专项突破练一　常见不等式的解法-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“类型综述+针对训练”构建不等式解法体系，系统提炼分式、高次、绝对值不等式的转化策略与操作流程，强化数学思维中的推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式不等式|5题|移项通分化整式，结合二次不等式求解|从分式到整式的等价转化，覆盖条件判断、参数范围等考法| |高次不等式|6题|穿针引线四步法（化简-分解-标根-穿线）|通过因式分解将高次问题降维，体现转化与化归思想| |绝对值不等式|6题|几何意义与代数去绝对值结合，分题型突破|从简单绝对值到含参数、距离模型，构建解法梯度|

专项突破练一　常见不等式的解法 1.A　[解析] 由<0,可得(x-2)(x-4)<0,解得2<x<4.由2<x<4可推出x>2,但由x>2推不出2<x<4,所以“<0”是“x>2”的充分不必要条件.故选A. 2.A　[解析] 由>1,得-1>0,即>0,所以(-2x+8)(2x-1)>0,解得<x<4,所以原不等式的解集为.故选A. 3.D　[解析] 不等式>1,即-1>0可化为(x-a)(x-1)<0.当a=1时,不等式的解集为空集,不符合题意;当a>1时,不等式的解集为{x|1<x<a},要使原不等式恰有四个整数解,则5<a≤6;当a<1时,不等式的解集为{x|a<x<1},要使原不等式恰有四个整数解,则-4≤a<-3.综上可得,实数a的取值范围是{a|-4≤a<-3或5<a≤6}.故选D. 4.　[解析] 由题意可知a<0,且1和2是关于x的方程ax2+bx-1=0的两根,所以解得所以>0,即>0,即>0,即(x-2)<0,解得<x<2,所以关于x的不等式>0的解集为. 5.解:因为<0,所以(m2x-1)(mx+1)<0(m≠0), 由(m2x-1)(mx+1)=0,得x=或x=-(m≠0). ①当m>0时,-<,所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为, 所以原不等式不可能对一切x≥4恒成立,故m>0不符合题意; ②当m≤-1时,≤-,所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为, 又原不等式对一切x≥4恒成立, 所以解得m≤-1; ③当-1<m<0时,>-, 所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为, 又原不等式对一切x≥4恒成立, 所以解得-1<m<-. 综上,m<-. 6.B　[解析] x(x2-1)<0等价于x(x-1)(x+1)<0,如图,根据穿针引线法可得x<-1或0<x<1.故选B. 7.B　[解析] 由≤x,得-x≤0,即≤0,即≥0,因为x2+x+1=+>0恒成立,所以原不等式等价于≥0,即(x-2)(x-3)(x+1)≥0,且x≠-1,x≠3,如图,根据穿针引线法可得-1<x≤2或x>3,故原不等式的解集为{x|-1<x≤2或x>3}.故选B. 8.A　[解析] 由ax-b>0可得ax>b,又不等式ax-b>0的解集为{x|x<3},所以即b=3a<0,则不等式<0等价于<0,即>0,等价于(x+1)x>0,解得-1<x<-或x>0,故不等式<0的解集为.故选A. 9.　[解析] 由<0,得(ax-5)(x2-a)<0.当a=0时,得x2>0,显然不满足题意.当a>0时,原不等式可化为(x-)(x+)<0.若<,则不等式的解集为,所以解得1≤a<;若>,则不等式的解集为,所以解得9<a≤25.当a<0时,(ax-5)(x2-a)<0对任意x>0恒成立,不符合题意.综上,实数a的取值范围是. 10.{x|x<-或-1<x<1或x>}　[解析] 因为x4-2x2+1>x2-1,所以(x2-1)2>x2-1,即(x2-1)(x2-2)>0,所以(x+)(x+1)(x-1)(x-)>0,根据穿针引线法,可得原不等式的解集为{x|x<-或-1<x<1或x>}. 11.{x|x<-4或-1<x<1或1<x<2}　[解析] 由<0,可得(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0,由穿针引线法可得x<-4或-1<x<1或1<x<2,所以原不等式的解集为{x|x<-4或-1<x<1或1<x<2}. 12.A　[解析] 由题得B={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2},又A={x|-3≤x≤1},所以A∩B={x|-2≤x≤1}.故选A. 13.B　[解析] 由|x-2|>1,得x-2>1或x-2<-1,解得x>3或x<1,所以“|x-2|>1”是“x>3”的必要不充分条件.故选B. 14.B　[解析] 由1≤|2x-1|<2,得-2<2x-1≤-1或1≤2x-1<2,解得-<x≤0或1≤x<,所以不等式组1≤|2x-1|<2的解集为.故选B. 15.A　[解析] 易知|x-a|+|x|≥|x-a-x|=|a|,因为存在实数x,使得不等式|x-a|+|x|<|2a-1|成立,所以|a|<|2a-1|,两边平方得a2<4a2-4a+1,即3a2-4a+1>0,即(3a-1)(a-1)>0,解得a<或a>1,所以a的取值范围是.故选A. 16.-2　[解析] 因为关于x的不等式|ax+1|<b的解集为{x|-1<x<2},所以b>0且a≠0,所以-b<ax+1<b.当a>0时,<x<,所以解得(舍去);当a<0时,<x<,所以解得综上,a=-2. 17.(1){x|x≤-4或x≥3}　(2) (3)　[解析] (1)不等式|x-2|+|x+3|≥7等价于或 或解得x≤-4或x≥3.故原不等式的解集为{x|x≤-4或x≥3}. (2)由|2x-1|≤x,得(2x-1)2≤x2,即3x2-4x+1≤0,即(3x-1)(x-1)≤0,解得≤x≤1,故原不等式的解集为. (3)当x<-1时,|2x-1|-|x+1|=-2x+1+x+1=-x+2<1,解得x>1,此时不等式无解;当-1≤x≤时,|2x-1|-|x+1|=-2x+1-x-1=-3x<1,解得x>-,此时-<x≤;当x>时,|2x-1|-|x+1|=2x-1-x-1=x-2<1,解得x<3,此时<x<3.综上,原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破练一　常见不等式的解法 类型一　分式不等式 【类型综述】 解分式不等式时,一般通过移项、通分,将分式≥0(y1,y2表示整式)的形式转化为整式的形式,即转化为一次、二次或高次不等式形式. 【针对训练】 1.“<0”是“x>2”的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.[2026·安徽皖南八校高一期中] 不等式>1的解集为 (　 ) A. B. C. D. 3.已知关于x的不等式>1恰有四个整数解,则实数a的取值范围是 (　 ) A.{a|5<a≤6} B.{a|-4≤a<-3} C.{a|-4<a≤-3或5≤a<6} D.{a|-4≤a<-3或5<a≤6} 4.若关于x的不等式ax2+bx-1>0的解集为{x|1<x<2},则关于x的不等式 >0的解集为　　　　.  5.若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,求实数m的取值范围. 类型二　高次不等式 【类型综述】 常见一元高次不等式的解法——穿针引线法 (1)化简(将不等式化为不等号右边为0,左边x的最高次项系数为正数的形式); (2)分解因式; (3)标根(令每个因式为0,求出相应的根,并将这些根标在数轴上.注意:能取的根画实心点,不能取的根画空心点); (4)穿线写解集(从右上方依次通过每一点画曲线.注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过.最后依据不等式的符号写出不等式的解集). 【针对训练】 6.不等式x(x2-1)<0的解集为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.{x|x<0或0<x<1} B.{x|x<-1或0<x<1} C.{x|-1<x<0或x>1} D.{x|x<-1或x>1} 7.[2026·厦门一中高一月考] 不等式≤x的解集为 (　 ) A.{x|-1≤x≤2或x≥3} B.{x|-1<x≤2或x>3} C.{x|-1<x<2或x>3} D.{x|x<-1或2<x<3} 8.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x<3},则不等式<0的解集是 (　 ) A. B. C. D.{x|x<1或x>0} 9.已知集合M=,若3∈M,5∉M,则实数a的取值范围是　　　　　　　.  10.关于x的不等式x4-2x2+1>x2-1的解集为　　　　　　.  11.不等式<0的解集为　　　　　　　　　.  类型三　绝对值不等式 【类型综述】 解常见绝对值不等式的方法:(1)利用绝对值不等式的几何意义;(2)去绝对值(利用绝对值的定义、性质、平方等);(3)用函数的思想.常见题型如下: 题型1:如果c是正数,那么 ①|x|<c⇔x2<c2⇔-c<x<c; ②|x|>c⇔x2>c2⇔x<-c或x>c. 题型2:如果c是正数,那么 ①|ax+b|<c⇔(ax+b)2<c2⇔-c<ax+b<c; ②|ax+b|>c⇔(ax+b)2>c2⇔ax+b<-c或ax+b>c. 题型3:n<|ax+b|<m(m>n>0)⇔⇔n<ax+b<m或-m<ax+b<-n. 题型4:|x-a|±|x-b|≥c(a,b,c是常数). |x-a|+|x-b|表示数轴上动点与两定点的距离之和; |x-a|-|x-b|表示数轴上动点与两定点的距离之差. 【针对训练】 12.已知集合A={x|-3≤x≤1},B={x||x|≤2},则A∩B= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.{x|-2≤x≤1} B.{x|0≤x≤1} C.{x|-3≤x≤2} D.{x|1≤x≤2} 13.“|x-2|>1”是“x>3”的 (　 ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 14.不等式组1≤|2x-1|<2的解集为 (　 ) A. B. C. D. 15.[2026·上海晋元中学高一诊断] 已知a∈R,若存在实数x,使得不等式|x-a|+|x|<|2a-1|成立,则a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 16.若关于x的不等式|ax+1|<b的解集为{x|-1<x<2},则a=　　　　.  17.(1)不等式|x-2|+|x+3|≥7的解集为　　　　　　　　.  (2)不等式|2x-1|≤x的解集为　　　　　.  (3)不等式|2x-1|-|x+1|<1的解集为　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $