第四章《一次函数》单元测试 2026～2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册数学《一次函数》单元卷，通过生活情境（如电瓶车电池温度、外卖配送效率）与跨学科案例（浮力实验、星际引擎），全面考查函数概念、图像性质及应用，适配单元复习巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|自变量判断、函数图像识别、正比例函数性质|结合生活情境（电瓶车电池温度）与文化素材（《村居》纸鸢距离），考查抽象能力| |填空题|5小题|自变量取值范围、一次函数定义、图像象限|设置开放题（图象过二三四象限的解析式），培养创新意识| |解答题|8小题|解析式确定、跨学科应用（浮力实验）、几何与函数综合|设计分层任务，基础题（求解析式）、提升题（垃圾分类垃圾桶优化）、创新题（“极大距离”新定义），发展推理能力与模型意识|

2026~2027学年北师大版八年级上册数学第四章《一次函数》单元测试 一．选择题（共10小题） 1．电瓶车电池的最佳使用温度是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（　　） A．化学物质 B．电池 C．温度 D．电瓶车 2．函数y＝x﹣2的图象为（　　） A． B． C． D． 3．已知正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象经过第二、第四象限，则m的取值范围是（　　） A．m＞ B．m＜ C．m＜0 D．m＞0 4．如图是某外卖平台统计的甲，乙，丙三名骑手的某天的配送数据，甲，乙，丙上午配送数据分别用M1，M2，M3表示，下午配送数据分别用N1，N2，N3表示．若定义一天的配送效率＝，则下列说法正确的是（　　） A．甲的配送效率最高 B．丙的配送效率最高 C．甲的配送效率最低 D．乙的配送效率最低 5．下列关于y和x的式子，其中y不是x的函数的是（　　） A．y＝2x+2 B．y＝|x| C．y＝±x D．y＝2x 6．清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A． B． C． D． 7．若关于x的函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 8．已知点（﹣2，y1），（1，y2）都在直线上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 9．某科幻社团设计了一个名为“星际引擎”的模型．该引擎的输出功率W与输入电压U满足某种函数关系．为了测试性能，社团成员记录了以下几组实验数据： 输入电压U/V 10 20 30 40 … 输出功率W/W 15 35 55 75 … 若该引擎的说明书上定义了一个“效能指数”Φ，其计算公式为：Φ＝2W﹣U．当输入电压调整为60V时，该引擎的“效能指数”Φ是（　　） A．110 B．170 C．190 D．230 10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的值可以是（　　） A． B． C．0 D．1 二．填空题（共5小题） 11．函数的自变量x的取值范围是　 　 ． 12．函数y＝（m﹣1）x|m|+2是一次函数，则m的值为　 　 ． 13．请写出一个图象经过二、三、四象限的一次函数解析式：　 　 .（答案不唯一，只要符合题意均可得分） 14．已知一次函数y＝﹣4x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，坐标原点为O，则S△ABO为　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点C从点A沿x轴向右运动，连接BC，D为BC的中点，在点C的运动过程中，AD长的最小值为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．已知直线y＝kx+b的图象经过点（3，6），，确定函数的解析式． 17．已知y关于x的函数y＝（2m+6）x+m﹣3，且该函数是正比例函数． （1）求m的值； （2）若点（a，y1），（a+1，y2）在该函数的图象上，请直接写出y1，y2的大小关系． 18．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图： （1）建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（0，﹣1）的位置，写出棋子“马”所在的点的坐标； （2）在（1）的条件下，求经过棋子“帅”和棋子“马”所在点的一次函数解析式． 19．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于点A、C，与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点P，点P的横坐标为3，PB⊥x轴，B为垂足，AB＝2PB． （1）求点P的坐标； （2）求一次函数y＝kx+b的表达式． 20．某社区组织垃圾分类活动，准备购置两种不同规格的垃圾桶．大垃圾桶的进价是每个a元，小垃圾桶的进价是每个（a﹣10）元，已知购买3个大垃圾桶和2个小垃圾桶共花费290元． （1）求大垃圾桶每个的进价； （2）若社区计划用不超过3000元的资金购置这两种垃圾桶共50个，每个大垃圾桶的可装垃圾量为20千克，每个小垃吸桶的可装垃圾量为10千克，设购置大垃圾桶m个，总可装垃圾量为Q千克，写出Q与m的函数关系式，并求出在资金允许的范围内Q的最大值． 21．综合与实践我们已经知道，描述函数的方法通常有三种：“列表法”、“图象法”、“表达式法”，这三种表示方法各有优缺点，在实际应用中常常会结合使用，以便更好地理解和研究函数的性质解决实际问题，现在就用我们所学过的函数知识来解决下面问题： 问题情境：如图1，红雨学习小组在测浮力的实验中，将一圆柱体金属块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动逐渐浸入到水里，研究发现从金属块刚接触水面到恰好完全浸入水中时，弹簧测力计的示数F拉力（单位：N）是金属块浸入水中的深度h（单位：cm）的一次函数．通过记录弹簧测力计的示数F拉力与金属块浸入水中的深度h得到下表： h/cm 0 1 2 3 4 5 6 … F拉力/N 6 5.5 4.75 4.5 4 4 4 … （1）在处理数据时，组员小明同学发现在上表的数据中有一组数据记录错误．请在图2中，通过描点的方法画出函数图象，通过观察判断，直接写出哪一组数据是错误的； （2）当0≤h≤4时，请求出F拉力与h的一次函数的表达式； （3）由物理学知识可知，当金属块的下表面刚好与水面接触时，F拉力＝G重力；当金属块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力，若某一时刻该金属块所受的浮力为0.75N，求此时金属块入水中的深度． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣4x+k与y轴交于点A，直线l2：与y轴交于点B，l1、l2与直线x＝k分别交于C，D两点，其中k≠0． （1）当直线l1经过点（1，﹣2）时： ①求直线l2的解析式； ②平行于x轴的直线y＝a交直线l1于点P，交直线l2于点Q，且点P在点Q的左侧．当PQ＝4时，求a的值． （2）设直线l1、l2交于点M，直接写出的值． 23．在平面直角坐标系中，对于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”d（A，B）：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则d（A，B）＝|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则d（A，B）＝|y1﹣y2|． 例如：如图，点P（2，3），则d（P，O）＝3． （1）若点A（3，2）、B（﹣1，﹣1），则d（A，B）＝　 　 ． 【深入探索】（2）已知点C（2，a）、D（a，4），d（C，D）＝4，求a的值． 【拓展延伸】（3）一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过点A（2，4），若该一次函数图象上始终存在点P，使d（P，O）＝3，O为坐标原点，求出此时k的取值范围． 2026~2027学年北师大版八年级上册数学第四章《一次函数》单元测试 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：根据函数的定义可知：本题的变化过程为温度变化引起化学物质活性的变化，进而影响电池耐用性，温度是主动变化的量， ∴自变量是温度． 故选：C． 2．【解答】解：函数y＝x﹣2为一次函数，其图象是一条直线， 令y＝0，则0＝x﹣2，解得x＝2，即函数与x轴的交点为（2，0）； 令x＝0，则y＝0﹣2＝﹣2，即函数与y轴的交点为（0，﹣2）； 观察图象，只有A符合题意，其他选项不符合题意． 故选：A． 3．【解答】解：∵正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象经过第二、第四象限， ∴1﹣2m＜0， ∴m＞． 故选：A． 4．【解答】解：若定义一天的配送效率＝， 如图， 连接M1N1，M2N2，M3N3，分别取M1N1，M2N2，M3N3的中点Q1，Q2，Q3，连接OQ1，OQ2，OQ3，设M1（x上1，y上1），N1（x下1，y下1），则，则甲一天的配送效率为， 同理可表示出乙的配送效率和丙的配送效率， 由图可得OQ1的倾斜程度＞OQ2的倾斜程度＞OQ3的倾斜程度（直线的倾斜程度表示配送效率，倾斜程度越大，配送效率越高），即甲一天的配送效率＞乙一天的配送效率＞丙一天的配送效率． 故选：A． 5．【解答】解：ABD中在y＝2x+2，y＝|x|和y＝2x中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一值与之对应，不符合题意， C项在y＝±x中，对于正数x或负数x的每一个确定值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数． 故选：C． 6．【解答】解：儿童从学校放学回到家的过程中，离家的距变小；儿童从家再到田野的过程中，离家的距离增大， ∴刻画儿童离家距离与时间关系的是 故选：C． 7．【解答】解：∵关于x的函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数， ∴m﹣1≠0，m2﹣1＝0， ∴m＝﹣1， 故选：B． 8．【解答】解：∵k＝＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵点（﹣2，y1），（1，y2）都在直线上，且﹣2＜1， ∴y1＜y2． 故选：C． 9．【解答】解：由表格数据可知，U每增加10，W增加20， ∴W是U的一次函数， 设W＝kU+b（k≠0）， ∴， 解得：， ∴W＝2U﹣5， ∵Φ＝2W﹣U， ∴当U＝60V时，Φ＝2（2U﹣5）﹣U＝2×（2×60﹣5）﹣60＝170， 故选：B． 10．【解答】解：连接AC，则四边形ABOC是矩形， ∴∠A＝∠ABO＝90°， 又∵MN⊥MC， ∴∠CMN＝90°， ∴∠AMC＝∠MNB， ∴△AMC∽△NBM， ∴， 设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y， ∴＝， 即：y＝﹣x2+x， ∵y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+， ∴当x＝时，y最大＝， ∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b） 当BN最大，此时ON最小，点N （0，b）越往上，b的值最大， ∴ON＝OB﹣BN＝2﹣＝， 此时，N（0，﹣）， b的最大值为﹣． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：由题意得：， 解得：x≥0且x≠3． 故答案为：x≥0且x≠3． 12．【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x|m|+2是一次函数， ∴|m|＝1且m﹣1≠0， 由m﹣1≠0可得m≠1， 由|m|＝1可得m＝±1， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 13．【解答】解：由题意，对于一次函数y＝kx+b， ∵一次函数图象过二、三、四象限， ∴k＜0，b＜0． ∴k＝﹣1，b＝﹣1．（答案不唯一．） ∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣1． 故答案为：y＝﹣x﹣1． 14．【解答】解：因为一次函数y＝﹣4x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点， 所以点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，8）， 所以． 故答案为：8． 15．【解答】解：对于直线可得：A（2，0），， ∴OA＝2，， 如图，延长BA至点B′，使AB′＝AB，连接B′C， 由条件可知AD是△BB′C的中位线， ∴， 要使AD的长最小，则B′C的长需最小， 如图，根据垂线段最短可知，当B′C⊥x轴时，B′C的长最小，此时∠B′CA＝90°， ∵∠BOA＝90°， ∴∠B′CA＝∠BOA， 在△B′CA和△BOA中，， ∴△B′CA≅△BOA（AAS）， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16．【解答】解：由题知， 将点（3，6），代入y＝kx+b得， ，解得， 所以函数的解析式为． 17．【解答】解：（1）∵函数y＝（2m+6）x+m﹣3是正比例函数， ∴，解得：m＝3， ∴m的值为3； （2）∵m＝3， ∴k＝2m+6＝2×3+6＝12＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵点（a，y1），（a+1，y2）在该函数的图象上，且a＜a+1， ∴y1＜y2． 18．【解答】解：（1）根据平面内点的平移规律可得， 把“帅”向右平移三个单位，向上平移3个单位得到“马”的位置， ∴（0+3，﹣1+3），棋子“马”所在的点的坐标为（3，2）； （2）∵“帅”位于点（0，﹣1），“马”（3，2），设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为y＝x﹣1． 19．【解答】解：（1）∵点P的横坐标为3， ∴y＝﹣3+7＝4， ∴点P（3，4）； （2）由条件可知PB＝4，OB＝3． ∵AB＝2PB， ∴AB＝8， ∴AO＝AB﹣OB＝5， ∴点A（﹣5，0）． ∵一次函数y＝kx+b经过点P（3，4），A（﹣5，0）， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为． 20．【解答】解：（1）设大垃圾桶的进价是每个a元，小垃圾桶的进价是每个（a﹣10）元， 根据题意得：3a+2（a﹣10）＝290， 解得a＝62， 答：大垃圾桶每个的进价为62元； （2）设购置大垃圾桶m个，则购置小垃圾桶（50﹣m）个， 总可装垃圾量Q＝20m+10（50﹣m）＝10m+500， ∵购置资金不超过3000元， ∴62m+（62﹣10）（50﹣m）≤3 000， 解得m≤40， ∵在Q＝10m+500中，10＞0， ∴Q随m的增大而增大， ∴当m＝40时，Q有最大值，最大值为10×40+500＝900， 答：Q与m的函数关系式为Q＝10m+500，在资金允许的范围内Q的最大值为900千克． 21．【解答】解：（1）依题意，如图所示： ； 观察判断这数据（2，4.75）是错误的； （2）∵弹簧测力计的示数F拉力是金属块浸入水中的深度h的一次函数． ∴设F拉力＝kh+b（k≠0）， 把（0，6）（4，4）分别代入F拉力＝kh+b， 得，∴ ∴F拉力＝﹣h+6； （3）由题知，当金属块的下表面刚好与水面接触时，F拉力＝G重力 ∴当h＝0时，G重力＝F拉力＝6N， 当金属块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力，若某一时刻该金属块所受的浮力为0.75N， 即F拉力＝G重力﹣F浮力＝6N﹣0.75N＝5.25N， 由（2）得F拉力＝﹣h+6， 把F拉力＝5.25N代入F拉力＝﹣h+6， 即5.25＝﹣h+6 解得h＝1.5， ∴若某一时刻该金属块所受的浮力为0.75N，求此时金属块浸入水中的深度为1.5cm． 22．【解答】解：（1）①由条件可知﹣2＝﹣4×1+k，解得k＝2， 则l2的解析式； ②由第①问得k＝2，， 直线y＝a与l1交点P，则a＝﹣4xP+2， 解得：， 直线y＝a与l2交点Q，则， 解得：xQ＝2a+4， 又P在Q左侧且PQ＝4， 即xP＜xQ，且xQ﹣xP＝4， 代入得， 解得． （2）由条件可知AB＝|k﹣（﹣k）|＝|2k|＝2|k|， ∵直线x＝k与l1交点C：yC＝﹣4k+k＝﹣3k， ∴C（k，﹣3k）， ∵直线x＝k与l2交点D：， ∴， ∴， 由直线l1、l2交于点M联立得：，解得， 代入l1：， ∴， ∴点M到y轴（即AB）的水平距离为 ， 点M到直线x＝k（即CD）的水平距离为， ∴，， ∴． 23．【解答】解：（1）横坐标差的绝对值：|xA﹣xB|＝|3﹣（﹣1）|＝4， 纵坐标差的绝对值：|yA﹣yB|＝|2﹣（﹣1）|＝3， ∵4＞3，即|xA﹣xB|≥|yA﹣yB|， ∴d（A，B）＝|xA﹣xB|＝4； 故答案为：4； （2）∵C（2，a）、D（a，4）， ∴横坐标差的绝对值：|xC﹣xD|＝|2﹣a|， 纵坐标差的绝对值：|yC﹣yD|＝|a﹣4|， ①当|a﹣4|≥|2﹣a|时， 两边平方，得a2﹣8a+16≥4﹣4a+a2， 解得a≤3， ∴d（C，D）＝|a﹣4|＝4，即a﹣4＝±4， 解得a＝0或a＝8（与a≤3矛盾，舍去）； ②当|a﹣4|＜|2﹣a|时， 同理①可得，此时a＞3， ∴d（C，D）＝|2﹣a|＝4，即2﹣a＝±4， 解得a＝6或a＝﹣2（与a＞3矛盾，舍去）； 综上所述，a＝0或6； （3）将点（2，4）代入y＝kx+b，得4＝2k+b， ∴b＝4﹣2k， ∴y＝kx+（4﹣2k）， ∵一次函数图象上始终存在点P，使d（P，O）＝3， ∴过点A的直线y＝kx+（4﹣2k）与以原点为中心，边长为6的正方形有交点， ①当k＞0时，y随x的增大而增大，如图， 由条件可得3＝﹣3k+（4﹣2k）， 解得：， ∴当时，存在点P，使d（P，O）＝3； ②当k＜0时，y随x的增大而减小，如图， 由条件可得3＝3k+（4﹣2k）， 解得：k＝﹣1， ∴当k≤﹣1时，存在点P，使d（P，O）＝3； 综上所述，k的取值范围为k≤﹣1或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $