，有两处被污 染，则“△”和“口”代表的数分别是() A.17,9 B.22,9 C.14,6 D.18,6 1/5 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 6.直线“经过点 (-1,0)B(0,2 和点 ,把直线“向右平移2个单位长度得到直线b,则直 线b的表达式为() A.y=2x+2 B.y=x+4 C.y=2x-2 D.y=-x+2 7.如图，直线=3x与=-4x+”相交于点P(m3列，则关于x的方程3x=4x+”的解是 () yy=3x P(m,3) v=-4x+n A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=6 8.在等腰△ABC中，AB=AC,中线CD将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则 这个等腰三角形的底边长为() A.7 B.7或11 C.10 D.8或10 9.一次函数片=a+b与乃=cr+d(a≠0，c≠0) 的图象如图所示，则下列结论： ①ad+bc>0；② 3(a-c)=d-b ③x的值每增加1，片-片的值增加d-b,④ a+b>c+d.其中正确的是() y2=cx+d 3 y=ax+b A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ mx+ny=7 x=-1 10.若关于x、y的二元一次方程组m2x-n2y=-5的解为y=2，则方程组 2/5 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 mx+ny=7+2m 3 1 的解是() m2x-。n2y=-5+2m, 3 x=1 x=1 x=2 x=3 A.y=4 B.y=6 C.y=3 D. y=5 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 1.若0-y2-202 是关于x,y的二元一次方程，则mn= 12.《九章算术》原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四.问人数、 物价各几何？译文：现有一些人共买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱：每人出7钱， 则还差4钱，问共多少人，物品价格多少钱？设共有x人，物品的价格是y钱，则可列方 程组为 ax+by=c x=3 3a,（x+1)+2b(y-1)=4c 13.己知方程组a,x+b,y=c2的解是y=-4,则方程组3a,(x+)+2b,(y-1)=4c,的解 是 ax+by=c x=-14 7ax+5by=3c 14. 若方程组a2x+b2y=c2的解是y=15,则方程组7a2x+5b2y=3C2的解为 15.已知关于x的整系数的二次三项式ax2+bx+c,当x分别取1,3,6,8时，某同学算 得这个二次三项式的值分别为1,5,25,50，经过验算，只有一个结果是错误的，这个错 误的结果是 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16.解二元一次方程组： [2x-y=5 (1)7x-3y=20: 3/5 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 x+3y3 2 2)5x-2)=-4 17.解下列方程组： [y=2x-5 (1)x+3y=-8: [3x+4y=8 (2)5x-2y=9 18.我们用 回表示不大于a的最大整数，例如：B-3,刊4，【1]-2，用@表 示大于a的最小整数，例如：35}=4.=2,25}=-之.解决下列问题： [4.8= {2.5}= 若-3 那么x的取值范围是一一一： [x]+3{y以=2 (3)已知x,y满足方程组[x]-4{y}=-5,求x,y的取值范围. 19.新定义：已知关于x,y的二元一次方程组，如果方程组的解x,y满足x-y=1,我们 x+y=3 就称方程组的解x与y具有“邻好关系”.如：关于x,y的方程组x-2y=0的解为 x=2 x+y=3 y=1,因为2-1=1，所以关于x,y的方程组x-2y=0的解x与y具有“邻好关系”， x+2y=7 (1)判断方程组x+y=5的解x与y是否具有“邻好关系”，并说明理由： 4/5 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 2x-y=6 (2)若关于x,y的方程组4x+y=6m的解x与y具有“邻好关系”，求m的值. 20.图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成.经测量，该 款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为50cm×36cm,桌腿挡板为长方形板材，尺寸为 50cm×12cm.学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌 面和桌腿挡板.如图2所示，该型号板材为长方形，长200cm,宽48cm.(板材切割无损 耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用》 50cm 入人k36cm 200 12cm 图2 【任务一】拟定裁切方式 48 200 备用图 图1 (1)若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板！ 块 (2)若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料」 请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡 板多少块)： 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板， 缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得， 要求： ①从【任务一】第(2)问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭 配裁切，（即这两种方案均须被使用）： ②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材： 请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多 少张板材. 5/5