专题02 相似三角形的性质（题型专练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以题型为载体，系统提炼相似三角形性质应用的思维路径与操作规范，构建从基础证明到坐标、网格综合应用的逻辑体系，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明线段成比例|1典例+3变式|待证线段比→找含线段三角形→证相似得比例|以相似三角形对应线段性质为基础，强调“对应”前提| |性质求解|1典例+3变式|知边求积：相似比k→面积比k²；知积求边：面积比开方得k|建立相似比与面积比的数量关系，强化平方关系理解| |坐标求解|1典例+3变式|平行轴型：横纵距离比=k；原点位似型：坐标比=k|结合坐标系特征，将几何相似转化为代数坐标关系| |网格作图|1典例+3变式|网格边长分析→比例k构造→格点定位|利用网格直观性，将相似判定转化为边长比例操作| |判定与性质综合|1典例+3变式|先证相似（AA/SAS/SSS）→再用性质（比例/面积）|融合判定与性质，形成“证相似→用性质”的完整逻辑链|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02相似三角形的性质 (题型突破举一反三) 目录 题型01证明三角形的对应线段成比例 题型02利用相似三角形的性质求解 题型03利用相似求坐标 题型04在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型05相似三角形的判定与性质综合 1题型01证明三角形的对应线段成比例 典例精析 【典例1】【答案】B 举一反三 【变式1-1】【答案】C 故选：C 【变式1-2】 【答案】(1) 证明：：∠C=90°， ∠A+∠ABC=90° .BD⊥AB, .∠ABD=90° .∠EBD+∠ABC=90° ∴.∠A=∠EBD DE⊥BC, .∠BED=90° ∴.∠C=∠BED 1/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABC∽aBDE. (2).△ABCP△BDE, AC BE AB BD' :AB=5,AC=2,BD=4, 2 BE 54 .BE=1.6 【变式1-3】 【答案】(I)证明：在菱形ABCD中， .AD//BC, .∠DAC=∠ACB, :菱形ABCD∽菱形BFCE, ∴∠D=∠BEC, 在△ACD与△CBE中， [∠DAC=∠ACB ∠D=∠BEC (2)解：在菱形BFCE中， ∴.BE=BF=2,∠EBC=∠ECB. 在菱形ABCD中，∠DAB=60°， AB=BC,∠BAC=∠ACB=30°，， .∠ABE=90°， 在Rt△ABE中，∠BAC=30°， .AB=3BE=25 由(I)知，△ACDACBE, AC AB ∴BCBE' 4C-25 即2N52，解得4=6 题型02利用相似三角形的性质求解 2/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例2】【答案】B 举一反三 【变式2-1】【答案】D 【变式2-2】【答案】1：2 【变式2-3】 【答案】(1)1 (2)证明：甲方案：如图2，过点A作AM∥EF交BC于点M,过点B作BN∥HG交CD于点N, A E D H 四边形 是矩形， G B M 图2 ABCD .AD∥BC,AB∥CD,∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC, ∴四边形AEFM、HGBN均为平行四边形，∠BAM+∠AMB=90°， :BN=GH AM=EF, :EF⊥GH, AM⊥BN, .∠NBC+∠AMB=90°， .∠BAM=∠NBC, 又∠ABM=∠BCN=90° △BAMP△CBN, AB AM BC=BN EF AB GHAD: 乙方案：如图2，过点E作EM⊥BC交BC于点M,过点G作GN⊥CD交CD于点N,EM交GH于点 0, 3/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D H O 四边形 是矩形， G B M F 图2 ABCD .∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AD=BC,ABIICD ∴，四边形AEMB、GBCN均为矩形， .AB=EM,GN=BC=AD :EF⊥GH,EM⊥GN, ∴.∠MEF+∠EOH=90°，∠GOM+∠HGN=90° :∠EOH=∠GOM ·∠MEF=∠HGN, 又∠EMF=∠GNH=90°， .△EFM∽aGHN, EF、EM GHGN· EF AB ·GHAD (3)解：由矩形的性质可得AD=BC=4,∠A=90°， 由勾股定理得BD=√AB2+AD2=V32+42=5, EFAB 由(2)可知，BD=AD, .EF 3 54 EF=15 4 15 即折痕EF的长为4： (④解：如图4，过点D作MN'⊥BC,交BC的延长线于M,过点A作AW'⊥MN'于点N',连接AC, 过点F作FH⊥AN'于点H,过点E作EG⊥MN'于点G, 4/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E G' B F C LM 图4 :∠ABC=90°AN'⊥MN'MN'⊥BC ∴四边形ABMN'是矩形， .∠N'=∠M'=90°，AW'=BM,MN'=AB=10 AD=AB,BC=CD,AC=AC, .AACD≌△ACB(SSS), ∠ADC=∠ABC=90°， .∠ADN'+∠CDM'=90°， .∠ADN'+∠N'AD=90° .∠N'AD=∠CDM', 又∠W'=∠M'=90°， .△ADN'∽aDCM', CD CM'DM'51 六AD-DN AN102' .AN'=2DM',DN'=2CM' DC2=CM+DM2. .52=CM2+10-2CM2, .CM'=5(不合题意舍去)或CM'=3, .BM'=BC+CM'=5+3=8=AN', 同(2)知，∠AFH'=∠DEG, 又：∠AHF=∠EG'D=90°， DEGAFH', DE EG' AF FH' EG'=AN'=8,FH'=AB=10, DE 84 AF-105? 5/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE 4 即4F的值为5： 题型03利用相似求坐标 三 典例精析 【典例3】【答案】D 举一反三 【变式3-1】 【答案】(1)解：x2-3x+2=(x-1)(x-2)=0。 .=1,x2=2. ..OA>OC, .OA=2,OC=1, .A(-2,0),C(1,0): (2)解：将C1,0)代入y=-x+b中， 得：0=-1+b, 解得：b=1, ∴.直线CD的解析式为y=-x+1, :点E为线段AB的中点，A(-2,0),B的横坐标为0， 点E的横坐标为-1， :点E为直线CD上一点， .E(-1,2). -2k+b=0 设直线B的解析式为y=x+b'把E(-1,2):A(-2,0)代入得{-k+b=2, AB [k=2 解得1b=4 .直线AB的解析式为y=2x+4； (3)解：：直线AB的解析式为y=2x+4, .B(0,4), .OB=4, 6/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,直线CD的解析式为y=-x+1, D(0,1), OD=1, ,以OD为直角边， .L0DM=90°或∠D0M=90°， ①当∠DOM=90°时，点M在x轴上，设M(m,0),则OM=m, :△MOD与Rt△AOB相似，∠DOM=∠AOB=90°， .△AOB∽aMOD或△40BADOM, 24 当。4O0l00删品8可司-解得m=号 t时MG0)安30）片 OA OB 24 当 A40 BDOM时ODOM,即1网，解得 =+2 此时M(2,0)或(-2,0)： ②当∠ODM=90°时，DM∥x,设M(m,l),则DM=m, :△MOD与RtAAOB相似，∠ODM=∠AOB=90°， .△AOBr△ODM或△AOBAMDO, OA OB 24 当。4 OBODM时ODDM,即Tm,解得m=±2 此时M(2,1)或(-2，)： 当40800时器8即同片解得m=安 24 行： 综上所述，存在点4，使，M0D与R6AOB相似，且以OD为直角边，点M的坐标为M（20或 (020威20或2或(2】 【变式3-2】 【答案】(1)4,3 (2)解：：OA=4,0B=3,.AB=V32+42=5,:四边形ABCD是菱形，.AD=AB=5, 7/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设点E的坐标为(m,0), 则OE=ml, BEO EC 当△AOE△DAO, OA OE ∴.ADOA' ,4_m 54 :m=16 , m=t16 , 16 点E的坐标为： 当△OEAOAD」 OA OE ·OAAD' .4_m 45 .m=5, ∴.m=t5 点E的坐标为：(5,0)或(-5,0)： 综上·点的坠标为：60吹50支0支0 【变式331【谷打021网或号-到 题型04在网格中画与已知三角形相似的三角形 三 典例精析 8/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例4】 【答案】(1)如图所示，点E为所求点， E (2)如图所示，点E为所求点， E 举一反三 【变式41】 【答案】(1)如图， 即为所求B △DEF (2)如图， 即为所求B △BGC 【变式4-2】 【答案】四写 (2)①△ADE即为所求： 9/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②△ABC即为所求（答案不唯一）： 【变式4-3】 【答案】(1)3 (2)①如图，△DBE即为所求： B D ②如图，△ABG即为所求 (B)B 题型05相似三角形的判定与性质综合 典例精析 【典例5】 【答案】(I)解：如图，△DEF即为所求： 10/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (2)解：设AD与EF交于点P, 由作图可知EF=BC=6,DE=CD=3,∠DEP=∠C, :四边形ABCD为矩形， .ADl BC .∠EDP=LCBD, .△DEP∽△BCD. EP DE CD BC EP 3 即36 .EP=3 2’ .PF=EF-EP=9 举一反三 【变式5-1】【答案】B 【变式5-2】【答案】B 【变式5-3】【答案】A 11/11 专题02 相似三角形的性质 （题型突破·举一反三） 题型01 证明三角形的对应线段成比例 题型02 利用相似三角形的性质求解 题型03 利用相似求坐标 题型04 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型05 相似三角形的判定与性质综合 ▌题型01 证明三角形的对应线段成比例 核心依据：相似三角形的一切对应线段（高、中线、角平分线、周长）之比都等于相似比。 思维路径：待证线段比→寻找包含待证线段的两个三角形→证明这两个三角形相似→得出相似比。 操作规范：书写时必须指明是哪两个三角形的对应线段。 易错提醒：只有“对应线段”才成比例。非对应边上的高或中线，不能直接套用相似比，必须先重新证明包含该线段的新三角形相似。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南张家界·期中）如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，熟记平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，数形结合写出线段比例关系是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例及相似三角形判定与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， 由平行线分线段成比例定理可知， A选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ， B选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ，即， D选项是正确的，不符合题意， C选项是错误的，符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图，在中，，，．过点B作，过点D作于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，然后根据，即可得到两三角形相似； （2）根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． 【变式1-3】（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知，点是上任意一点，菱形菱形． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据菱形的性质可得，再由菱形菱形，可得，由此可证； （2）根据菱形的性质可得边长与角度的关系，即可得，根据直角三角形可得，再根据相似三角形边长成比例求解即可． 【详解】（1）证明：在菱形中， ∴， ∴， ∵菱形菱形， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：在菱形中， ∴，， 在菱形中，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，， ∴， 即，解得． ▌题型02 利用相似三角形的性质求解 基础知识：相似比k决定长度比，k2决定面积比。 思维路径（知边求积）：已知边长求面积比，先求相似比k，再平方得面积比；已知面积比求边长，先开方得相似比k，再按比例求边长。 思维路径（知小求大）：若求阴影部分或不规则图形面积，常用策略：。利用相似比求出大面积，减去空白的小面积。 关键公式：若相似比为k，则；反之，（仅取正值）。 易错提醒：面积比是相似比的“平方”，不是两倍。已知面积扩大为原来的4倍，边长只需扩大为原来的2倍。 【典例2】（2026·贵州贵阳·二模）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 【变式2-2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 【答案】 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比． 【详解】解：，与的面积之比为， 与的相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比， 与的周长之比为． 【变式2-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)证明：甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N； 四边形是矩形， ，，， 四边形均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O， 四边形是矩形， ，，， 四边形均为矩形， ， ， ，， ，， ， ， 又， ， ， ∴． (3)折痕的长为 (4)的值为 【分析】（1）证明，则，即可得到答案； （2）甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N；证明， ，，再证明，根据相似三角形的性质进行解答即可；乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O，证明，，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）由矩形的性质可得，，由勾股定理得，由（2）可知，，即可得到答案； （4）过点D作，交的延长线于，过点A作交EF于点，连接AC，过点F作于点，过点E作于点，证明，则，证明，最后证明 ，利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）略 （3）解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ， ， 即折痕的长为； （4）解：如图4，过点D作，交的延长线于，过点A作于点，连接，过点F作于点，过点E作于点， ， ，， 四边形是矩形， ∴， ，，， ， ， ∴， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ， ， （不合题意舍去）或 ， ， 同（2）知， ， 又， ∴ ， ， ， ， ， 即的值为． ▌题型03 利用相似求坐标 基础知识：在平面直角坐标系中，如果两个三角形相似，且对应边分别平行于坐标轴，则它们对应边的水平距离比和竖直距离比都等于相似比。 思维路径（平行轴型）：设相似比为k。若△OAB∽△OCD，且AB、CD平行于x轴，则（竖比）且（横比）。 思维路径（原点位似型）：若两个相似图形的位似中心为坐标原点，则对应点的坐标比等于相似比。即若A(x,y)，则对应点A′(kx,ky)。 关键技巧：求坐标时，优先观察图形的边是否平行于坐标轴，利用“横向伸缩k倍，纵向伸缩k倍”的规律直接计算。 易错提醒：坐标有正负。计算纵坐标差或横坐标差时，务必注意符号，防止象限判断错误导致坐标符号相反。 【典例3】（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 【变式3-1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使与相似，且以为直角边，若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或或或或或 【分析】本题考查了解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质． （1）利用分解因式法解一元二次方程即可得出，的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标； （2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （3）先求出，，再根据以为直角边，得到或，最后根据与相似得到比例式计算即可，注意分类讨论． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵， ∴，， ∴，； （2）解：将代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点E为线段的中点，，B的横坐标为0， ∴点E的横坐标为， ∵点E为直线上一点， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵以为直角边， ∴或， ①当时，点在轴上，设，则， ∵与相似，， ∴或， 当时，即，解得， 此时或； 当时，即，解得， 此时或； ②当时，，设，则， ∵与相似，， ∴或， 当时，即，解得， 此时或； 当时，即，解得， 此时或； 综上所述，存在点M，使与相似，且以为直角边，点M的坐标为或或或或或或或． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出：_，_； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【答案】(1)4，3 (2)点E的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出的长； （2）设点E的坐标为，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：方程， 分解因式得：， 可得：，， 解得：， ∵， ∴，； 故答案为：4，3； （2）解：∵，，∴，∵四边形是菱形，∴， 设点E的坐标为， 则， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 综上，点E的坐标为：或或或． 【变式3-3】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为_______． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质求出，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，利用勾股定理表示出，，根据题意分2种情况讨论：或，利用相似三角形的性质列出方程，求出的值即可求解． 【详解】解：对于， 当时，，解得； 当时，； ，， ， ， ， ，， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为， 设， 则，， 由勾股定理得，， ， 由题意知，点M与A、B、C三点中的某两点构成的三角形与相似时，如图， 分两种情况：或 当时，则， 即， ， ， 解得，（舍去）， ； 当时，则， 即， ， ， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，存在，点M的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、相似三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． ▌题型04 在网格中画与已知三角形相似的三角形 基础知识：网格中三角形的边长通常为整数或简单二次根数（如）。相似三角形的判定在网格中转化为“边长比例一致”。 思维路径（比例放大/缩小）：观察原三角形三边长度→确定放大或缩小的倍数k→在新位置构造边长为的三角形。 思维路径（构造法）：利用网格线构造直角（勾股定理逆定理）。若原三角形是直角三角形，直接在网格中寻找与原三角形直角边成比例的直角位置。 关键技巧：优先选择“格点”（网格线的交点）作为新三角形的顶点。若原三角形三边比为，则只需在网格中找到同样满足关系的三个格点连接即可。 易错提醒：画图必须规范，顶点必须落在格点上。连接线段时要利用直尺，确保对应边平行或符合比例关系，不能随意连线。 【典例4】（2026·吉林·模拟预测）图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点． 的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作格点E，连接、，使； (2)在图②中，作格点E，连接、，使． 【答案】(1)如图所示，点为所求点， ； (2)如图所示，点为所求点， ； 【分析】（1）由网格图像得到，再根据得到，所以，根据网格的特点画出点； （2）先找出与相等的角，再利用相似求得的长度，确定点的位置． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 根据网格的特点可知为两个网格的对角线， ∴作相邻两个网格的对角线， 即点为所求点； （2）解：如图图所示， ， 由网格可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴，． 【变式4-1】（2026·吉林长春·模拟预测）在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形． (1)在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点全等； (2)在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点的一条边重合，且与相似． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 【分析】（1）根据三边相等的三角形是全等三角形作图即可； （2）根据三边对应成比例的三角形是相似三角形作图即可； 【详解】（1）解：如图， 则， ∴； （2）解：如图， 则， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点， (1)图1中的值为______； (2)请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最小的格点，使它与相似． 【答案】(1) (2)①即为所求； ②即为所求（答案不唯一）； 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可；②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①略；②略． 【变式4-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】(1)3 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． ▌题型05 相似三角形的判定与性质综合 思维逻辑：“判定”是前提，“性质”是工具。解题顺序严格遵循：先证相似（AA/SAS/SSS），再写比例式或面积比。 思维路径（求值型）：读题→寻找等角或成比例线段（判定）→得出相似→列出对应边成比例方程→代入已知数值求解未知量。 思维路径（面积型）：读题→寻找等角（通常有一组公共角或对顶角）→证明相似→利用面积比等于相似比平方求面积→若涉及多个三角形，利用“共高三角形面积比等于底之比”进行转换。 关键技巧（二次相似）：在处理复杂图形（如A字型内有交叉线）时，常出现“大相似套小相似”。先利用外围三角形相似求出整体比例，再利用内部三角形相似求出局部比例。 易错提醒：书写相似结论时，顶点字母必须对应。 【典例5】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，是矩形的对角线，请解答以下问题： (1)尺规作图：将绕点旋转后，点的对应点落在线段上，点的对应点是，与交于点，作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，交于，分别以，为圆心，，为半径画弧，两弧相交于，连接，则即为所求； （2）设与交于点，由作图可知，，，证明，所以，即，求出的长度，然后通过线段的和与差即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：设与交于点， 由作图可知，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则和的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线与平行线得到等腰三角形，求出线段的长度；再根据判定与相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出两个三角形的面积比． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【变式5-2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，先求出，证明，得到比例式，由比例证明得到比例式求即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 【变式5-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图1，在中，，D是边上一动点（不与B，C重合），连接，分别过点D，C作的垂线交于点E，连接．设的长度是x，的值是y，y与x的关系图象如图2．当点D运动到中点时，的长度是（     ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据图2可求得；过E作于H，则可证明，同理，可证明，得．设．由可求得x的值，再由勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：由题意，根据图2可得，当时，即时，， ∴． 又∵， ∴当点D运动到中点时，则． 如图，过E作于H， ∵， ∴． 又∵， ∴． 同理，． ∴． 设． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，经检验，是方程的根． ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02相似三角形的性质 《题型突破举一反三) 目录 题型01证明三角形的对应线段成比例 题型02利用相似三角形的性质求解 题型03利用相似求坐标 题型04在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型05相似三角形的判定与性质综合 题型01证明三角形的对应线段成比例 三解题必备 核心依据：相似三角形的一切对应线段（高、中线、角平分线、周长）之比都等于相似比。 思维路径：待证线段比→寻找包含待证线段的两个三角形→证明这两个三角形相似一→得出相似比。 操作规范：书写时必须指明是哪两个三角形的对应线段。 易错提醒：只有“对应线段”才成比例。非对应边上的高或中线，不能直接套用相似比，必须先重新证明包 含该线段的新三角形相似。 典例精析 【典例1】(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，平行四边形ABCD中，AB=9,AD=6,点E,F 分别在AD,AB上，若DE=3,△BCF∽aDCE,则BF=() D B A.1 B.2 D.5 举一反三 1/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式11】(25-26九年级上湖南张家界期中)如图，∥1∥%，直线a,b相交于点G,与这三 条平行线分别相交于点A,B,C和点D,E、F、下列比例式中错误的是() b A 2 B G C -13 AB DE AG DG BE GB AD AG A.BGEG B. GC GF AD BA D.BE BG 【变式1-2】(25-26九年级上北京延庆期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=2.过 点B作BD⊥AB,过点D作DE⊥BC于点E. D (I)求证：△ABCP△BDE: (2)若BD=4,求BE的长. 【变式13】(25-26九年级上江西抚州：期中)己知，点E是AC上任意一点，菱形ABCD∽菱形 BFCE (I)求证：△ACDACBE: (2)若∠DAB=60°，BF=2,求AC的长. 题型02利用相似三角形的性质求解 解题必备 基础知识：相似比k决定长度比，P决定面积比。 思维路径（知边求积）：己知边长求面积比，先求相似比飞，再平方得面积比：己知面积比求边长，先开方 得相似比飞，再按比例求边长。 2/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 思维路径（知小求大）：若求阴影部分或不规则图形面积，常用策略：S影=S大-S小。利用相似比求出大 面积，减去空白的小面积。 关键公式：若相似比为k, =k2:反之 则 (仅取正值)。 易错提醒：面积比是相似比的“平方”，不是两倍。己知面积扩大为原来的4倍，边长只需扩大为原来的2 倍。 典例精析 【典例2】(2026贵州贵阳二模)如图，△ABC∽△DEF,且∠A=83°，则∠D的度数是() A.37° B.83 C.120° D.60 三举一反目 【变式21】(25-26八年级下山东威海期末)如图，△ABC∽△DEF，AB:DE=1:2,则下列结论 一定成立的是() D A. BC 1 ∠的度数1 DF 2 B. ∠D的度数2 1 C. SADEF C2 D.C.DEF 【变式2-2】(25-26八年级下·江苏苏州期末)已知△ABC∽aDEF,，△ABC与△DEF的面积之比为14， 则△ABC与△DEF的周长之比为 【变式2-3】(25-26八年级下·山东烟台期末)【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究. 3/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G G B F C 图1 图2 图3 图4 AF (四如图L,在正方形ABCD中，AF⊥DE,AF交DE于点G,则DE (填比值)； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交AD、BC于点E、F,GH分别交AB、DC于点 EF AB G、H,求证：GHAD 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作AM∥EF交BC于点M,过点B作BN∥HG交CD于点N 乙方案：过点E作EM⊥BC交BC于点M,过点G作GN⊥CD交CD于点N 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明. 【结论应用】 (3)如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合.若AB=3,BC=4,求折痕EF的长： 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10,BC=CD=5,点E、F分别在线段 DE AB、BC上，且AF⊥DE:求AF的值. 题型03利用相似求坐标 E 解题必备 基础知识：在平面直角坐标系中，如果两个三角形相似，且对应边分别平行于坐标轴，则它们对应边的水平 距离比和竖直距离比都等于相似比。 -y0=k(竖 思维路径（平行轴型）：设相似比为k。若△OAB∽△OCD,且AB、CD平行于x轴，则，-0 ,Xp一xo=k(横比)· 比)且xB-x0 思维路径（原点位似型）：若两个相似图形的位似中心为坐标原点，则对应点的坐标比等于相似比。即若A (xy),则对应点A'(,y)。 4/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 关键技巧：求坐标时，优先观察图形的边是否平行于坐标轴，利用“横向伸缩k倍，纵向伸缩飞倍”的规律 直接计算。 易错提醒：坐标有正负。计算纵坐标差或横坐标差时，务必注意符号，防止象限判断错误导致坐标符号相反。 三典例精析 【典例3】(25-26九年级上贵州贵阳阶段检测)如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相 似的“字，若把这两个“E字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B,G和对应点 C,H的连线刚好经过原点O,其中点C,H均在x轴上.若OH:HC=3:2,点G的坐标是(-6,2)，则 点B的坐标为() G 8 -9 10 -10,3 0 举一反三 【变式3-1】(2425九年级上四川成都期中)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y=-x+b与坐标轴交于C,D两点，直线AB与坐标轴交于A,B两点，线段OA,OC的长是方程 x2-3x+2=0的两个根(OA>OC). (1)求点A,C的坐标： (2)直线AB与直线CD交于点E,若点E是线段AB的中点，求直线AB的解析式： (3)在(2)的条件下，在坐标平面是否存在点M,使△MOD与RtAAOB相似，且以OD为直角边，若存 在，请求出满足条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由. 【变式3-2】(25-26九年级上：江苏无锡·阶段检测)如图：在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形， 若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA>OB 5/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)直接写出：OA=-,OB=-; (2)若点E为x轴上的点，且△AOE与△DAO相似.求此时点E的坐标 【变式33】(25-26九年级上四川成都阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，直线1：y=2-6 与x轴交于点A,与y轴交于点B.直线2经过B,C两点，点C是x轴正半轴上一点，且OA=4CO, 在直线2上是否存在点M,使其与A,B,C三点中的某两点构成的三角形与△ABC相似（相似比不为 1),若存在，点M的坐标为 题型04在网格中画与已知三角形相似的三角形 解题必备 基础知识：网格中三角形的边长通常为整数或简单二次根数（如√25）。相似三角形的判定在网格中转化 为“边长比例一致”。 思维路径（比例放大缩小）：观察原三角形三边长度a,b,c→确定放大或缩小的倍数k一在新位置构造边长 为ka,b,kc的三角形。 思维路径（构造法）：利用网格线构造直角（勾股定理逆定理）。若原三角形是直角三角形，直接在网格中 寻找与原三角形直角边成比例的直角位置。 关键技巧：优先选择“格点”（网格线的交点）作为新三角形的顶点。若原三角形三边比为1：2：V5,则只 需在网格中找到同样满足1：2：V5关系的三个格点连接即可。 易错提醒：画图必须规范，顶点必须落在格点上。连接线段时要利用直尺，确保对应边平行或符合比例关系， 不能随意连线。 6/10 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例4】(2026·吉林·模拟预测)图①、图②均是7×3的网格，每个小方格都是边长相等的正方形， 其顶点称为格点.△ABC的顶点都在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作 图. 图① 图② (1)在图①中，作格点E,连接AE、BE,使∠ABC+∠AEB=180°： (2)在图②中，作格点E,连接AE、BE,使∠ABC-∠AEB=90° 举一反目 【变式41】(2026吉林长春·模拟预测)在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均 在格点上的三角形称为格点三角形.请按下列要求画出格点三角形 图1 图2 (1)在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点△ABC全等： (2)在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点△ABC的一条边重合，且与△ABC相似， 【变式42】(25-26八年级下·江苏苏州阶段检测)如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方 形的顶点， 图1 图2 图3 PD ()图1中PA的值为 7/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹 ①请在图2中以线段AD为一边，画一个格点△ADE,使它与△ABC相似： ②请在图3中画一个最小的格点△4BC,使它与△ABC相似. 【变式43】(25-26八年级下江苏苏州期末)如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，A、B、C、 D均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段AD与BC交 于点P. R 图1 图2 图3 PA ()图1中PD的值为 (2)请仅用无刻度的直尺作图. ①请在图2中以线段BD为一边，画一个格点△DBE,使它与△ABC相似： ②请在图3中画一个最大的格点△4BC,使它与△ABC相似， 题型05相似三角形的判定与性质综合 解题必备 思维逻辑：“判定”是前提，“性质”是工具。解题顺序严格遵循：先证相似(AA/SAS/SSS),再写比例 式或面积比。 思维路径（求值型）：读题→寻找等角或成比例线段（判定）→得出相似→列出对应边成比例方程→代入己 知数值求解未知量。 思维路径（面积型）：读题→寻找等角（通常有一组公共角或对顶角）→证明相似→利用面积比等于相似比 平方求面积→若涉及多个三角形，利用“共高三角形面积比等于底之比”进行转换。 关键技巧（二次相似）：在处理复杂图形（如A字型内有交叉线）时，常出现“大相似套小相似”。先利用 外围三角形相似求出整体比例，再利用内部三角形相似求出局部比例。 易错提醒：书写相似结论时，顶点字母必须对应。 典例精析 【典例5】(25-26八年级下·山东烟台期末)如图，BD是矩形ABCD的对角线，请解答以下问题： 8/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)尺规作图：将△BCD绕点D旋转后，点C的对应点E落在线段BD上，点B的对应点是F,EF与 AD交于点P,作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）： (2)若AB=3,BC=6,求PF的长度 举一反三 【变式5-1】(25-26八年级下·山东烟台期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC的平分线交 AD于点E,交CD的延长线于点F.若AB=3,BC=5,则△DEF和△ABE的面积比是() B A号 R号 2 c.5 4 D.25 【变式52】(25-26八年级下山东烟台期末)如图，△ABC中，BD⊥AC,CE⊥AB,垂足为D, E,连接DE.若AE=1,CE=2,BC=3,则DE的长度是() A.⑤ 35 B c.25 3 D. 3 【变式53】(25-26八年级下山东烟台期末)如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=4,D是边 BC上一动点（不与B,C重合），连接AD,分别过点D,C作AD,AC的垂线交于点E,连接AE. AB 设BD的长度是x,BD的值是，y与x的关系图象如图2.当点D运动到BC中点时，CE的长度是 () 9/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 3 图1 图2 A. B.3 C.4 D.3 10110