3.4相似三角形的性质 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级数学（上）§3.4相似三角形的性质同步练习，以基础巩固-中档应用-综合探究分层，覆盖性质从单一到综合应用，培养推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|对应角、边、高、面积比等单一性质|选择1-8、填空11-13直接考查概念，如第8题锐角三角函数与相似关系| |中档|性质应用与简单证明|选择9-10、填空14-15、解答16-20结合图形变换（如翻折）与实际测量（如影长）| |提升|跨情境综合探究|解答21-22融合四边形、动态问题，如第22题正方形中相似与中心性质，体现创新意识|

【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §3.4相似三角形的性质 一、选择题（每小题3分共30分） 1.(本题3分)如图，△ABC∽△DEF,且∠A=83°，则∠D的度数是( F∠ A.37° B.83° C.120° D.60° 2.(本题3分)如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE∥BC,若AD:DB=2:3, AC=20 CE ,则的长为() D A.12 B.9 C.6 D.4.5 3.(本题3分)如图，平行四边形ABCD中，AB=9,AD=6,点B,F分别在AD,AB上，若DE=3, △BCFADCE F=() ,则 4 A.1 B.2 C.4 D.5 4.(本题3分)如图所示，在小孔成像问题中，若点O到AB的距离是21cm,O到CD的距离是7cm, 则物体AB的长是像CD长的( ) 1 1 A.2倍 B.3倍 C.2倍 D.3倍 5.(本题3分)某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m,影长 是lm,旗杆的影长是8m,则旗杆的高度是( A.12m B.11m c.10m D.9m 6.(本☏3分)如图，在△1BC中，若点D、E分别是B、4C的中点，S S△ADE=1SA4BC= ，则 A.2 B.3 C.4 D.6 7.(本题3分)如图，在△ABC中，点DB分别在AB、AC上，且DE∥BC,那么下列比例式中不成 立的是() D AD AE AD DE AD AE AD DE A.DBEC B.DB BC C.AB AC D.AB BC 8.(本题3分)如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值 A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的2 C.没有变化 D.不能确定 9.(本题3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ADE沿DE翻折 后，点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为( B A.1 B.6 C.4 D.2 1O.(本题3分)如图，BD,CE分别是△ABC的中线，BD与CE相交于点O,点MW分别在BO,CO上， 四边形EMND是平行四边形.若BD=6,则BM的长度为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分共15分） 11.(本题3分)两个相似三角形面积比为1：4，则对应高的比为 12.(本题3分)如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=4,AB=10,DE=3,则BC的长度为 D E B 13.(本题3分)小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度，如图，将标杆底端和旗杆影子项端重合，己知 标杆AB=1.5m,测得标杆的影长BC=lm,旗杆的影长BE=8m,则旗杆的高DE=m. D DE 1 SADE= 14.(本题3分)如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE∥BC,若BC2,则SBc 15.(本题3分)如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F,CD=2DE.若 △DEF的面积为l,则口ABCD的面积为_一一一 4 B 三、解答题（共55分） 16.(本题6分)如图，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE=∠C,若AB=9,AD=2,AC=6,求 AE的长. D 17.(本题7分)如图，在△ABC中，D为边AC上一点，∠DBC=∠A D A (1)求证：△BDCP△ABC: (2)若CD=1,AC=4,求BC的长. 18,(本腿8分)如图，在△MC中，点D是B上一点，且4D=1,B=3,4C=5 o o (1)求证：△ACD∽△ABC: CD=5 、BC (2)若 ,求的长 19.（本题8分)如图，在△ABC中，D为BC上一点，点E在AD上，连接BE,BE=BD,∠BAE=∠C (1)求证：△AEBP△CDA, (2)若AE=4,BE=6,CD=8,求DE的长. 20.(本题8分)如图，a∥b∥C,直线mn与a、b、c分别相交于点ABC和点DRR D E b m n (1)若AB=3,BC=5,DE=4,求EF的长： (2)若AB:BC=2:5,AD=9,CF=14,求BE的长. 21.(本题9分)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 A F 图1 图2 图3 DE (1)如图1，在正方形ABCD中，点区F分别是AB,AD上的两点，连接DE'CF,DE⊥CF,则CF 的值为 (2如图2，在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE⊥BD,则 CE BD的值为 【类比探究】 (③)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=9O°，点B为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂线交ED 的延长线于点G,交AD的延长线于点R,求证：DE·AB=CF·AD. 22.(本题9分)天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： .O 图1 图2 图3 (1)问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP,以AP为边作等边△APO, 连接CQ.求证：BP=CQ, (2)变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC,点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APO, 使AP=PO,∠APO=∠ABC,连接CO.判断LABC和∠ACO的数量关系，并说明理由： (3)解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF,Q是正方形 PEF的中心，连接C2.若正方形4PEF的边长为6，C0=2 2,求正方形MDBC的边长. 【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §3.4相似三角形的性质 一、选择题（每小题3分共30分） 1.(本题3分)如图，△ABC∽△DEF,且∠A=83°，则∠D的度数是( E∠ A.37° B.83° C.120° D.60° 解：，△ABC∽△DEF .∠D=∠A=83°.故选：B 2.(本题3分)如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE∥BC,若AD:DB=2:3, AC=20 CE ,则的长为() D E B A.12 B.9 C.6 D.4.5 解：DE BC ∴△ADE∽△ABC. AE AD AC AB' AD 2 DB3 、AD2 AB5 AE AD 2 ‘ACAB5, AC=20. 4E=24C=2×20=8 ∴.EC=AC-AE=20-8=12 故选：A. 3.(本题3分)如图，平行四边形ABCD中，AB=9,AD=6,点B,F分别在AD,AB上，若DE=3, ABCF△DC ,则BF=() A.1 B.2 C.4 D.5 解：：四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD=6,CD=AB=9、 ,△BCFADCE, BF BC BF 6 ·DEDC,即3=9， 解得BF=2, 故答案为：B. 4.(本题3分)如图所示，在小孔成像问题中，若点O到AB的距离是21cm,O到CD的距离是7cm, 则物体AB的长是像CD长的( ) 1 A.2倍 B.3倍 c.倍 D.3倍 解：，AB‖CD ∴∠A=∠D,∠B=∠C .△ABO∽△DCO 故选：B. 5.（本题3分)某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m,影长 是lm,旗杆的影长是8m,则旗杆的高度是( A.12m B.11m c.10m D.9m 解：设旗杆高度为h米， ,身高：影长=旗杆高：旗杆影长， 1.5h .18 ∴.h=1.5×8=12m, ∴.旗杆高12m 故选：A. 6.(本题3分)如图，在△1BC中，若点D、E分别是B、4C的中点.Sacl,则Sc ,则 D A.2 B.3 C.4 D.6 解：点D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， DE 1 :DE//BC BC2, ∴.△ADE∽AABC DE 1 S。ABC BC 4， S.ADE =1 .S.ABC= ·故选：C 7.(本题3分)如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC,那么下列比例式中不成 立的是() D B AD AE AD DE AD AE AD DE A.DB EC B.DB BC C.ABAC D. AB BC 解：：DE∥BC AD AE AD AE DB EC AB AC 故A,C正确 .DE∥BC .△ADE-△ABC AD DE ·ABBC,故D正确， AD DE DBBC不一定成立， 故选：B 8.(本题3分)如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值 ) A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的2 C.没有变化 D.不能确定 解：·一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍， 设新三角形为△A'B'C', .△ABC∽△AB'C, ·∠A=∠A, ∴.锐角A的正弦值没有变化， 故选：C 9.(本题3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ADE沿DE翻折 后，点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为( D A A.1 B.6 C.4 D.2 解：·将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A'处， A'E=AE ∠AED=∠AED=)×180°=909 A为CE的中点， .A'E=A'C. 1 A'C=A'E=AE=AC, 3 AE 1 .AC3. ∠C=∠AED=90°， ∴.DE∥BC. .△ADE-△ABC, DE AE 1 .BC AC 3, DE 1 ∴63： .DE=2.故选：D 1O.(本题3分)如图，BD,CE分别是△ABC的中线，BD与CE相交于点Q,点MN分别在BO,CO上， 四边形EMND是平行四边形.若BD=6,则BM的长度为() E M B A.1 B.2 c.3 D.4 解：，BD,CE分别是边AC,AB上的中线， ,DE是△ABC的中位线， ·DE∥BC, DE=1BC 2 .四边形EMND是平行四边形，∴.MN=DE,MO=DO,MN∥DE, EMN三2 BC.MN /BC,NOUAORC OM MN 1 .OBBC2,∴.BM=OM=D0, BM=3BD=2.故选：B 3 二、填空题（每小题3分共15分） 11.(本题3分)两个相似三角形面积比为1：4，则对应高的比为 解：~两个相似三角形的面积之比为1：4， ·两个相似三角形的相似比为1：2， 这两个三角形对应高比为1：2. 12.(本题3分)如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=4,AB=10,DE=3,则BC的长度为 解：DE∥BC, .△ADE-△ABC, AD DE .ABBC· AD=4,AB=10,DE=3 43 .10BC, 解得：BC=7.5 故答案为：7.5 13.(本题3分)小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度.如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知 标杆AB=1.5m,测得标杆的影长BC=lm,旗杆的影长BE=8m,则旗杆的高DE=_m. B 解：AB⊥CE, DE⊥CE. .∠ABE=∠DEB=90°， :AC∥BD ·∠ACB=∠DBE, △ABCn△DEB AB BC DE BE 1.51 DE 8' 解得DE=12(m). 故答案为：12. DE 1 SADE= 14.(本题3分)如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE∥BC,若BC2,则SAc 解：DE∥BC, .△ADE~△ABC, SAADE :.SAABC 日 故答案为：4. 15.(本题3分)如图，口ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F,CD=2DE.若 △DEF的面积为1，则口ABCD的面积为 F 解：：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD,ADBC, CD=2DE. DEDE 1 DE 1 AB CD2 CE=CD+DE=3DE CE3 :AB∥DE, ∠E=∠ABF,∠EDF=∠A, .ADEF△ABF, (-份. S.DEF=1 .S△MBr=4 DF∥BC, .∠EFD=∠EBC,∠EDF=∠C, ∴.△DEF∽ACEB, -周 .S.CEB=9 S四边形DFsc=S.cEB-S.DEr=9-1=8 一S平行四边形CD=SABF+S边形DFBC=4+8=12 三、解答题（共55分） 16.(本题6分)如图，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE=∠C,若AB=9,AD=2,AC=6,求 AE的长. D E B 解：：∠DAE=∠CAB,∠ADE=∠C, .∴.△DAE∽△CAB AD AE 。 AC AB' AB=9,AD=2,AC=6, 、2AE …6=9, .AE=3」 17.(本题7分)如图，在△ABC中，D为边AC上一点，∠DBC=∠A, (1)求证：△BDCn△ABC: (2)若CD=1,AC=4,求BC的长. (1)证明：·∠DBC=∠A,∠BCD=∠ACB ,△BDC一△ABC: (2)解：由(1)知△BDC△ABC, BC DC ·ACBC' CD=1,AC=4, BC 1 4=BC, ∴BC=V4=2 18,(本题8分)如图，在△1BC中，点D是B上一点，且AD=,4B=3,4C=5 D B (1)求证：△ACD∽△ABC: ②若CD=5,求BC的长 证明：()AD=1,AB=3AC=5 AD 13 AC3 :AC5=3,AB3, AD AC AC AB' ∠A=∠A, ,△ACD∽△ABC 解(2)：，△ACD∽△ABC, CD AC 53 BCAB,即BC=3, BC=15 19.(本题8分)如图，在△ABC中，D为BC上一点，点E在AD上，连接BE,BE=BD,∠BAE=∠C E D (1)求证：△AEB∽△CDA (②)若AE=4,BE=6,CD=8,求DE的长. (1)证明：BE=BD, ∴.∠BED=∠BDE, .∠AEB=∠I80°-∠BED、∠ADC=180°-∠BDE, .∠AEB=∠ADC. ∠BAE=LC, .△AEB∽△CDA: (2)解：'△AEB∽aCDA, AEBE CD AD' :4D-CDaE_8x6=12, AE 4 ∴.DE=AD-AE=8 20.(本题8分)如图，a∥b∥c,直线mn与abc分别相交于点AB、C和点D、及F. D B E b m (1)若AB=3,BC=5,DE=4,求F的长； (②)若AB:BC=2:5,AD=9,CF=14,求BE的长. AB DE (1)解：a∥b∥c,.BCEF, AB=3,BC=5,DE=4, ·5E,EF=20 34 3: (2)解：过点A作AH∥DF交BE于点G,交CF于点H, D a E b m a∥b∥c, :四边形ADEG,ADFH均为平行四边形， .EG=AD=9,FH=AD=9. CF=14. CH=5, b∥c, ∴.△ABG∽△ACH, AB BG .BC CH AB:BC=2:5, 2 BG 55, 解得BG=2, ∴.BE=BG+EG=11 21.(本题9分)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 G 图1 图2 图3 DE (1)如图1，在正方形ABCD中，点BF分别是AB’AD上的两点，连接DE?CF,DE⊥CF,则CF 的值为 (2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE⊥BD,则 CE BD的值为 【类比探究】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂线交ED 的延长线于点G,交AD的延长线于点R,求证：DE·AB=CF·AD (1)解：，正方形ABCD .∠A=∠ADC=90°.AD=CD」 .∠AED+∠ADE=90°， .DE⊥CF .∠DFC+∠ADE=90°， .∠AED=∠DFC △AED≌△DFC(AAS) .DE=CF. DE :CF =1 (2)解：设DB与CE交于点G, E D B ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠EDC=90°，即LADB+LCDG=90°， .·CE⊥BD ∴∠DGC=90° ,∠CDG+∠ECD=90°， ∴.∠ECD=∠ADB .△DEC∽△ABD CE DC 4 ·BDAD7· (3)证明：过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H, .CG⊥EG .∠G=∠H=∠A=∠B=90°， 四边形ABCH为矩形， .AB=CH,∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°， .∠CFH=∠DFG .∠FCH=∠FDG=∠ADE, ∴.△DEA∽△CFH. DE AD ∴.CFCH· DE=AD .CF AB' 即DE·AB=CF,AD 22.(本题9分)天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： A B B∠ P 图1 图2 图3 (1)问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP,以AP为边作等边△APP, 连接CO.求证：BP=CO: (2)变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC,点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APO, 使AP=PO,∠APD=∠ABC,连接CO.判断∠ABC和∠ACO的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF,Q是正方形 MPEF的中心，述接C0.若正方形4PEF的边长为6.C0=25, 求正方形MD8C的边长. (1)证明：：△ABC和△APO都是等边三角形， .AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ=60°， .∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC,即∠BAP=∠CAQ, 在△ABP和△ACQ中， AB=AC ∠BAP=∠CAQ AP=AO △ABP≌△ACQ(SAS) .BP=CO (②)解：∠ABC=∠ACO,理由如下： .AB=BC,AP=PO, .∠BAC=∠BCA,∠PAQ=∠PQA .∠APQ=∠ABC .180°-∠APO=180°-∠ABC,即∠BAC+∠BCA=∠PA0+∠PQA, .2∠BAC=2∠PAQ, .∠BAC=∠BCA=∠PAQ=∠PQA, .△ABC6AP2, AB AC ·APAQ AB AP :AC AO' 又：∠BAC=∠PAQ. .∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC,即LBAP=∠CAg, .△ABP∽aACQ, ∴.∠ABC=∠ACQ (3)2+V14 (3)解：如图，连接AB,AE, D A ○ B ,四边形ADBC是正方形， :∠ACB=90°，AC=BC,AB=VAC2+BC-V2AC,∠BAC=450 ,正方形APEF的边长为6， :AP=PE=6,∠PAE=45°，∠APE=90°，AE=VAP+PE=6N2 ,O是正方形APEF的中心， “点0在E上，40=4E=35】 2 .∠PAQ=45°=∠BAC .∠BAC-∠PAC=∠PA0-∠PAC,即LBAP=∠CAg, 又是-点，65 AC AB AP :AC AO' .△ABPAACO, BP AB= ·CQAC ·C0=22 BP .22 =2, .BP=4, 设CP=(x>0),则AC=BC=CP+BP=x+4, 在Ra1CP中，AC2+CP2=AP,即+4'+=6 解得=-2+或=-2-4<0（不符合题盒，合去）， :1C=x+4=-2+4+4=2+4 即正方形ADBC的边长为2+V14