第五章 二次函数单元卷2026—2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元复习卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖定义、图像性质、平移及实际应用，融入悬索桥、足球鹰眼等真实情境，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、图像与方程根、平移规律|结合图像判断方程根近似值，考查几何直观| |填空题|6/18|顶点坐标、函数值比较、矩形面积最值|定义新“特征数”，提升抽象能力| |解答题|8/72|配方法求最值、运动轨迹建模（实心球/足球）、利润问题|悬索桥抛物线建模、足球鹰眼数据分析，强化模型意识与应用能力|

第五章 二次函数（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列函数解析式中，一定为二次函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、，当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 2、如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， 3、将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．向右平移3个单位，向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，向上平移2个单位 【答案】B 【详解】解：∵原抛物线为，平移后为， ∴表示向左平移3个单位， 表示向下平移2个单位， ∴平移方式是向左平移3个单位，向下平移2个单位． 4、已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解： ∵图象与x轴有交点， ∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0 解得a≥-2； ∵抛物线的对称轴为直线 抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大， ∴a≤3， ∴实数a的取值范围是-2≤a≤3． 5、关于二次函数，下列说法正确的是（  ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．图象顶点坐标为 D．当时， 随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵关于二次函数，， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 故A，B，C错误，D正确． 6、函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，函数的图象开口向上，函数的图象应在一、二、三象限，故可排除D； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象应在一二四象限，故可排除B； 当时，两个函数的函数值都为1，故两函数图象应相交于，可排除A． 7、已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 8、如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 9、如图，△ABC与正方形BCDE一条边BC重合，∠ACB=90°，AC=BC=2，将正方形BCDE沿CA向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形BCDE与△ABC重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：设点C平移的距离为x，正方形与△ABC重合部分的面积为y， ∴当时，如图： ∴； 当时，如图： ∴； ∴， 由分段函数可看出B选项中的函数图象与所求的分段函数对应， 10、已知抛物线的对称轴为直线，与轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤（为任意实数）．其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【详解】解：抛物线开口向上，与轴交点位于轴的负半轴， ，， 对称轴为直线， ，即， ，故①正确； ， ，故②错误； 抛物线的对称轴为，，与轴正半轴的交点为， ∴由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为 当时，， ，故③错误； 把点A的坐标代入抛物线解析式得， ∴， ∴， ∴方程的判别式为 ， ∵， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，取最小值， ， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有①④⑤，共3个， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、抛物线的开口向 ．（填“上”或“下”） 【答案】下 【详解】解：抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的开口向下， 故答案为：下． 12、 二次函数的顶点坐标为______． 【答案】 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故答案为：． 13、若点，在二次函数的图象上，则 （填，或）． 【答案】< 【详解】∵二次函数的开口向上，对称轴为直线y轴， ∴点关于y轴的对称点为， ∵当时，y随x的增大而增大，， ∴． 故答案为：<． 14、一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 【答案】16 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 15、如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的边为_____时，猪舍面积最大（为整数） 【答案】9 【详解】解：设，猪舍的面积为，则， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴当时，y有最大值， ∴当时，猪舍面积最大， 故答案为：9． 16、定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③． 【详解】解：当时， 把代入，可得特征数为 ∴，，， ∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确； 当时， 把代入，可得特征数为 ∴，，， ∴函数解析式为， 当时，，函数图象过原点，故②正确； 函数 当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确； 当时，函数图像开口向下， 对称轴为： ∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误； 综上所述，正确的是①②③， 故答案是：①②③． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分, 22-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、请利用配方法求出下列函数的最值． (1)； (2)． 【答案】(1)最大值为； (2)最小值为． 【详解】（1）解：， 配方得：， 整理得：， ， 抛物线开口向上，函数有最大值，最大值是； （2）解：， 整理得：， ， ， 抛物线开口向上，函数有最小值，最小值是． 18、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求B点的坐标，并求出的面积． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)，6 【详解】（1）解：将代入， 可得， 解得：， ∴， 顶点坐标是； （2）解：令，则， 解得：或， ∴， ∴． 19、掷实心球是初中学生学业水平体育考试的必考项目之一．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 【答案】(1) (2)该男生在此项考试中得优秀 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． （2）解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 20、某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元 【详解】（1）解：根据题意，当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只， ∴每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ； （2）结合（1），可知每日销售利润； （3）根据公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于， 则有，解得， 由（2）可知，每日销售利润， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， ∴当时，取最大值，为（万元）， 即应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元． 21、悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 【答案】(1) (2)28米 (3)3.8米 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴， 答：该函数的解析式为； （2）解：由题意得， 当时，， 解得或， ∴之间的水平距离为米；． （3）解：若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，则每两根悬吊钢缆距离为（米）， 即离桥头最近的悬吊钢缆位置距桥头为米， 在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为，代入解析式可得， 当时，， ∴离桥头最近的悬吊钢缆的长度为米． 22、如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标； （3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； 【答案】（1）y＝x2﹣x﹣6； （2）点D的坐标为（，﹣5）； （3）△BCE的面积有最大值，点E坐标为（，﹣）． 【详解】解：（1）∵OA＝2，OC＝6， ∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）， 将A（﹣2，0），C（0，﹣6）代入y＝x2+bx+c， 得， 解得，b＝﹣1，c＝﹣6， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣6； （2）在y＝x2﹣x﹣6中， 对称轴为直线x＝， ∵点A与点B关于对称轴x＝对称， ∴如图1，可设BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值， 而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值， 在y＝x2﹣x﹣6中， 当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝3， ∴点B的坐标为（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx﹣6， 将点B（3，0）代入， 得，k＝2， ∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6， 当x＝时，y＝﹣5， ∴点D的坐标为（，﹣5）； （3）如图2，连接OE， 设点E（a，a2﹣a﹣6）， S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC ＝×6a+×3（﹣a2+a+6）﹣×3×6 ＝﹣a2+a ＝﹣（a﹣）2+， 根据二次函数的图象及性质可知，当a＝时，△BCE的面积有最大值， 当a=时, ∴此时点E坐标为（，﹣）． 23、鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … (1)求h关于s的函数表达式． (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． (3)求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【答案】(1) (2)若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由见详解； (3) 【详解】（1）解：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴h关于s的函数表达式为； （2）解：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴若守门员选择原地接球，不能防守成功； （3）解：当守门员刚好接到球时，则， 把代入中得：， 解得， ∴此时球的飞行时间为， ∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于， ∴守门员的速度要大于等于， ∴守门员的最小速度为． 24、如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； （3）在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），点在抛物线上 （3）存在，点的坐标为：或 【小问1详解】 解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：由题意得：， 当时，， 故点在抛物线上． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∴，， ∴点， 当时，，即点在抛物线上， ∴点即为点； ②当为直角时，如图2， 同理可得：， ∴，， ∴点， 当时，， ∴点在抛物线上， ∴点即为点； ③当为直角时，如图3， 设点， 同理可得：， ∴且，解得：且， ∴点， 当时，， 即点不在抛物线上； 综上，点的坐标为：或． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二次函数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列函数解析式中，一定为二次函数的是（  ） A． B． C． D． 2、如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 3、将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．向右平移3个单位，向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，向上平移2个单位 4、已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5、关于二次函数，下列说法正确的是（  ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．图象顶点坐标为 D．当时， 随的增大而减小 6、函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7、已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 8、如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9、如图，△ABC与正方形BCDE一条边BC重合，∠ACB=90°，AC=BC=2，将正方形BCDE沿CA向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形BCDE与△ABC重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 10、已知抛物线的对称轴为直线，与轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤（为任意实数）．其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、抛物线的开口向 ．（填“上”或“下”） 12、 二次函数的顶点坐标为______． 13、若点，在二次函数的图象上，则 （填，或）． 14、一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 15、如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的边为_____时，猪舍面积最大（为整数） 16、定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分, 22-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、请利用配方法求出下列函数的最值． (1)； (2)． 18、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求B点的坐标，并求出的面积． 19、掷实心球是初中学生学业水平体育考试的必考项目之一．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 20、某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 21、悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 22、如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标； （3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； 23、鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … (1)求h关于s的函数表达式． (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． (3)求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 24、如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； （3）在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $