3.5 图形的位似课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦位似图形核心概念，通过基础识别、中档计算到提升应用的三层设计，构建“概念理解—性质应用—综合探究”的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|位似图形识别、概念辨析|单选1-5题结合墨子小孔成像等情境，强化几何直观| |中档|位似比计算、坐标变换|填空11-13题关联网格与坐标系，提升空间观念| |提升|综合应用与拓展|解答18-19题融合旋转位似与实际作图，发展推理能力|

3.5 图形的位似 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列图形中，不含有位似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 3．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 4．若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（    ） A．每对对应点所在的直线相交于同一点 B．两个图形上的对应线段必平行 C．两个图形上的对应线段之比等于相似比 D．两个图形的面积之比等于相似比的平方 5．如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 6．以为位似中心，画出一个矩形，使得所画的矩形与矩形位似，且位似比为，则所画的矩形可以是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 7．如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 9．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若的周长表示为，则的周长表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 12．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．以坐标原点O为位似中心，将放大，记所得三角形为，若点A的对应点的纵坐标为，求点的横坐标为___________． 13．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________． 14．如图，正方形的两边分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为位似中心的位似图形．已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的位似比是_____________． 15．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为________． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．请你以原点为位似中心，画出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），使得与的相似比为，且点、在轴的下方． 17．如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 18．若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”． (1)知识理解：如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，则__________； ②若，则__________； (2)知识运用：如图②，在四边形中，于点，求证：与互为“旋转位似图形”． 19．阅读与思考 下面是某兴趣小组的一次实践活动记录： 兴趣小组札记 今天，在数学兴趣小组开展的活动中，小华给每位同学发了一张扇形纸片，并要求大家按照下面的做法画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径，和上． 小李的做法如下：如图1，先在扇形内画出正方形，使得C，D两点在上，点F在上，连接并延长交于点G，过点G分别作于点J，交于点H，再作于点I．    (1)猜想证明：请问小李画出的四边形是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由． (2)实践操作：如图2，给定锐角三角形，画出一个长宽比为的矩形，使得点D，E位于边上，点F，G分别位于边，上． 20．在如图所示的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置． (2)已知的面积为，则的面积为___________． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B C C A B D A 1．【答案】C 【知识点】位似图形的识别 【分析】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，、、三个图形中的两个图形都是位似图形；中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形． 故选：． 【点睛】此题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 2．【答案】B 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，从而得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：OD=18， 故选：B． 3．【答案】D 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键． 根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：D． 4．【答案】B 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式．根据位似图形的性质，对各选项依次分析可得答案． 【详解】解：A、每对对应点所在的直线相交于同一点，故本选项不符合题意； B、两个图形上的对应线段可能平行，也可能共线，故本选项符合题意； C、根据相似的性质，两个位似的图形上的对应线段之比等于位似比，故本选项不符合题意； D、根据相似的性质，两个图形的面积比等于位似比的平方，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵对应点的连线交于点， 点为位似中心， 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】分别连接并延长，，，，即可根据位似的性质判断． 【详解】解：分别连接并延长，，，，根据图形可得只有③中矩形的各点在延长线上，如图：    故选：C． 【点睛】本题考查的是位似的性质，根据位似中心和能代表原图的关键点画出符合条件的位似图形是解题的关键． 7．【答案】A 【知识点】求位似图形的对应坐标 【详解】∵是的位似图形，位似中心为点，位似比为， ∵如图，点的对应点为在第四象限， ∴的坐标为，即． 8．【答案】B 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、利用相似三角形的性质求解 【分析】首先得到，，然后由位似的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 9．【答案】D 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 10．【答案】A 【知识点】求两个位似图形的相似比、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】先根据位似中心的性质，求出两三角形的位似比，然后根据相似三角形的周长之比等于位似比解答即可． 本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键． 【详解】解：∵，，与位似，原点是位似中心． ∴位似比为， ∵的周长表示为，则的周长表示为． 故选：A． 11．【答案】 【知识点】位似图形的识别 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【详解】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 12．【答案】6 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向和扩大的倍数． 【详解】解：∵三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，将这个三角形放大后点A的对应点的纵坐标为，即， ∴点的横坐标为． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点．连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心． 【详解】解：连接，，易得交点为． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】延长交于点，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的位似比． 【详解】解：延长交于点，如图： 在正方形中，， 点的坐标为， ． 由题意可知，， 根据题意可得， 正方形与正方形的位似比是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长． 15．【答案】 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】根据A，的坐标求出位似比，即可求出的长． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为， ∴五边形，的位似比为， ∴， ∴． 16．【答案】 解：如图所示，即为所求． 【知识点】在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查画位似图形，根据位似图形的性质找到对应点，然后顺次连接即可画得图形． 【详解】略 17．【答案】①是位似图形，位似中心是点A；②是位似图形，位似中心是点P；③不是位似图形；④是位似图形，位似中心是点O；⑤不是位似图形 【知识点】位似图形的识别、判断位似中心 【分析】根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是位似图形，位似中心是点A； ②是位似图形，位似中心是点P； ③不是位似图形； ④是位似图形，位似中心是点O； ⑤不是位似图形． 【点睛】本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念． 18．【答案】(1) ； (2) 证明：， ， ，即， 又， ， ， 又， ， ， ， 绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形， 和互为“旋转位似图形”． 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了位似图形的判定和性质， 对于（1），根据位似图形的对应角相等得出①的答案；再根据位似图形的对应边成比例得出答案； 对于（2），先说明，可得，再说明，进而得出，最后根据“旋转位似图形”定义得出答案. 【详解】（1）解：①和互为“旋转位似图形”， 又 ②， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 19．【答案】(1) 解：四边形是正方形，理由是： ，，， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形，边与矩形的边在同一条直线上， ∴，，，， ，， ，． ，． ． 又， ． 四边形是正方形； (2) 矩形即为所求：    【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由作法可得四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，由于四边形为正方形，所以四边形是正方形； （2）先在内画出矩形，使得H，I两点在上，点K在上，连接并延长交于点F，过点F分别作于点E，交于点G，再作于点D． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 20．【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 【知识点】求两个位似图形的相似比、判断位似中心 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——位似，掌握位似图形的特点是解题的关键． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）根据勾股定理求出、，进而得到与的位似比为，推出与的面积比为，即可求解． 【详解】（1）略 （2） ，， ， 与的位似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $