第四章一次函数单元测试2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册一次函数单元卷，通过“浮箭漏”“水杯设计”等真实情境与梯度问题，覆盖概念、图像、应用，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|12题|正比例函数定义、一次函数图像与象限|结合“乌鸦喝水”考函数关系，用“浮箭漏”表格考一次函数表达式| |填空|8题|函数表示方法、平移、等腰三角形与一次函数|以粘合白纸考一次函数建模，结合坐标系考最短路径| |解答|5题|实际问题函数建模、图像分析|阶梯水费考分段函数，水杯设计题融合数据与图像分析，体现数学建模与数据分析|

第四章 一次函数 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（   ） A．正方形的面积随着边长的变化而变化 B．圆的周长随着半径的变化而变化 C．面积为20的三角形的一边，随着这边上的高的变化而变化 D．矩形的一边长为，比它的邻边短2．矩形的周长随着边长的变化而变化 2．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，，则的解为（　　） A． B． C． D． 4．如图，梯形上底的长为，下底长为，高为，梯形的面积为，则下列说法不正确的是（  ） A．梯形面积与下底长之间的关系式为 B．当时，，此时它表示三角形面积 C．当每增加时，增加 D．当从变到时，的值从变化到 5．某容器的截面如图所示，如果以固定的流量向这个空的容器注水，直至注满，下列图象中能大致表示水面高度与注水时间s之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 6．我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 7．将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 8．在平面直角坐标系中，一次函数的图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．关于一次函数的图象，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多 11．九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 12．在物理实验探究课上，某小组利用滑轮组及相关器材进行提升重物实验时（不计绳重和摩擦），他们把得到的拉力和所悬挂重物的重力的几组数据绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（    ） A．当时， B．当拉力时，重物的重力 C．拉力随着重物重力的增大而增大 D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为 二、填空题 13．表示函数的方法一般有____________、__________________、_________________． 14．函数（k，b都是常数，且）叫做__________，当时，函数（k是常数，）叫做__________，常数k叫做__________． 15．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为________． 16．如图，一次函数的图像经过点，当时，的取值范围是________． 17．在关系式中，V随着t的变化而变化，其中自变量是_____，因变量是_____，当_____时，． 18．已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是________．（写出一个合理的值即可） 19．一次函数中，与的部分对应值，如下表：那么，一元一次方程的解是___________． 0 1 2 0 2 20．在平面直角坐标系中，已知点，点，点在直线上第一象限内的一个动点，当为等腰三角形时，则点的坐标可以是________． 三、解答题 21．水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量． 时间 0 5 10 15 20 25 30 漏水量 0 15 30 45 60 75 90 解决下列问题： (1)结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式________（不要求写自变量的取值范围）； (2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为多少mL． 22．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 23．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)画出关于轴对称的图形（点、分别对应、） (2)请在轴上找出一点，满足线段的值最小，并直接写出点坐标． 24．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点； (2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点，并连接，得到， ①求的面积． ②点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． 25．在科技活动中，数学小组的同学用所学数学知识和人工智能软件设计了三个形状不同的新水杯，并将其制作出来．三个水杯分别记为1号杯、2号杯和3号杯，当3个水杯中都有水时，测量并记录水面高度，分别记作，得到如下数据： V/mL 0 50 100 150 200 250 300 350 400 /cm 0 1.4 2.7 3.6 4.4 5.1 5.7 6.1 6.5 /cm 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4.8 /cm 0 0.3 0.7 1.2 1.8 2.6 3.5 4.8 6.1 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经给出部分图象，描出其余各点，补全函数的图象；    (2)以下是某同学绘制的三个杯子的轮廓示意图，根据表中数据和函数图象，填上三个杯子对应的杯号．    (3)根据以上数据与函数图象估算，注入相同多的水，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，1号杯的水面高度约为_____（精确到0.1），此时，若从1号杯中向2号杯和3号杯中各倒入一些水，使得三个杯子中的水面高度相同，操作完成后三个杯子的高度约为_____cm（精确到0.1）． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D D D B A C C C D A 1．【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查正比例函数的定义．先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A.，是二次函数； B.，是正比例函数； C.，是反比例函数； D.，是一次函数； 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的一般形式（、为常数，）． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，其中的次数是2，不是一次函数，不符合题意； B、，符合一次函数的一般形式，是一次函数，符合题意； C、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意； D、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意． 故选：B． 3．【答案】D 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系相关知识点．解题关键在于熟练掌握一次函数的图象与轴交点的横坐标和方程的解之间的对应关系．已知一次函数的图象与轴的交点坐标，根据一次函数与一元一次方程的关系，直接得出方程的解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点．对于一元一次方程，它的解就是使得时的值，也就是一次函数图象与轴交点的横坐标． ∴当时，对应的，即方程的解为． 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了变量间的关系，正确理解题意是解题的关键．根据梯形面积公式得出与之间的关系；结合关系式逐项分析即可得解． 【详解】解∶．∵梯形上底的长是，下底的长是，高是， ∴梯形的面积与下底长之间的关系式为：，该项正确，不符合题意； ．当时，，此时它表示三角形面积，该选项正确，不符合题意； ．∵， ∴当每增加时，增加，故该选项正确，不符合题意； ．当时，， 当时，， 当从变到时，的值从变化到，故该选项错误，符合题意； 故选∶． 5．【答案】D 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查函数图象，需注意的知识点为：高度增加先慢后快，函数图象的坡度将先缓后陡． 高度表示容器中水面上升高度；按不同的时间段，判断的变化． 【详解】解：容器的底面积先大后小，故水位上升速度先慢后快， 图象表现为先缓后陡， D选项的图象符合题意． 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 7．【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】先根据一次函数平移规律得出平移后的解析式，再将点代入解析式求出的值． 此题主要考查了一次函数图象平移，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键． 【详解】解：∵一次函数的图象向下平移2个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴将点代入， 得， ∴， 解得． 故选：A． 8．【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】直接运用一次函数图像的性质求解即可． 【详解】解：∵对于一次函数， ∴，, ∴y随x的增大而减小，函数图像与y轴交于正半轴， ∴一次函数的图像经过第一象限、第二象限、第四象限，即一次函数的图像不经过第三象限． 9．【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数图象，根据一次函数的图象在y轴右侧，且是一条射线，据此即可解答． 【详解】解：一次函数的图象在y轴右侧，且是一条射线， 则只有选项C符合题意． 故选：C． 10．【答案】C 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】从图1和图2中可知，当时，日销售量达到最大，所以根据日销售利润=日销售量每件产品的销售利润即可求解． 【详解】由图1知，当天数时，市场日销售量达到60件：从图2知，当天数时，每件产品销售利润达到最大30元．销售总利润为：（元）． A：从图1，可以看出当时，市场日销售量最大，选项正确，不符合题意； B：从图2，可以看出第20天至30天该产品单件销售利润相同，都达到最大值30元，选项正确，不符合题意； C：当时，日销售量低于时的日销售量，但单件销售利润相同，所以当天数为30时，销售利润最大，选项错误，符合题意； D：从图2中可以看出，第20天至30天该产品单件销售利润相同，从图一看出，日销售量逐日增加，成正比例函数关系，所以日销售利润逐日增加，选项正确，不符合题意； 故答案为：C 【点睛】本题考查的一次函数变量之间的实际应用，通过观察图形，结合相关数据处理实际问题，利用数形结合是解决问题的关键． 11．【答案】D 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表格信息可得：箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意； 由表格信息可得：当时，，每增加1小时，箭尺读数y增加， ∴箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为， ∴B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意； 由可得： 当时，，C正确，不符合题意； 故选：D． 12．【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用．由函数图象可以直接判断A、C，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把，代入函数解析式求出对应的G和F即可判断B、D． 【详解】解：由图象可知，拉力F与重力G成一次函数关系，拉力F随着重力的增大而增大， 当时，，故A结论错误，符合题意，C结论正确，不符合题意； 设拉力F与重力G的函数解析式为，则， 解得， ∴， 当时，，解得，故B结论正确，不符合题意； 当时，拉力，故D结论正确，不符合题意； 故选：A． 13．【答案】 列表法 关系式法 图象法 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题主要考查函数的表示方法．根据函数的定义，结合表示函数的方法“列表法、关系式法、图象法”即可求解． 【详解】解：表示函数的方法一般有列表法、关系式法、图象法， 故答案为：①列表法；②关系式法；③图象法． 14．【答案】 一次函数 正比例函数 比例系数 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【分析】直接根据一次函数和正比例函数的定义作答即可． 【详解】函数（k，b都是常数，且）叫做一次函数，当时，函数（k是常数，）叫做正比例函数，常数k叫做比例系数． 【点睛】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 15．【答案】 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数，解题关键是找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数解析式． 【详解】解：设张白纸粘合后的总长度为， ∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， 可得 ∴， 故答案为：． 16．【答案】 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】先由图像得到一次函数的增减性，再由的图像可知时，可确定的解集． 【详解】解：由图像可得，当时，，且y随x的增大而减小， 则当时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像性质，解答本题的关键是数形结合． 17．【答案】 t V 15 【知识点】函数的概念、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查函数的相关概念，以及根据函数值求自变量，掌握自变量，因变量的定义，并将代入关系式中求解，即可解题． 【详解】解：关系式中，V随着t的变化而变化， 是自变量，是因变量， 当时，有，解得， 故答案为：，，． 18．【答案】（小于均可） 【知识点】求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性求出函数y的值的范围，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴y随着x的增大而减小， ∵时，， ∴时，， ∴当自变量时，函数y的值可以是小于的任何数， 故答案为：． 19．【答案】1 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】此题实际上是求当时，所对应的的值，根据表格求解即可． 【详解】解：根据表格可得： 当时，，即一元一次方程的解是， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 20．【答案】、或 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理求得两点距离，设，，根据两点距离公式分别求得，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解． 【详解】解：如图 ∵点，点， ∴ ∵点在直线上第一象限内的一个动点， 设， ∴ ①当时， 解得：， ∴点的坐标， ②当时， 解得：（负值舍去）， ∴点的坐标， ③当时， 解得：（负值舍去）， ∴点的坐标， 综上所述，点的坐标为、或 故答案为：、或． 21．【答案】(1) (2) 【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值 【分析】（1）观察表格数据特点即可求解； （2）由（1）即可求解． 【详解】（1）解：观察表格可得：漏水量是时间的3倍， 故解析式为 ， 故答案为： （2）解：一天的漏水量约为． 【点睛】本题考查根据表格列函数解析式．仔细观察数据特点是解题关键． 22．【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，；超出30立方米部分， (2)小丽家用水25立方米 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据（1）可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：； 超出30立方米部分：； （2）解：由（1）可知： 把代入得：， 解得：； 答：小丽家用水25立方米． 23．【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】列一次函数解析式并求值、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出的坐标，再顺次连接三点得到． （2）利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求点，再通过求直线的解析式得到点坐标． 【详解】（1）解：，关于轴对称的点的坐标特征为横坐标不变，纵坐标互为相反数， ． ， ． ， ． 顺次连接，得到． （2）解：作点关于轴的对称点，设直线的解析式为， 将，代入解析式： , 解得，， 直线的解析式为． 当时，， ． 24．【答案】(1) 确定原点O并建立平面直角坐标系如图所示： (2)①；② 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、线段问题(轴对称综合题)、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查平面直角坐标系，割补法求三角形的面积，一次函数的应用． （1）点A和B的坐标确定原点O并建立平面直角坐标系即可； （2）①利用割补法计算即可； ②根据轴对称的性质作关于轴的对称点，连接交轴于点，进而可得 ，此时最小，再待定系数法求的解析式，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：根据和． （2）解：①． ②如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴ ∴ ，此时最小， 设直线的解析式为， 代入，得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 25．【答案】(1)见解析 (2)2，1，3； (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象 【分析】（1）利用描点法补全函数图象即可； （2）观察（1）中的函数图象即可求解． （3）观察（1）中的函数图象即可求解． 【详解】（1）解：如图，补全函数图象如下： （2）解：第一个杯子是上下一样宽，则随着匀速增大，所以为2号杯， 第二个杯子是下窄上宽，则的变化是先急后缓，所以为1号杯， 第三个杯子是下宽上窄，则的变化是先缓后急，所以为3号杯， 根据函数图象可知，三个杯子从左到右分别是2号杯，1号杯，3号杯； （3）解：根据函数图象可知，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，2号杯与3号杯中的水面高度约为，1号杯的水面高度约为； ∵， ∴操作完成后三个杯子的高度约为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $