第二章实数单元测试2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第二章实数单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合文化传承与实际应用，适配单元复习，培养数学抽象、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|实数概念、二次根式化简、无理数估算|第4题祖冲之圆周率渗透文化，第6题估算体现数感| |填空题|8题|新定义运算、勾股定理与数轴、规律探索|第17题新运算培养创新思维，第19题数轴表示无理数发展几何直观| |解答题|5题|二次根式应用、规律探究、作图表示无理数|第21题感恩明信片实际应用，第25题规律探索提升推理意识|

第二章 实数 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．若，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．2 2．化简的结果为（   ） A． B．4 C． D．2 3．实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 4．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 5．下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17的平方根是﹣，其中正确的是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 7．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．8的立方根是 C．4的平方根是2 D．是2的平方根 8．已知、为两个连续的整数，且，则（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 9．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 10．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 11．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 12．将按如下方式排列，若规定第排从左向右的第个数表示为表示，则与表示的两数之积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，实数在数轴上的对应点可能是点________． 14．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为_________． 15．已知，，则____________． 16．计算：的结果为______． 17．对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 18．已知，则的值为______． 19．如图，长方形的边在数轴的正半轴上，O为原点，，，连接，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为_________． 20．将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是_________. 三、解答题 21．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为__________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 22．如图，将一个长为，宽为的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形，求纸片剩余部分的面积． 23．已知二次根式． （1）如果该二次根式，求的值； （2）已知为最简二次根式，且与能够合并，求的值，并求出这两个二次根式的积． 24．如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． (1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ； (2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） (3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 25．观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B C A B D B D C D A 1．【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据非负数的性质可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 2．【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式 【详解】解：． 3．【答案】B 【知识点】实数概念理解 【分析】本题考查了实数与相反数，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】实数与数轴、实数概念理解、实数的分类 【分析】本题主要考查了圆周率的性质、数轴和有理数、无理数、实数的定义等，熟练掌握圆周率是无理数，属于实数是解题的关键． 【详解】选项A：圆周率是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，不符合题意； 选项B：实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而圆周率是实数，所以数轴上能找到表示它的点，不符合题意； 选项C：实数包含有理数和无理数，圆周率是无理数，也是实数，符合题意； 选项D：圆周率，小于，不符合题意； 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】实数与数轴、实数概念理解 【分析】根据实数的有关概念完成即可． 【详解】①实数与数轴上的点一一对应，故①错误； ②无理数是无限不循环小数，π也是无理数，故②错误； ③负数的立方根是负数，故③错误； ④17的平方根是±，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查实数的有关概念，实数与数轴上的点一一对应；无限不循环小数是无理数，整数和分数统称为有理数；任意实数都有立方根；一个正实数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根为零． 6．【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，通过找到与被开方数相邻的两个平方数，确定无理数的范围，再进行简单运算得到最终式子的范围． 【详解】解： 即 即 的值在和之间 故选：B． 7．【答案】D 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根与立方根的定义，根据定义逐一计算判断各选项即可得到正确结果． 【详解】A．，所以，的平方根是，因此本选项错误，不符合题意； B．，所以，的立方根是，因此本选项错误，不符合题意； C．，所以，的平方根是，因此本选项错误，不符合题意； D．，所以，是的平方根，因此本选项正确，符合题意； 8．【答案】B 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】通过估算无理数的大小，利用平方数比较得到的范围，进而求出和的值，计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 即， ∵、为两个连续的整数，且， ∴，， ∴ ． 9．【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、比较二次根式的大小 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 10．【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：1被开方数不含分母；2被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项：，被开方数是能开得尽方的数，不是最简二次根式； B选项：的被开方数含有分母，不是最简二次根式； C选项：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D选项：被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式． 11．【答案】D 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否与的被开方数相同即可得到答案. 【详解】解：∵ 选项A，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项B，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项C，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项D，，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式. 12．【答案】A 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】首先找到排列的数的规律：第n排有n个数，四个数一循环，再求解与表示的数即可解答． 【详解】解：根据数的排列方法可知， 第一排：1个数， 第二排：2个数， 第三排：3个数， 第四排：4个数， …， 第排：个数， 规律：从第一排到排共有个数， ， 根据数的排列方法，每四个数一个循环， 由可知是第5排第4个数是， 表示第9排第9个数，而 ， 即前8排共有36个数，因此第9排第9个数是整个序列中的第个数． ， 表示的数为循环中的第1个数：， 与表示的两数之积为 ∴两数之积为． 13．【答案】D 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】估算出，可得在2和3的对应点之间，即可求解． 【详解】解：， ，即在2和3的对应点之间， 实数在数轴上的对应点可能是D点． 14．【答案】5 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查科学计算器的使用、求有理数的立方和立方根，要注意表示求64的立方根．根据科学计算器的使用计算． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：5． 15．【答案】 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 【详解】． 16．【答案】1 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除，把二次根式的除法转化成乘法运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 17．【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18．【答案】9 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 19．【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】利用勾股定理求出的长度，根据画图的方法知求解． 【详解】解：在中，， ， ∵以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D， ∴， 则点对应的数为． 20．【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，实数的减法运算，找准数字变化规律是关键． 根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回， 表示第5排从左向右第4个数是， ∵前11排共有 (个)数， 表示第12排第4个数即第70个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之差是， 故答案为：． 21．【答案】(1) (2) 解：能将明信片不折叠就放入此信封，理由如下： ∵信封的长、宽之比为， ∴设信封的长是，则宽是， ∵信封的面积是， ∴， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴信封的长是cm，宽是cm． ∵， ∴能将明信片不折叠就放入此信封． 【知识点】利用平方根解方程、算术平方根的实际应用 【分析】（1）根据正方形面积公式，求的算术平方根即可； （2）设信封的长是，则宽是，根据面积为，列方程，利用平方根的性质求出的值，即可求出信封的长和宽，比较宽与（1）中所求明信片的边长即可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形感恩明信片的面积为， ∴该明信片的边长为． （2）略 22．【答案】384 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，长方形的面积、正方形的面积，根据题意，首先算出长方形的面积，然后再算出剪去的四个小正方形的面积，再相减即可得出剩余部分的面积． 【详解】解：长方形的面积：， 减去的四个小正方形的面积和：， 所以剩余部分的面积为：． 23．【答案】（1）a=7；（2）a=8，两个二次根式的积为5． 【知识点】同类二次根式、二次根式的乘法、最简二次根式的判断 【分析】（1）两边同时平方得关于a的方程，求解即可； （2）根据同类二次根式的意义可求出a的值，从而确定二次根式，进一步得出答案． 【详解】解：（1）∵ ∴a+2=32 解得a=7 （2）化简，得 ∵为最简二次根式，且与能够合并 ∴ 解得a=8 ∴两个二次根式的积为. 【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 24．【答案】(1)； (2) 如图，点为所求； (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】（1）用割补法进行计算正方形的面积即可；再根据勾股定理求出边长即可得到答案； （2）以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）由题意可得：，再根据，得到答案即可． 【详解】（1）解：个小正方形的总面积是，阴影正方形的面积等于个小正方形面积的一半， 即； 根据勾股定理，正方形边长， 以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点，因此点表示的数为； （2）略 （3）解：由题意可得：， ，数轴正半轴上的点表示的数为， ， ． 25．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查分母有理化的运用及找规律． （1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第7个等式即可； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （3），观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【详解】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 写出第7个等式： 故答案为：． （2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； （3）解： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $