13.2.1 三角形的边（讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“三角形的边”核心知识点，系统梳理三角形三边关系定理、构成条件及第三边取值范围，结合等腰三角形分类讨论、绝对值化简等应用，构建从基础定理到实际问题的学习支架。 资料通过“考点突破-题型探究-分层通关”设计，以判断三边构成、等腰三角形分类等实例培养推理意识，结合自行车支架等稳定性应用发展数学眼光。课中辅助教师教学，课后分层练习助力学生查漏补缺，提升应用能力。

13.2.1 三角形的边 目录 Part1考点突破 考点1：三角形的三边关系 考点2：三边关系的应用 考点3：三角形的稳定性与四边形的不稳定性 Part2 题型探究 题型1：判断三边能否构成三角形 题型2：求第三边的值或范围 题型3：三边关系与等腰三角形 题型4：三角形的稳定性 Part3 分层通关 【考点1：三角形的三边关系】 1、三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。如图，三角形三边分别为a，b，c（a＜b＜c），由两点之间线段最短可知：a＋b＞c。 2、构成三角形的条件 判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边。若满足，则三条线段可以构成三角形；若不满足，则不能构成三角形。 3、第三边的取值范围 已知三角形的两边长为a和b（a≤b），则第三边x的取值范围是：b－a＜x＜a＋b。即第三边大于两边之差，小于两边之和。 【考点2：三边关系的应用】 1、求字母的取值范围 当三角形的边长含有字母时，利用三边关系建立不等式（组），求解字母的取值范围。注意需同时满足"两边之和大于第三边"和"两边之差小于第三边"。 2、等腰三角形中的分类讨论 等腰三角形已知两边求周长时，需分"已知边为腰"和"已知边为底"两种情况讨论，并验证每种情况是否满足三边关系，舍去不成立的情况。 3、利用三边关系化简绝对值 根据三边关系判断绝对值内代数式的正负，再去掉绝对值符号进行化简。常用结论：a－b－c＜0，a＋b－c＞0。 【考点3：三角形的稳定性与四边形的不稳定性】 1、三角形的稳定性 三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，不会发生变形，这个性质叫做三角形的稳定性。 2、四边形的不稳定性 四边形的四条边长度确定后，形状仍可以改变（可以拉伸成不同形状），因此四边形具有不稳定性。 3、实际应用 三角形的稳定性广泛应用于自行车支架、三角支架、斜拉大桥、门框加固等；四边形的不稳定性可用于伸缩门、升降架等需要变形的结构。 【题型1：判断三边能否构成三角形】 【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 【答案】C 【解答】解：A、∵2+3＝5， ∴长为2，3，5的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵3+4＜8， ∴长为3，4，8的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵4+5＞6， ∴长为4，5，6的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵5+5＜11， ∴长为5，5，11的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式1】以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．4，3，8 C．7，7，16 D．5，7，7 【答案】D 【解答】解：A、2+3＝5，不能组成三角形，故A不符合题意； B、4+3＜8，不能组成三角形，故B不符合题意； C、7+7＜16，不能组成三角形，故C不符合题意； D、7+5＞7，能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 【变式2】在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．3，6，7 C．4，5，9 D．6，6，11 【答案】C 【解答】解：A、3+4＝7＞5，能组成三角形，故此选项不符合题意； B、3+6＝9＞7，能组成三角形，故此选项不符合题意； C、4+5＝9，不能组成三角形，故此选项符合题意； D、6+6＝12＞11，能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【题型2：求第三边的值或范围】 【例2】一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】B 【解答】解：设第三边长为x， ∵一个三角形的两边长分别为2和3， ∴3﹣2＜x＜3+2， 解得：1＜x＜5． 故选：B． 【变式1】已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　） A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm 【答案】C 【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和， 即9﹣4＝5cm，9+4＝13cm． ∴第三边取值范围应该为：5cm＜第三边长度＜13cm， 故只有C选项符合条件． 故选：C． 【变式2】如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝20米，PB＝17米，那么A，B间的距离不可能是（　　） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 【答案】A 【解答】解：设AB的距离为x米， 由三角形的三边关系可知：20﹣17＜x＜20+17，即3＜x＜37， 则A，B间的距离不可能四个数据中的40米， 故选：A． 【变式3】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　　） A．c＞4 B．c＜12 C．4＜c＜12 D．4≤c≤12 【答案】C 【解答】解：由题意得，a﹣4＝0，b﹣8＝0， 解得a＝4，b＝8， ∵实数a，b，c分别表示△ABC的三条边， ∴8﹣4＜c＜8+4， 即4＜c＜12， 故选：C． 【变式4】在△ABC中，若AB＝2，AC＝4，且BC的长为整数，则△ABC的周长可能是（　　） A．8 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【解答】解：在△ABC中， ∵AC﹣AB＜BC＜AC+AB，AB＝2，AC＝4， ∴4﹣2＜BC＜4+2， ∴2＜BC＜6， ∵BC的长度为整数， ∴BC的长度可以为3、4、5， ∴△ABC的周长可能是：2+3+4＝9或2+4+4＝10或2+5+4＝11． 综上所述，△ABC的周长可能是9或10或11． 故选：B． 【题型3：三边关系与等腰三角形】 【例3】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵|b﹣3|＝0， ∴a﹣6＝0，b﹣3＝0， ∴a＝6，b＝3， 如果等腰三角形的底边长是6， ∵3+3＝6，不满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的底边长不可能是6， 如果等腰三角形的底边长是3， ∵3+6＞6，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的底边长是3． 故答案为：3． 【变式1】用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为5cm，则另两边的长度分别是 　7.5 cm和7.5　 cm． 【答案】7.5；7.5． 【解答】解：当腰为5cm时，底边长为20﹣5﹣5＝10（cm）， 而5+5＝10，不符合三角形三边的关系，故舍去； 当底边长为5cm，腰长为（20﹣5）＝7.5（cm）， 综上所述，能围成有底边长是5cm，腰长为7.5cm的等腰三角形， 故答案为：7.5；7.5． 【变式2】若△ABC为等腰三角形，其中b，c满足|c﹣5|0，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．10 C．9或12 D．12 【答案】D 【解答】解：∵|c﹣5|0， ∴c﹣5＝0，b﹣2＝0， ∴c＝5，b＝2， ∵c，b为等腰三角形ABC的两边， ∴当腰是2时，则2+2＝4＜5，不符合三边关系，故舍去； 当底是2时，则5+2＞5，符合三边关系，此时△ABC的周长为2+5+5＝12； 故选：D． 【变式3】工人师傅准备把一根长为12dm的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为3dm，则第二段木条的长是（　　） A．3.5dm B．6dm C．5dm D．4.5dm 【答案】D 【解答】解：分两种情况： ①当底为3dm时， 设腰长为x dm， 由题意得：x+x+3＝12， 解得：x＝4.5， ∵4.5dm，4.5dm，3dm能围成一个等腰三角形， ∴第二段木条的长是4.5dm； ②当腰为3dm时， 设底长为x cm， 由题意得：x+3+3＝12， 解得：x＝6，∵3+3＝6， ∴3dm，3dm，6dm不能围成一个等腰三角形， 综上所述，第二段木条的长是4.5dm， 故选：D． 【题型4：三角形的稳定性】 【例4】下列图形具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、图形不具有稳定性，不符合题意； B、图形具有稳定性，符合题意； C、图形不具有稳定性，不符合题意； D、图形不具有稳定性，不符合题意； 故选：B． 【变式1】小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请在下列选项中选择一个最好的加固方案（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、C、D中长方形框架的加固方案具有四边形结构，四边形具有不稳定性，框架很容易变形，故A、C、D不符合题意； B、长方形框架的加固方案具有三角形结构，三角形具有稳定性，框架不容易变形，故B符合题意． 故选：B． 【变式2】自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计．这种方法应用的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【解答】解：自行车支架一般都会采用三角形设计的几何原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 【变式3】大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之差小于第三边 【答案】A 【解答】解：斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是：三角形的稳定性． 故选：A． 【基础通关练】 1．下列哪组长度的三条线段能组成三角形？（　　） A．1cm、2cm、4cm B．3cm、4cm、7cm C．2cm、2cm、1cm D．5cm、3cm、2cm 【答案】C 【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A中，1+2＜4，不能组成三角形； B中，3+4＝7，不能组成三角形； C中，1+2＞2，能够组成三角形； D中，3+2＝5，不能组成三角形． 故选：C． 2．如图，木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【解答】解：木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的几何原理是三角形的稳定性， 故选：C． 3．已知三角形的两边长满足（b﹣6）2+|a﹣3|＝0，那么第三边的长不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：∵三角形的两边长满足（b﹣6）2+|a﹣3|＝0， ∴b＝6，a＝3， ∴第三边长x满足：6﹣3＜x＜6+3， 得3＜x＜9， ∴第三边不可能为3， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 4．在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，8，4 C．10，6，5 D．2，4，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为3，8，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为5，6，10的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为2，4，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 5．已知三角形三边长分别为2，9，，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据三角形存在的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解答即可． 本题考查了三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵三角形三边长分别为2，9，， ∴， 故答案为：． 6．如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：根据题意可得，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：B． 【提升通关练】 1．如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（　　） A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm 【答案】D 【解答】解：∵AC＝BC＝18cm， ∴0＜AB＜36， ∴折叠凳的宽AB可能为25cm， 故选：D． 2．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是4cm，则腰长为（　　） A．4cm B．7cm C．9cm D．10cm 【答案】B 【解答】解：若4cm长的边为腰，则三角形的底边长为18﹣2×4＝10，三边分别为4，4，10，而4+4＝8＜10，不能构成等腰三角形，不符合题意； 若4cm长的边为底，则三角形的腰长为，三边分别为7，7，4，而7+4＞7，能构成等腰三角形，符合题意， ∴三角形的腰长为7cm． 故选：B． 3．若△ABC的周长为24，则AB的长可能为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【解答】解：∴△ABC的周长为24， ∴AC+BC＝24﹣AB， 由三角形三边关系定理得到：AC+BC＞AB， ∴24﹣AB＞AB， ∴AB＜12， ∴AB的长可能为10． 故选：A． 4．三角形的三边的长分别为a，b，c，其中a＞b，且满足a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，若c为整数，则c的长是（　　） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 【答案】B 【解答】解：∵三角形的三边分别为a，b，c， ∴a﹣b＜c＜a+b， ∵a＞b，且a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6， ∴2c﹣6＜c＜3c﹣6， 解得3＜c＜6， ∵c为整数， ∴c的长是4或5， 故选：B． 5．若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝（　　） A．a+b﹣c B．b﹣a+c C．a﹣b+c D．2a﹣b+c 【答案】C 【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边的长， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝a+b﹣c﹣b+a+c+c﹣a﹣b＝a﹣b+c． 故选：C． 6．已知三角形的三边长分别为3，2a﹣1，8．则正整数a的值可以是 　4或5　 ． 【答案】4或5． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：8﹣3＜2a﹣1＜8+3， ∴3＜a＜6， ∴正整数a的值可以是4或5． 故答案为：4或5． 7．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是　10＜L＜16　 ． 【答案】10＜L＜16． 【解答】解：∵三角形两条边分别为3和5， ∴设第三边长为x， ∴5﹣3＜x＜5+3， 解得2＜x＜8， ∴2+3+5＜x+3+5＜8+3+5， ∵三角形的周长L＝x+3+5， ∴10＜L＜16， 故答案为：10＜L＜16． 8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．4，4，10 B．6，8，10 C．5，6，11 D．3，4，8 【答案】B 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为4，4，10的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，8，10的三条线段能组成三角形，符合题意； C、∵， ∴长为5，6，11的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为3，4，8的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 9．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据非负数的性质得到则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为：17． 故答案为17． 10．如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（   ） A．全等性 B．美观性 C．不稳定性 D．稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答． 【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性， 故选：D． 11．为三角形三边长，化简的结果是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可． 【详解】解：解：因为a，b，c是三角形的三边长， 所以， ， ， ． 故答案为：0． 【培优通关练】 1．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 　①　 （填序号）． ①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 　10或12或13或14　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵18﹣13＝5，13﹣9＝4， ∴18﹣13＞13﹣9， ∴这个三角形为“不均衡三角形”； ∵9﹣8＝1，8﹣6＝2， ∴9﹣8＜8﹣6， ∴这个三角形不是“不均衡三角形”， 故答案为：①； （2）共分3种情况讨论： ①2x+2＞16＞2x﹣6， 解得：7＜x＜11， 2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6）， 解得：x＞9， ∴9＜x＜11， ∵x为整数， ∴x＝10， 当x＝10时，2x+2＝22，2x﹣6＝14， ∵16+14＞22， ∴能构成三角形； ②由题意得：16＞2x+2＞2x﹣6，且（2x+2）+（2x﹣6）＞16 16＞2x+2＞2x﹣6， 即：， 由①得：x＜7， 由②得：x＞5， ∴5＜x＜7 ∵三角形是“不均衡三角形”， ∴16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6）， 解得：x＜3， ∴不存在这样的数； ③2x﹣6＞16时， 解得：x＞11， 2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16， 解得：x＜15， ∴11＜x＜15， ∵x为整数， ∴x＝12或13或14， 当x＝12时，2x+2＝26，2x﹣6＝18， ∵18+16＞26， ∴能构成三角形； 当x＝13时，2x+2＝28，2x﹣6＝20， ∵20+16＞28， ∴能构成三角形； 当x＝14时，2x+2＝30，2x﹣6＝22， ∵22+16＞30， ∴能构成三角形， 综上可知：x的整数值为10或12或13或14， 故答案为：10或12或13或14． 2．如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC， 求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：延长AP交BC于D， 由三角形三边关系定理得到：AP+PD＜AC+CD，PB＜PD+BD， ∴AP+PD+PB＜AC+CD+PD+BD， ∴AP+PB＜AC+BC， 同理PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC， ∴2（PA+PB+PC）＜2（AB+BC+AC）， ∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC； 由三角形三边关系定理得到：PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC， ∴2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC， ∴PA+PB+PC（AB+BC+AC）， ∴（AB+BC+AC）＜PA+PB+PC＜AB+BC+AC． 3．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围． 【答案】（1）x＞7； （2）4； （3）5＜AB≤10． 【解答】解：（1）∵三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2， ∴x﹣2+x﹣1＞x+4，解得：x＞7； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为x+3， 由题意可得：x+x+3＞10，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （3）设AB＝AC＝x， 由题意可得：， 解得：5＜AB≤10． 4．用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．根据三角形的周长和三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：∵细铁丝的长度为，即三角形的周长为， ∵， ∴a是这个三角形最长的边， 由三角形三边的关系，得，而， ∴， 解得，， ∵a、b、c为整数， ∴a最大可取6． 故答案为：6． 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.1 三角形的边 目录 Part1考点突破 考点1：三角形的三边关系 考点2：三边关系的应用 考点3：三角形的稳定性与四边形的不稳定性 Part2 题型探究 题型1：判断三边能否构成三角形 题型2：求第三边的值或范围 题型3：三边关系与等腰三角形 题型4：三角形的稳定性 Part3 分层通关 【考点1：三角形的三边关系】 1、三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。如图，三角形三边分别为a，b，c（a＜b＜c），由两点之间线段最短可知：a＋b＞c。 2、构成三角形的条件 判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边。若满足，则三条线段可以构成三角形；若不满足，则不能构成三角形。 3、第三边的取值范围 已知三角形的两边长为a和b（a≤b），则第三边x的取值范围是：b－a＜x＜a＋b。即第三边大于两边之差，小于两边之和。 【考点2：三边关系的应用】 1、求字母的取值范围 当三角形的边长含有字母时，利用三边关系建立不等式（组），求解字母的取值范围。注意需同时满足"两边之和大于第三边"和"两边之差小于第三边"。 2、等腰三角形中的分类讨论 等腰三角形已知两边求周长时，需分"已知边为腰"和"已知边为底"两种情况讨论，并验证每种情况是否满足三边关系，舍去不成立的情况。 3、利用三边关系化简绝对值 根据三边关系判断绝对值内代数式的正负，再去掉绝对值符号进行化简。常用结论：a－b－c＜0，a＋b－c＞0。 【考点3：三角形的稳定性与四边形的不稳定性】 1、三角形的稳定性 三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，不会发生变形，这个性质叫做三角形的稳定性。 2、四边形的不稳定性 四边形的四条边长度确定后，形状仍可以改变（可以拉伸成不同形状），因此四边形具有不稳定性。 3、实际应用 三角形的稳定性广泛应用于自行车支架、三角支架、斜拉大桥、门框加固等；四边形的不稳定性可用于伸缩门、升降架等需要变形的结构。 【题型1：判断三边能否构成三角形】 【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 【变式1】以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．4，3，8 C．7，7，16 D．5，7，7 【变式2】在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．3，6，7 C．4，5，9 D．6，6，11 【题型2：求第三边的值或范围】 【例2】一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　） A．1 B．2 C．6 D．9 【变式1】已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　） A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm 【变式2】如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝20米，PB＝17米，那么A，B间的距离不可能是（　　） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 【变式3】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　　） A．c＞4 B．c＜12 C．4＜c＜12 D．4≤c≤12 【变式4】在△ABC中，若AB＝2，AC＝4，且BC的长为整数，则△ABC的周长可能是（　　） A．8 B．11 C．12 D．15 【题型3：三边关系与等腰三角形】 【例3】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 　 　 ． 【变式1】用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为5cm，则另两边的长度分别是 　 cm和 　 cm． 【变式2】若△ABC为等腰三角形，其中b，c满足|c﹣5|0，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．10 C．9或12 D．12 【变式3】工人师傅准备把一根长为12dm的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为3dm，则第二段木条的长是（　　） A．3.5dm B．6dm C．5dm D．4.5dm 【题型4：三角形的稳定性】 【例4】下列图形具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请在下列选项中选择一个最好的加固方案（　　） A． B． C． D． 【变式2】自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计．这种方法应用的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【变式3】大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之差小于第三边 【基础通关练】 1．下列哪组长度的三条线段能组成三角形？（　　） A．1cm、2cm、4cm B．3cm、4cm、7cm C．2cm、2cm、1cm D．5cm、3cm、2cm 2．如图，木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 3．已知三角形的两边长满足（b﹣6）2+|a﹣3|＝0，那么第三边的长不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，8，4 C．10，6，5 D．2，4，2 5．已知三角形三边长分别为2，9，，则的取值范围 ． 6．如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【提升通关练】 1．如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（　　） A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm 2．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是4cm，则腰长为（　　） A．4cm B．7cm C．9cm D．10cm 3．若△ABC的周长为24，则AB的长可能为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 4．三角形的三边的长分别为a，b，c，其中a＞b，且满足a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，若c为整数，则c的长是（　　） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 5．若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝（　　） A．a+b﹣c B．b﹣a+c C．a﹣b+c D．2a﹣b+c 6．已知三角形的三边长分别为3，2a﹣1，8．则正整数a的值可以是 　 　 ． 7．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是　 　 ． 8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．4，4，10 B．6，8，10 C．5，6，11 D．3，4，8 9．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 10．如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（   ） A．全等性 B．美观性 C．不稳定性 D．稳定性 11．为三角形三边长，化简的结果是 ． 【培优通关练】 1．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 　 　 （填序号）． ①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 　 　 ． 2．如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC， 求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 3．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围． 4．用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ． 学科网（北京）股份有限公司 $