精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2026-2027学年高二上学期假期学习检测数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 假期学习检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据4，4，5，5，6，7，7，7，8，8的60%分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】应用百分位数定义计算求解. 【详解】样本数据4，4，5，5，6，7，7，7，8，8，， 所以样本的60%分位数为. 2. 设为虚数单位．若复数满足，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，解得，即， 即 ，则选项B正确. 3. 若为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的定义分析即可. 【详解】设为方向上的单位向量， 则，， 所以，可以推出， 不能推出，即. 4. 已知m，n为空间中不重合的直线，为不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合特例判断A；根据面面平行的性质判断B；根据面面垂直的性质判断C；根据面面的位置的关系判断D. 【详解】对于A，如下图，不一定平行，故A错误； 对于B，根据面面平行的性质，由，则，故B正确； 对于C，由，则或相交，故C错误； 对于D，由，则或相交，故D错误. 故选：B. 5. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，可得函数在上单调递减，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为对于任意的，且，都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 移项有，构造函数， 则，所以函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不符合题意； 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 6. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围. 【详解】由题意得 ， 由题意得在区间上单调递增， 由，则，结合 可得，解得， 当时，，要使得该函数取得一次最大值2， 故只需，解得； 综上所述，的取值范围为，故B正确. 7. 已知定义在上的函数和都是奇函数，当时，，若函数在区间上有且仅有个零点，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性确定函数的周期，将函数的零点问题转化为两函数的交点，最后通过数形结合求解出参数的值. 【详解】因为是奇函数，所以函数的图象关于点成中心对称， 即．又因为函数为奇函数，所以， 即，所以函数是周期为的周期函数． 由于函数为定义在上的奇函数，则，得． 又因为当时，， 所以，， 于是得出，．作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，函数与函数在区间上从左到右个交点的横坐标分别为，，，，，，，，，，第个交点的横坐标为．因此，实数的取值范围是， 故实数的最小值为． 故选：B． 8. 在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，作出球心，利用外接球半径，外接圆半径，可求得即可得到二面角的大小. 【详解】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心， ，，即， 所以在中点处，， ，， ，且在垂直平分线上， 所以， 三棱锥的外接球表面积为， ，， 又平面，平面，所以， 则，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以共面， 所以就是二面角的平面角， 或. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. A与B独立 B. B与C对立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A，，，且, 因为，所以与独立. 选项B，因为， ，所以与不对立. 选项C，. 选项D，. 10. 设的三个内角分别为A，B，C，重心为G，则（ ） A. 以的长度为边能构成三角形 B. 以的三条中线的长度为边能构成三角形 C. 以的长度为边能构成三角形 D. 若点G到的三边，，的距离分别为，则以的长度为边能构成三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过正弦定理、向量关系、三角形面积公式等分别判断各选项中元素能否构成三角形. 【详解】由正弦定理可知， 所以以的长度为边能构成三角形，故A正确， 设三条中线分别为AD，BE，CF，则有， 因为，所以，即三个向量可构成闭合回路， 所以以的三条中线AD，BE，CF的长度为边能构成三角形，故B正确， 显然当时，，故C错误， 因为，所以， 所以，所以以的长度为边能构成三角形，故D正确． 11. 已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意运用赋值代入法计算，结合函数的奇偶性、周期性逐一验证选项可得答案． 【详解】令，则，又， 所以，故A正确； 令，则，所以， 令，则，所以， 所以， 所以为偶函数，故B错误； 令，则成立，故C正确； 所以， 故，故的周期为2， 又，， 所以，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，四面体ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为，则MN的长为_________ 【答案】或 【解析】 【分析】取的中点，连接、，利用三角形中位线定理将异面直线、平移至中，结合余弦定理求解的长． 【详解】取的中点，连接、． 因为、分别为、的中点，所以为的中位线， 则，且． 同理，因为、分别为、的中点， 所以为的中位线，则，且． 因为，， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角． 又因为异面直线与所成角的大小为， 所以或． 在中，由余弦定理得：． 当时，， 解得； 当时，， 解得． 综上所述，的长为或． 13. 定义函数的“伴随向量”为，向量的“伴随函数”为.若向量的“伴随函数”满足，求________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题目条件换元构建新函数，利用三角恒等变换化简，最后结合正切函数的性质即可求出的值. 【详解】设 （显然 ），则， 由题意得：， 令 ，则 ，所以， 代入得： 左边分子分母同除以 得：， 令，即：， 则 ， 移项得，所以 故. 14. 如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用几何体的特征可知，利用割补法求出即可得答案. 【详解】由题意可知，, 设正四面体的棱长为6，则下部分可以看作一个直棱柱两端截去两个体积相同的四棱锥和，如图， 由题可知，,,; 由直棱柱的性质可知,所以的高为，且为四棱锥的高； , 棱长为6的正四面体高为，其体积为. 所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，，，为线段上的动点， （1）求三棱锥的体积； （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）三棱锥以为底面，高为，直接代入体积公式计算； （2）由得，计算和面积；利用等体积法，以 体积为媒介，求出点到平面的距离. 【小问1详解】 ， 易知的长即为三棱锥的高， 所以 ． 【小问2详解】 记点到平面的距离为， 由 ，， 由勾股定理，， 又平面，为直角三角形，则， 由（1）知. 16. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 【答案】（1） （2） （3）95克 【解析】 【分析】(1)根据频率之和为求得. (2)根据平均数的求法求得这批蜜桔的平均质量. (3)根据百分位数的求法求得合格品的质量的最小值. 【小问1详解】 频率分布直方图中所有矩形的面积之和等于1，各组的组距均为10. 因此. 整理得，解得. 【小问2详解】 各组组中值依次为， 对应频率依次为. 因此. 据此估计这批蜜桔的平均质量为91.5克. 【小问3详解】 由题意，次品为质量较轻的前55%的数据，合格品的最低质量对应样本数据的第55百分位数. 各组累计频率：区间累计频率为，区间累计频率为， 区间累计频率为，区间累计频率为. 因此第55百分位数位于区间内， 设该百分位数为，则. 解得，即合格品的质量应不低于95克. 17. 在中，设、、所对的边分别为、、，已知，且三角形外接圆半径为. （1）若的面积为，求的值； （2）设的外接圆圆心为，且满足，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角函数恒等变换公式对化简变形可求得，再利用正弦定理和二倍角公式对化简变形可得，由的面积为，可得，然后利用余弦定理可求出，从而可求得结果， （2）由可得，而，，再结合正弦定理可得，化简可求得结果 【详解】解：（1）中，由正弦定理可得， 所以可转化为， 又因为，所以， 所以， 整理得， 在中，则， 又因为， 所以； 由正弦定理得， 则 ， 又，所以， 又，得， 由余弦定理得，所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 又， ， 所以， 由正弦定理，所以，， 代入化简得，所以. 18. 某种器件由若干个相同的模块构成，每个模块由3个元件和2盏指示灯按如图方式联接. 已知元件正常工作的概率为，元件，正常工作的概率均为，若指示灯亮表示该指示灯所在线路能正常工作.线路是否正常工作仅由元件决定.指示灯是否正常对电路不影响. （1）记事件表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯亮”，若时， ①求； ②求一个模块中恰好有一个指示灯亮的概率； （2）该器件由上述2个相互独立的模块构成，只有在器件中至少有一个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作.若该器件中再添加2个模块，构成新的器件（共4个模块），新器件至少有2个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作，试比较新器件与原器件正常工作的概率，并说明理由. 【答案】（1）①，； ②； （2）新器件正常工作的概率小于原器件正常工作的概率.理由如下： 设每个模块中指示灯b亮的概率为q，则，由0 < p < 1，得， 原器件：由2个独立模块构成，正常工作需至少一个模块指示灯 ( b ) 亮， 原器件正常工作的概率为， 新器件：由4个独立模块构成，正常工作需至少2个模块指示灯 ( b ) 亮， 新器件正常工作的概率为， 因此， 而，则，，即， 所以新器件正常工作的概率小于原器件正常工作的概率. 【解析】 【分析】（1）①根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式列式计算；②将所求概率的事件分拆成相互独立事件的积，再利用公式求出概率. （2）根据给定条件，求出新旧器件正常工作的概率，再作差比较大小即得. 【小问1详解】 记事件表示元件正常工作，， ① ， . ②恰好一个指示灯亮的唯一可能情况是 ( a ) 不亮而 ( b ) 亮，即正常、 异常、 正常， 记事件C表示“一个模块中恰好有一个指示灯亮”， 因此：. 【小问2详解】 略 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A，B，C为球面上三点，设表示以O为圆心且过A，B的圆，表示以O为圆心且过B，C的圆，表示以O为圆心且过A，C的圆，由圆的劣弧围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角分别为，则球面三角形的面积为（R为球半径）．已知． （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若平面三角形为直角三角形，，设．则： ①求证：； ②延长与球O交于点D．若直线与平面所成的角分别为，S为中点，T为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值以及此时平面截球O的截面面积． 【答案】（1） （2）①证明：由余弦定理有：，且， 消掉，可得； ②的最小值为，截面面积为 【解析】 【分析】（1）根据垂直可得，即可代入公式求解， （2）①由余弦定理求解边长，结合勾股定理即可化简求解；②根据球的性质可得线线垂直，进而可证明平面，即可建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用向量的夹角公式，得，结合换元以及基本不等式即可求解的最大值得解，利用点面距离的向量法公式求解球心O到平面距离，即可利用勾股定理求解截面圆半径得解. 【小问1详解】 若平面两两垂直，有， 所以球面三角形面积为． 【小问2详解】 ①略 ②由是球的直径，则， 且，平面， 所以平面，且平面，则， 且，平面，可得平面， 由直线与平面所成的角分别为，所以， 由于，则， 由， 以C为坐标原点，以所在直线为x，y轴， 过点C作的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 可得， 则 设平面法向量，则， 取，则，可得， 设平面法向量，则， 取，则，可得， 要使取最小值时，则取最大值， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当取等，则取最大值，为最小值， 此时点，可得， 设平面中的法向量，则， 取，则，可得， , 可得球心O到平面距离为， 设平面截球O圆的半径为r，则， 所以截面圆面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 假期学习检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据4，4，5，5，6，7，7，7，8，8的60%分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 设为虚数单位．若复数满足，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 若为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知m，n为空间中不重合的直线，为不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数和都是奇函数，当时，，若函数在区间上有且仅有个零点，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. A与B独立 B. B与C对立 C. D. 10. 设的三个内角分别为A，B，C，重心为G，则（ ） A. 以的长度为边能构成三角形 B. 以的三条中线的长度为边能构成三角形 C. 以的长度为边能构成三角形 D. 若点G到的三边，，的距离分别为，则以的长度为边能构成三角形 11. 已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，四面体ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为，则MN的长为_________ 13. 定义函数的“伴随向量”为，向量的“伴随函数”为.若向量的“伴随函数”满足，求________. 14. 如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，，，为线段上的动点， （1）求三棱锥的体积； （2）若，求点到平面的距离． 16. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 17. 在中，设、、所对的边分别为、、，已知，且三角形外接圆半径为. （1）若的面积为，求的值； （2）设的外接圆圆心为，且满足，求的值. 18. 某种器件由若干个相同的模块构成，每个模块由3个元件和2盏指示灯按如图方式联接. 已知元件正常工作的概率为，元件，正常工作的概率均为，若指示灯亮表示该指示灯所在线路能正常工作.线路是否正常工作仅由元件决定.指示灯是否正常对电路不影响. （1）记事件表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯亮”，若时， ①求； ②求一个模块中恰好有一个指示灯亮的概率； （2）该器件由上述2个相互独立的模块构成，只有在器件中至少有一个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作.若该器件中再添加2个模块，构成新的器件（共4个模块），新器件至少有2个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作，试比较新器件与原器件正常工作的概率，并说明理由. 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A，B，C为球面上三点，设表示以O为圆心且过A，B的圆，表示以O为圆心且过B，C的圆，表示以O为圆心且过A，C的圆，由圆的劣弧围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角分别为，则球面三角形的面积为（R为球半径）．已知． （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若平面三角形为直角三角形，，设．则： ①求证：； ②延长与球O交于点D．若直线与平面所成的角分别为，S为中点，T为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值以及此时平面截球O的截面面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $