13.2.1三角形的边讲义2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义系统梳理三角形的边这一核心内容，从定义三要素及基本元素入手，通过三边关系定理及证明构建理论基础，结合按边分类明确等腰与等边三角形特征，延伸至周长计算及六大应用题型，辅以易错点与解题技巧形成完整学习支架。 资料以“两点之间线段最短”解释三边关系培养几何直观，通过分类讨论等腰三角形边长问题发展推理意识，借助口诀、表格及例题帮助学生用数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾强化，有效弥补知识盲点。

人教版八年级数学 · 13.2.1 三角形的边 · 教学讲义 13.2.1 三角形的边讲义 一、三角形的定义与基本元素 ◎ 1. 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 ⭐ 重点 定义三要素：① 三条线段；② 不在同一直线上（共线则退化成线段）；③ 首尾顺次相接（形成封闭图形）。 ◎ 2. 三角形的基本元素 三角形有六个基本元素：三条边和三个角。 · 边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。 · 顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。 · 角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）。 ◎ 3. 三角形的表示法 如图，三角形记作 △ABC，读作“三角形ABC”。 顶点：A、B、C 边：AB、BC、CA（或 c、a、b，其中 a=BC，b=CA，c=AB） 角：∠A、∠B、∠C 📌 知识链接 约定：在△ABC中，通常边a对应∠A（即a=BC），边b对应∠B（即b=CA），边c对应∠C（却c=AB）。即“边a”是∠A的对边。 【图1】三角形ABC及其边、角的标注 ◎ 4. 三角形三边的表示 边的表示 含义 对应角 BC（或 a） 顶点B与C之间的线段 ∠A的对边 CA（或 b） 顶点C与A之间的线段 ∠B的对边 AB（或 c） 顶点A与B之间的线段 ∠C的对边 二、三角形的三边关系定理 ◎ 1. 定理内容 ⭐ 重点 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 用数学语言表示（在△ABC中）： ① AB + BC > AC （即 c + a > b） ② AB + AC > BC （即 c + b > a） ③ AC + BC > AB （即 b + a > c） ④ |AB - BC| < AC （即 |c - a| < b） ⑤ |AB - AC| < BC （即 |c - b| < a） ⑥ |AC - BC| < AB （即 |b - a| < c） ◎ 2. 核心不等式（最重要） ⭐ 重点 判定三条线段能否构成三角形的最简方法： ⭐ 重点 只需验证：最长边 < 另外两边之和 因为如果最长边都小于另外两边之和，那么其他两边自然也满足不等式。这把三个不等式简化为一个！ ◎ 3. 三边关系的几何意义 三角形三边关系本质上是“两点之间线段最短”这一公理的直接推论。 从A到C有两条路径： · 直接走：线段AC（长度 = b） · 绕路走：A→B→C（长度 = c + a） 由“两点之间线段最短”，得：AC < AB + BC，即 b < c + a。 【图2】三角形三边标注（a=BC, b=CA, c=AB） 【图3】三边不满足关系时→三点共线，不能构成三角形 三、三边关系的证明 ◎ 1. 证明：三角形两边之和大于第三边 已知：如图，△ABC。 求证：AB + AC > BC，AB + BC > AC，AC + BC > AB。 证明： 以求证 AB + AC > BC 为例。 延长BA至点D，使AD = AC，连接DC。 ∵ AD = AC（构造） ∴ ∠D = ∠ACD（等边对等角） 在△BDC中，∠BCD > ∠D（三角形的外角大于不相邻的内角） 即 ∠BCD > ∠ACD = ∠D ∴ BD > BC（大角对大边） 又 ∵ BD = BA + AD = BA + AC ∴ BA + AC > BC 即 AB + AC > BC。 证毕。 ⚠ 注意 注意：教材中更常用的证明依据是“两点之间线段最短”这一公理，而非纯几何证明。考试中一般直接用公理说明即可。 ◎ 2. 用“两点之间线段最短”说明（考试推荐写法） 📌 知识链接 如图，从B到C有两条路径：① 直接沿线段BC走（距离=BC）；② 经过A再到C（距离=BA+AC）。根据“两点之间线段最短”的基本事实，直接走更短，即 BC < BA + AC，也就是 AB + AC > BC。同理可证其他两个不等式。 ◎ 3. 推论：两边之差小于第三边 由 a + b > c，移项得 a > c - b，即 c - b < a。 同理可得：a - c < b，b - c < a 等。 综合起来：|a - b| < c < a + b ⭐ 重点 口诀：第三边大于两边之差，小于两边之和。即 |a-b| < c < a+b。这是判断三条线段能否构成三角形的核心不等式。 【图4】两边之差 < 第三边 < 两边之和 四、三角形按边分类 ◎ 1. 分类标准 根据三角形三条边的长度关系，将三角形分为以下三类： 类型 定义 边的特征 角的特征 不等边三角形 三边各不相等的三角形 a ≠ b ≠ c 三角各不相等 等腰三角形 有两条边相等的三角形 a = b（或 b = c 或 a = c） 两腰所夹角相等 等边三角形 三边都相等的三角形 a = b = c 三角都等于60° ⭐ 重点 包含关系：等边三角形是特殊的等腰三角形。即：等腰三角形包含等边三角形。 ◎ 2. 分类图示 三角形（按边分）： ┌─ 不等边三角形（三边都不等） 三角形 ─│ └─ 等腰三角形 ┌─ 只有两边相等（一般等腰） └─ 三边都相等（等边/正三角形） ◎ 3. 三种三角形示意图 【图5】按边分类的三种三角形（左：等边 中：等腰 右：不等边） 五、等腰三角形与等边三角形 ◎ 1. 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 · 相等的两条边叫做腰。 · 另一边叫做底边。 · 两腰的夹角叫做顶角。 · 腰与底边的夹角叫做底角。 ⭐ 重点 等腰三角形性质（提前了解，13.3节详细学）：① 两腰相等；② 两底角相等（等边对等角）；③ 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 【图6】等腰三角形（AB=AC为腰，BC为底边） ◎ 2. 等边三角形 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。 · 三边相等：AB = BC = CA · 三角相等：∠A = ∠B = ∠C = 60° · 等边三角形是特殊的等腰三角形（三边相等 → 至少有两边相等）。 ⭐ 重点 等边三角形性质（提前了解）：① 三边相等；② 三角都等于60°；③ 有三条对称轴；④ 三线合一。 ◎ 3. 等腰三角形 vs 等边三角形 比较项 等腰三角形 等边三角形 边的条件 至少两边相等 三边都相等 角的条件 至少两角相等 三角都等于60° 对称性 1条对称轴 3条对称轴 包含关系 包含等边三角形 是特殊的等腰三角形 六、三角形周长计算 ◎ 1. 周长定义 三角形的周长 = 三条边长之和。 即 C = a + b + c = AB + BC + CA。 【图8】三角形周长 = AB + BC + CA ◎ 2. 周长计算示例 例：在△ABC中，AB = 5cm，BC = 7cm，AC = 6cm，求周长。 解：C = AB + BC + AC = 5 + 7 + 6 = 18（cm）。 ◎ 3. 已知周长和两边，求第三边 例：△ABC的周长为24cm，AB = 8cm，BC = 9cm，求AC。 解：AC = 周长 - AB - BC = 24 - 8 - 9 = 7（cm）。 验证：8 + 7 > 9 ✓，8 + 9 > 7 ✓，7 + 9 > 8 ✓，能构成三角形。 ◎ 4. 等腰三角形周长问题 例：等腰三角形周长为20cm，一边长为8cm，求另外两边长。 解：需要分类讨论！ 情况一：8cm为腰长 → 底边 = 20 - 8×2 = 4cm。三边：8, 8, 4。 验证：8+4>8 ✓，8+8>4 ✓ → 可以构成三角形。 情况二：8cm为底边 → 腰长 = (20-8)÷2 = 6cm。三边：6, 6, 8。 验证：6+6>8 ✓，6+8>6 ✓ → 可以构成三角形。 ∴ 另外两边长为 8cm、4cm 或 6cm、6cm。 ⚠ 注意 关键提醒：求出边长后必须验证是否满足三边关系！否则可能出现“8, 4, 4”这样 4+4=8 不能构成三角形的情况。 七、三边关系的应用（六大题型） ◎ 题型一：判断三条线段能否构成三角形 ⭐ 重点 方法：取最长边，判断它是否小于另外两边之和。若小于，则能构成；否则不能。 例：判断 3cm、4cm、5cm 能否构成三角形。 解：最长边为5cm，3+4=7>5，∴ 能构成三角形（且为直角三角形）。 ◎ 题型二：已知两边，求第三边的取值范围 ⭐ 重点 方法：设第三边为x，由 |a-b| < x < a+b 求解。 例：已知三角形两边长为5和9，求第三边x的范围。 解：|5-9| < x < 5+9，即 4 < x < 14。 ∴ 第三边x的取值范围为 4 < x < 14。 ◎ 题型三：已知三角形周长为奇数/偶数，求边长 例：△ABC中，AB=5，AC=7，周长为偶数，求BC的最小值。 解：周长 = 5+7+BC = 12+BC 为偶数 → BC必须为偶数。 又由三边关系：|5-7| < BC < 5+7，即 2 < BC < 12。 BC为偶数且 >2，最小为4。 ∴ BC的最小值为4。 ◎ 题型四：等腰三角形边长问题（分类讨论） 例：等腰三角形一边长为6，另一边长为10，求周长。 解：分类讨论—— ① 6为腰：三边 6, 6, 10 → 验证 6+6>10 ✓ → 周长=22 ② 10为腰：三边 10, 10, 6 → 验证 10+6>10 ✓ → 周长=26 ∴ 周长为22或26。 ◎ 题型五：三角形边长的整数解问题 例：△ABC中，AB=3，AC=7，BC为整数，求BC的可能取值。 解：|3-7| < BC < 3+7，即 4 < BC < 10。 BC为整数 → BC = 5, 6, 7, 8, 9。共5种可能。 ◎ 题型六：实际生活中的应用 例：小明有两根小棒，长分别为4cm和7cm，他想再找一根小棒围成一个三角形，第三根小棒的长度范围是多少？ 解：设第三根小棒长为x cm。 由三边关系：|7-4| < x < 7+4，即 3 < x < 11。 ∴ 第三根小棒的长度范围是 3cm < x < 11cm。 八、典型例题精讲（8道） ◎ 【例1】判断下列线段能否构成三角形 （1）a=3cm, b=4cm, c=8cm （2）a=5cm, b=5cm, c=5cm （3）a=2cm, b=5cm, c=6cm 解： （1）最长边c=8，a+b=3+4=7 < 8，∴ 不能构成三角形。 （2）最长边=5，5+5>5 ✓，且三边相等，∴ 能构成等边三角形。 （3）最长边c=6，a+b=2+5=7 > 6 ✓，∴ 能构成三角形。 ◎ 【例2】已知三角形两边长为4和9，求第三边x的范围 解：由三边关系 |a-b| < x < a+b |4-9| < x < 4+9 5 < x < 13 ∴ 第三边x的取值范围为 5 < x < 13。 ◎ 【例3】等腰三角形周长为18cm，一边长为4cm，求各边长 解：分类讨论！ 情况一：4cm为腰长 另一腰=4cm，底边=18-4-4=10cm 验证：4+4=8 < 10 ✗（不满足三边关系！） ∴ 此情况舍去。 情况二：4cm为底边 腰长=(18-4)÷2=7cm 验证：7+7>4 ✓，7+4>7 ✓ ∴ 三边为 7cm, 7cm, 4cm。 ∴ 该等腰三角形三边长为 7cm、7cm、4cm。 ⚠ 注意 易错警示：情况一虽然算出了边长，但4+4=8<10，不能构成三角形，必须舍去！很多同学会漏掉验证这一步。 ◎ 【例4】△ABC中，AB=AC，周长为20cm，BD为AC边上的中线，△ABD与△BCD的周长差为3cm，求AB的长 解：设AB=AC=x，BC=y。 △ABD周长 = AB + BD + AD = x + BD + x/2 △BCD周长 = BC + BD + CD = y + BD + x/2 两式相减：|x - y| = 3 又 x + x + y = 20，即 2x + y = 20 情况一：x - y = 3 → 联2x+y=20 → 3x=23 → x=23/3 情况二：y - x = 3 → 联2x+y=20 → 3x=17 → x=17/3 验证：x=23/3≈7.67, y=14/3≈4.67 → 7.67+4.67>7.67 ✓ ∴ AB = 23/3 cm 或 17/3 cm。 ◎ 【例5】一个三角形的三边长均为整数，周长为15，且有一边长为5，求其余两边长 解：设其余两边为a和b，a ≤ b。 a + b + 5 = 15 → a + b = 10 由三边关系：|a-b| < 5 < a+b=10（后半自动满足） 即 |a-b| < 5，且 a+b=10，a ≤ b 枚举：a=1,b=9→|1-9|=8>5✗；a=2,b=8→6>5✗；a=3,b=7→4<5✓；a=4,b=6→2<5✓；a=5,b=5→0<5✓ 验证：3+5>7✓, 4+5>6✓, 5+5>5✓ ∴ 其余两边为 (3,7) 或 (4,6) 或 (5,5)。 ◎ 【例6】用一根36cm的铁丝围成一个等腰三角形，腰长是整数的情况下，能围成多少种不同的等腰三角形？ 解：设腰长为x cm，底边长为y cm。 2x + y = 36 → y = 36 - 2x 由三边关系：2x > y → 2x > 36-2x → 4x > 36 → x > 9 又 y > 0 → 36-2x > 0 → x < 18 ∴ 9 < x < 18，x为整数 → x = 10,11,12,13,14,15,16,17 对应 y = 16,14,12,10,8,6,4,2（均为正数 ✓） 验证：如x=10,y=16→10+10>16✓；x=17,y=2→17+2>17✓ ∴ 共能围成 8 种不同的等腰三角形。 ◎ 【例7】已知a、b、c为△ABC的三边长，化简 |a-b-c| + |b-c-a| + |c-a-b| 解：由三边关系： b+c > a → a-b-c < 0 → |a-b-c| = b+c-a c+a > b → b-c-a < 0 → |b-c-a| = c+a-b a+b > c → c-a-b < 0 → |c-a-b| = a+b-c 原式 = (b+c-a) + (c+a-b) + (a+b-c) = b+c-a + c+a-b + a+b-c = a + b + c ∴ 化简结果为 a + b + c（即三角形的周长）。 九、易错点与解题技巧 ◎ 1. 五大易错点 易错点 错误表现 正确做法 忘验证三边关系 算出边长直接写答案 必须验证 |a-b|<c<a+b 忽略分类讨论 等腰三角形只算一种情况 不确定哪边为腰时，需分类讨论 混淆边与角对应 把a当成∠A的邻边 边a是∠A的对边（BC） 周长奇偶判断错 忘记奇偶性约束 先列不等式，再结合奇偶/整数条件 绝对值化简出错 忽略三角形三边关系 先判断正负，再利用 a+b>c 去绝对值 ◎ 2. 解题技巧总结 💡 提示 技巧一：判断能否构成三角形，只验“最长边 < 另两边之和”，一步搞定。 💡 提示 技巧二：求第三边范围，用 |a-b| < x < a+b，注意是严格不等号（不能等于）。 💡 提示 技巧三：等腰三角形问题，不确定腰长时一定分类讨论，且每种情况都要验证三边关系。 💡 提示 技巧四：涉及绝对值化简，先利用三边关系判断正负，再去掉绝对值符号。 💡 提示 技巧五：周长固定求边长，列方程+不等式联立求解，注意整数/奇偶等附加条件。 ◎ 3. 记忆口诀 ⭐ 重点 三边关系口诀：两边之和大头（最长边），两边之差小头（最短差），第三边夹在中间走。 ⭐ 重点 判断口诀：最长边，比两腰，小于之和就能成；等于之和共线崩。 ⭐ 重点 等腰讨论口诀：不知腰底要讨论，算出结果要验证，两边之和大头边，差之毫厘也不行。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $