13.3.1 三角形的内角（课时2） 教学设计 2026-2027学年人教版 八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直角三角形两锐角互余的性质、判定及符号表示，通过复习三角形内角和定理，以直角三角形内角关系设问搭建旧知到新知的学习支架，自然引入课题。 此设计以核心素养为导向，通过探究推导性质、逆向思考判定培养推理能力与抽象能力，典例精讲结合对顶角相等和同角的余角相等提升几何逻辑推导，讲练结合与分层作业助力学生巩固基础、发展创新意识，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

13.3.1 三角形的内角（课时2）教学设计 课题 13.3.1 三角形的内角（课时2） 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 1.结合三角形内角和定理推导直角三角形两锐角互余的性质，理解该性质的逆命题，掌握直角三角形判定方法的推理逻辑。 2.能规范运用直角三角形角的数量关系完成角度计算，依托两角互余关系实现角的大小比较，熟练处理相关基础几何计算题。 3.掌握直角三角形规范符号表示方法，结合直角三角形角的性质综合分析图形，解决综合性几何推理问题，提升几何逻辑推导能力。 教学重点 直角三角形两锐角互余的性质与判定方法；直角三角形的符号书写；利用直角三角形角的关系进行角度计算。 教学难点 区分直角三角形性质与判定的因果逻辑；灵活结合互余关系、三角形内角和定理解决多步几何综合推理题。 教学方法 讲授法、探究法、讲练结合 教学准备 多媒体课件、直角三角形教具 课后练习 课本练习及习题13.3 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、情境导入 1. 复习回顾 教师提问： （1）三角形内角和定理的内容是什么？ （2）你是怎么证明三角形内角和定理的？ 学生回答：三角形的内角和等于180°；可通过过顶点作底边平行线，利用平行线内错角相等和平角定义完成推理证明。 2. 设问引入 教师出示直角三角形图形，提问：在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A和∠B之间有什么关系呢？ 【学生活动】观察图形，思考问题，尝试推导。 教师引导：利用三角形内角和定理，我们能得出什么结论？ 揭示课题：今天我们就来研究直角三角形的内角性质和判定方法。 回忆三角形内角和定理及其证法，观察直角三角形，思考∠A与∠B的关系。 通过复习三角形内角和定理，找准学习起点，为新课学习做好知识铺垫。通过设问引导学生思考特殊三角形（直角三角形）的内角关系，自然导入新课，激发探究欲望。 二、新知探究 （一）性质 探究：直角三角形的性质 教师引导学生推导： 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°， 由三角形的内角和定理： ， 即， 所以。 教师总结并板书直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 符号语言： ∵ 在中，∠C=90°， ∴ （直角三角形的两个锐角互余）。 介绍直角三角形的表示方法： 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。 强调：“Rt”是英文Right（直角）的缩写，后面要跟三角形符号“△”，表示直角三角形。 即时练习： （1）在Rt中，∠C=90°，∠A=30°，则∠B=______。 （2）在Rt中，∠C=90°，∠A=45°，则∠B=______，这是______三角形。 学生口答，教师点评。 观察图形，利用内角和定理推导∠A+∠B=90°；口答即时练习。 从三角形内角和定理出发，通过特殊化推导直角三角形的性质，让学生经历知识的形成过程，理解性质的来龙去脉。规范的符号语言表达为学生起到示范作用，培养规范的几何书写习惯。 三、典例精讲 【典例精讲】 例 3：如图，∠C=∠D=90°，AD、BC相交于点E。比较∠CAE与∠DBE的大小。 教师引导：∠CAE与∠DBE分别位于Rt△ACE和Rt△BDE中，均可由90°减去一个角得到。由于∠AEC与∠BED是对顶角相等，根据“同角的余角相等”可得两角相等。 解： 在Rt△ACE中， 。 在Rt△BDE中， 。 （对顶角相等）， （同角的余角相等）。 所以∠CAE=∠DBE。 【讲评要点】 本题综合直角三角形两锐角互余、对顶角相等两个核心知识点，借助“同角的余角相等”完成角度等量推理，规范几何说理步骤。 观察图形，分析∠CAE与∠DBE所处的直角三角形，利用对顶角相等和同角的余角相等完成推理。 本题综合直角三角形两锐角互余、对顶角相等两个核心知识点，引导学生借助同角的余角相等完成角度等量推理。通过两角大小比较的题型，锻炼几何逻辑推导能力，规范几何说理步骤，加深对直角三角形角的性质的理解。 （二）判定 探究：直角三角形的判定 教师设问：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余。反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由。 【学生活动】思考讨论，尝试证明。 已知：在△ABC中，∠A+∠B=90°。 求证：△ABC是直角三角形。 证明： 在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）， 又因为∠A+∠B=90°（已知）， 所以∠C=90°（等式的性质）。 即△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）。 教师总结并板书： 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 符号语言： ∵ 在中，， ∴ 是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）。 对比辨析：直角三角形的性质与判定的区别与联系。 性质：条件—三角形是直角三角形；结论—两个锐角互余。 判定：条件—三角形有两个角互余；结论—三角形是直角三角形。 总结：性质与判定是互逆的。性质是由“形”到“数”（由直角三角形得到角的关系），判定是由“数”到“形”（由角的关系判断直角三角形）。 教师拓展：直角三角形的判定方法 （1）定义法：证明三角形中有一个内角为90°（或证明三角形的两条边互相垂直）； （2）两角互余法：证明一个三角形中有两个内角互余； （3）等量代换法：证明三角形中有一个内角与已知的直角相等。 强调：本节课重点学习第二种判定方法——有两个角互余的三角形是直角三角形，这是判定直角三角形的常用方法。 思考互逆命题是否成立，写出已知求证并证明；对比性质与判定的区别与联系，总结判定方法。 通过逆向设问，引导学生思考判定方法，培养逆向思维能力。让学生经历猜想—证明的过程，培养逻辑推理能力。通过对比性质与判定的区别与联系，帮助学生清晰理解二者关系，避免概念混淆。对各判定方法的系统总结，帮助学生构建完整的知识体系。 四、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 3. 直角三角形的表示：Rt△ABC。 4. 性质与判定的区别：性质是由直角三角形得角互余；判定是由两角互余得直角三角形。 回顾本节课所学知识，总结归纳，畅谈收获。 梳理知识，形成体系，帮助学生建立完整的知识结构。 五、作业布置 必做： 课本练习及习题13.3相关题目，运用直角三角形两锐角互余性质完成角度计算。 选做： 思考：利用两角互余的方法判定一个三角形是直角三角形，还有哪些变式应用？ 记录作业内容。 分层作业，必做题巩固基础，选做题拓展提升。 板书设计 13.3.1 三角形的内角（课时2） 一、直角三角形性质 两个锐角互余 符号：∠A+∠B=90°（∠C=90°） 表示：Rt△ABC 二、直角三角形判定 有两角互余 → 直角三角形 判定方法：定义法/两角互余法/等量代换法 三、性质与判定互逆 性质：形→数 判定：数→形 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $