3.4 相似三角形的性质课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以相似三角形性质为核心，整合判定、计算、实际应用及动态问题，通过分类题型提炼相似比转化、方程思想等方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链，培养数学眼光与思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质基础应用|单选1-5题|相似比直接应用（中线/周长/面积比）|从对应线段比到周长/面积比的性质推导| |判定与性质综合|单选3/4/17题|两角对应相等判定+性质综合应用|判定定理与性质结合的逻辑推理| |实际应用与跨学科|单选6/7/8/14/20题|构造相似解决测量/古算/物理成像问题|数学建模解决现实问题的应用拓展| |动态与折叠问题|单选10/填空12/13题|分类讨论+函数图像分析动态过程|几何变换与动态问题的综合思维|

3.4 相似三角形的性质 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 2．若与的相似比是，则它们对应中线的比是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，与相交于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．中，，分别是，的中点，．下面四个结论：①；②；③的面积与的面积之比为；④的周长与的周长之比为，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，在中，，，，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 6．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度米，该古城墙的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．米 D．米 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 8．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高为，则小孔到的距离为（    ）    A． B． C． D． 9．如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为（    ） A．3 B．4 C． D． 10．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止，点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长度为，y与t的函数图象如图2所示，当恰好平分时t的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．两个相似三角形的一对对应边分别是，它们周长相差，则较小三角形的周长为___________． 12．如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为______． 13．如图，将矩形纸片（）沿过点B的直线折叠，使点A落在边的点E处，折痕为，再沿过点E的直线折叠，使点C落在线段上的点G处．作射线交矩形的边于点P，若，，则线段的长为________． 14．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是______． 15．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点．若H恰好为的中点，则的长为____________．    三、解答题 16．如图，在中，，在上求作点，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法） 17．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．如图，已知正方形纸片的边长为，将正方形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与点，不重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点．当点位于中点时，与周长的比是多少？ 19．在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 20．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C D C A A B D 1．【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【详解】∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 2．【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，若两个三角形相似，则它们对应中线的比等于相似比，根据题意即可得到答案，熟记相似三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解： 与的相似比是， 它们对应中线的比等于相似比为， 故选：A． 3．【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 先证明，再由推出，再由共高三角形面积比等于底之比求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 4．【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．根据题意做出图形，点、分别是、的中点，可得，，则可证得，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得的面积与的面积之比为，然后由三角形的周长比等于相似比，证得的周长与的周长之比为，选出正确的结论即可． 【详解】解：在中，、分别是、的中点，如图， ∴，， ∴，故正确； ∵，， 的面积与的面积之比为，故正确； 的周长与的周长之比为，故错误． 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方式解题关键．由，证明，则，即与的面积比是，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴与的面积比是， 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题意得到，由光的反射定律可知，则可证明，得到，据此代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由光的反射定律可知， ∴， ∴，即， ∴米， 故选：C． 7．【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【详解】解： ，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 8．【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后代入数据计算即可．解题的关键是利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：由题意知：，，， ∴ 由， ∴， ∴， 由， ∴， ∴， ①+②，得：， ∵，， ∴， ∴， ∴小孔到的距离为． 故选：A． 9．【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据题意得∠AOB＝∠BOC＝360°÷12＝30°，设AB＝x，利用特殊角的三角函数值可求得，，再根据三角形①的面积是3可得，最后再利用特殊角的三角函数值可求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图，根据题意得：∠AOB＝∠BOC＝360°÷12＝30°， 设AB＝x， ∵在中，，， ∴，， ∴，， ∵三角形①的面积是3， ∴， 整理得：， ∵在中，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的相关知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 10．【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据图像可知，到是4秒，到是4秒，得到，进而算出每个角的度数，可知，根据相似三角形的性质，可算出每段长，最后可得答案． 本题考查了动点问题，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，证明相似三角形是解题关键． 【详解】解：如图，作的平分线， 由图2可知，， ， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 11．【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的周长比等于相似比，由对应边长度求出相似比，再根据周长差列方程求解即可． 【详解】解：两个相似三角形的对应边分别为和， 则相似比为． 故两个三角形的周长比为． 设较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为 ．由题意， ， 解得． 故较小三角形的周长为． 故答案为：． 12．【答案】或． 【知识点】含30度角的直角三角形、相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形 【分析】先利用30º角直角三角形的性质求出斜边AB=4，再由勾股定理求直角边BC=2，当PA′∥AC和PA′⊥AB时两种情况证明三角形相似，利用相似，列出比例构造方程，求出AP即可 【详解】解：在中，，，， ，， ∵将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处， ∴AP=A′P， 设． ①如图1中，当PA′∥AC时， ，， ， ， ， ， ∴； ②如图2中，当PA′⊥AB时， ，， ∴， ， ， ， ∴， 综上所述，满足条件的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形的性质，和相似三角形的判定方法，会利用相似三角形的性质构造方程，利用方程解决问题是关键 13．【答案】或6 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质与判定证明 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，折叠的性质，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，合理运用分类谈论思想进行解答． 根据是矩形和折叠性质证出四边形为正方形，四边形为矩形，从而得出．设，则，．分两种情况讨论：①点P落在边上，如图1所示，则，证明，根据相似三角形的性质即可解答；②点P落在边上，如图2所示，则，，证明，根据相似三角形的性质即可解答； 【详解】解：根据是矩形可得， 根据折叠可得：， ∴四边形为正方形，， ∴四边形为矩形． ． 设，则，． 分两种情况讨论． ①点P落在边上，如图1所示， 则． ， ． ， 即， 解得：（负值已舍去）． 则． ②点P落在边上，如图2所示， 则，． ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）． 则． 综上所述，线段的长为或6． 14．【答案】2 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，利用相似三角形的性质，将物理中的成像规律转化为数学中的几何比例关系解答即可． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2． 15．【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】连接，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示，    由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴． 16．【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，作垂线；根据相似三角形的性质作作即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 作图理由：∵，， ∴， 又∵， ∴ ． 17．【答案】(1) 证明：， ； (2) 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由两组对应角相等的三角形相似直接判定即可得到答案； （2）由（1）中得到，代入值计算即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ， ∴， ． 18．【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了相似三角形的周长与面积的性质，熟练掌握相似三角形的周长与面积的性质是解题的关键. 根据正方形的性质得到角为直角，再根据折叠的性质得到角相等，进而判定三角形相似，设，根据条件可得到关于的等式，根据相似比即可求得周长比. 【详解】解：如图，四边形是正方形， ， ． 由折叠可知，， ， ， ． 设，则． 由折叠可知，． 是中点， ． ， ， 即， 解得， ． ， ， 与周长的比为． 故答案为：． 19．【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】（1）解：由题意得， 则， ∴的面积为； （2）解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； （3）解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 20．【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【知识点】相似三角形实际应用、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $