专题03 二次函数与一元二次方程、不等式（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“二次函数-方程-不等式”内在联系为逻辑主线，通过10类题型系统构建“概念-方法-应用”三层突破体系，突出分类讨论、转化化归等思想方法的迁移应用，培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数图象与性质|1典例+3变式|图象变换规律、最值求法、图象分析技巧|从顶点式切入，建立“形-数”联系，为后续不等式求解奠定直观基础| |含参/不含参不等式|各1典例+3变式|分类讨论（系数/判别式/根大小）、三个“二次”关系转化|以方程根为桥梁，实现函数图象与不等式解集的互化| |分式/高次不等式|各1典例+3变式|分式整式化、穿针引线法|通过等价转化将复杂不等式化归为一元二次不等式模型| |实根分布/恒成立/有解|各1-2典例+3变式|判别式+端点值+对称轴分析、参数分离法|综合运用函数性质解决参数问题，体现数学思维的严谨性| |实际应用|1典例+3变式|建模转化、不等式求解|将实际问题抽象为数学模型，培养用数学语言表达现实世界的能力|

专题03 二次函数与一元二次方程、不等式 （题型突破·举一反三） 题型01 二次函数的图象与性质 1 题型02 解不含参数的一元二次不等式 3 题型03 解含有参数的一元二次不等式 5 题型04 三个“二次”关系的应用 6 题型05 解分式不等式 7 题型06 解高次不等式 9 题型07 简单的一元二次方程实根分布 9 题型08 一元二次不等式的恒成立问题 10 题型09 一元二次不等式有解问题 11 题型10 一元二次不等式的实际应用 12 ▌题型01 二次函数的图象与性质 1．一元二次函数图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条_ _，它可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移____个单位长度，再向上(或向下)平移__个单位长度而得到． 2.一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 (1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条__ ______，顶点坐标是_____，对称轴是直线___ ___； (2)当a>0时，抛物线开口向__ ___；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而________；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而__ ______；函数在x＝h处有最___ _____值，记作_ _． 当a<0时，抛物线开口向__ ____；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而________；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而__ ______；函数在x＝h处有最_ _____值，记作__． 2．求二次函数的最值方法 求二次函数的最值时，往往先将函数配方成顶点式，则函数的最值一般在区间的端点或顶点处取得，比较这些值的大小即可得最值. 3．二次函数的图象分析与判断 解决二次函数的图象与系数的关系问题有以下两种常见方法: (1)排除法,抓住函数的特殊性质或特殊点; (2)讨论函数的图象，依据b对a进行讨论,画出a值不同时对应的函数图象，从而进行判断,显然(1)对解决选择题更为有效. 【典例1-1】（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）函数的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【变式1-1】（25-26高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数的最小值为 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·贵州遵义·期中）二次函数的图象如下图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026高一上·河北保定·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 ▌题型02 解不含参娄的一元二次不等式 1．一元二次不等式 (1)一般地，形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠ 0 )，叫作一元二次不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解． (3)一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作一元二次不等式的解集． 2.“三个二次”的关系 一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系如下表. Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 _______ ________ _________ ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 ___________ _______________ _________ 3.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)求出相应的一元二次方程的根（根据判别式判断方程没有实根，用因式分解或求根公式求根）； (2)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【典例2】解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2＜0； (4)－x2＋3x－5＞0. 【变式2-1】（25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【变式2-3】（25-26高一上·安徽合肥·期末）求下列不等式的解集 (1) (2) ▌题型03 解含有参数的一元二次不等式 1．利用分类讨论法解含有参数的一元二次不等式 若一元二次不等式中的系数是含有字母的代数式，则需对参数进行分类讨论．一般从以下三个方面进行分类讨论： (1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准； (2)以判别式与零的大小关系作为分类标准； (3)若判别式大于零，但两根的大小不能确定，则再以两根的大小关系作为分类标准． 2．含参数的一元二次不等式的解题步骤 (1)将二次项系数转化为正数． (2)判断相应方程是否有根． (3)根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小． 【典例3】解关于的不等式：． 【变式3-1】（25-26高一上·四川成都·期中）讨论关于的不等式的解集 【变式3-2】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）解关于的不等式：． 【变式3-3】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . ▌题型04 三个“二次”关系的应用 利用三个“二次”间关系求参的具体策略 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化 【典例4】（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一下·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】（多选）（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 ▌题型05 解分式不等式 1.解分式不等式的思路 解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解. 2.一般的分式不等式的同解变形法则 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母. 【典例5】（2026春•临夏县校级期中）求不等式的解集： （1）﹣x2+4x+5＜0； （2）2x2﹣5x+2≤0； （3）； （4）． 【变式5-1】（25-26高一·全国·专项练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-3】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知集合，，则( ) A． B． C． D． ▌题型06 解高次不等式 一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a<b<c)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)的符号每顺次经过 就会发生一次变化，从右到左在区间 上f(x)的符号正负相间．如图． 故解不等式(x－a)(x－b)(x－c)>0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为所求解集． 【典例6】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【变式6-1】不等式>0的解集为(　　) A．{x|x<－2或x>3} B．{x|x<－2或1<x<3} C．{x|－2<x<1或x>3} D．{x|－2<x<1或1<x<3} 【变式6-2】（2026·辽宁朝阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·黑龙江大庆·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D．或 ▌题型07 简单的一元二次方程实根分布 1．一元二次方程根的符号问题可从判别式、两根之和、两根之积等入手求解. 2．一元二次方程根的范围问题可以从判别式、特殊点的函数值、抛物线的对称轴等入手求解. 【典例7-1】（25-26高二下·福建福州·阶段练习）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一下·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·天津河西·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． ▌题型08 一元二次不等式的恒成立问题 1．一元二次不等式在R上恒成立的求解策略 （1）不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 （2）一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 （3）一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 2．一元二次不等式在某区间上恒成立的两种求解策略： (1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立. （2）当a>0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立的条件是 （3）当a<0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立的条件是 【典例8-1】若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【典例8-2】（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 【变式8-1】(多选)对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·河南许昌·期末）若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 【变式8-3】（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． ▌题型09 一元二次不等式有解问题 一元二次不等式有解的问题，往往利用分离参数法，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，有解；有解. 【典例9】（25-26高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 【变式9-1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【变式9-3】（2026高一·全国·专题练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. ▌题型10 一元二次不等式的实际应用 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 【典例10】（25-26高一上·广东广州·期末）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. (1)要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? (2)要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 【变式10-1】（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【变式10-2】（25-26高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【变式10-3】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与一元二次方程、不等式 （题型突破·举一反三） 题型01 二次函数的图象与性质 1 题型02 解不含参数的一元二次不等式 4 题型03 解含有参数的一元二次不等式 6 题型04 三个“二次”关系的应用 9 题型05 解分式不等式 12 题型06 解高次不等式 14 题型07 简单的一元二次方程实根分布 16 题型08 一元二次不等式的恒成立问题 18 题型09 一元二次不等式有解问题 21 题型10 一元二次不等式的实际应用 22 ▌题型01 二次函数的图象与性质 1．一元二次函数图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条_抛物线__，它可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移__|h|____个单位长度，再向上(或向下)平移_|k|___个单位长度而得到． 2.一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 (1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条__抛物线______，顶点坐标是（h,k），对称轴是直线___x=h_____； (2)当a>0时，抛物线开口向__上____；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而___减小_____；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而__增大______；函数在x＝h处有最___小_____值，记作__ ymin＝k． 当a<0时，抛物线开口向__下____；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而___增大_____；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而__减小______；函数在x＝h处有最_大_____值，记作__ ymax＝k． 2．求二次函数的最值方法 求二次函数的最值时，往往先将函数配方成顶点式，则函数的最值一般在区间的端点或顶点处取得，比较这些值的大小即可得最值. 3．二次函数的图象分析与判断 解决二次函数的图象与系数的关系问题有以下两种常见方法: (1)排除法,抓住函数的特殊性质或特殊点; (2)讨论函数的图象，依据b对a进行讨论,画出a值不同时对应的函数图象，从而进行判断,显然(1)对解决选择题更为有效. 【典例1-1】（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）函数的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数在上y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小， 所以当时，；当时，，故选B. 【典例1-2】（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 【变式1-1】（25-26高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数的最小值为 【答案】-3 【详解】， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当x=1时，y取得最小值-3. 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·贵州遵义·期中）二次函数的图象如下图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二次函数的图象，可判断出结果. 【详解】对于A，由图可得对称轴为，所以，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，所以，故B错误； 对于C，由图可得，当时，，所以，故C正确； 对于D，该图象开口向下，所以，因为，所以， 当时，，所以，故D正确； 故选：ACD. 【变式1-3】（2026高一上·河北保定·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 【答案】D 【详解】由题意可得:，解得 因为二次函数图象的对称轴在轴左侧， ，即， 二次函数有最小值为. 故选：D. ▌题型02 解不含参娄的一元二次不等式 1．一元二次不等式 (1)一般地，形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠ 0 )，叫作一元二次不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解． (3)一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作一元二次不等式的解集． 2.“三个二次”的关系 一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系如下表. Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)求出相应的一元二次方程的根（根据判别式判断方程没有实根，用因式分解或求根公式求根）； (2)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【典例2】解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2＜0； (4)－x2＋3x－5＞0. 【详解】(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为. (3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. (4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. 【变式2-1】（25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式2-2】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】解不等式，得， 所以. 解不等式得，所以. 所以，所以中的元素个数为3. 【变式2-3】（25-26高一上·安徽合肥·期末）求下列不等式的解集 (1) (2) 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为． （2）将不等式， 化简为，即， 解得或， 所以解集为． ▌题型03 解含有参数的一元二次不等式 1．利用分类讨论法解含有参数的一元二次不等式 若一元二次不等式中的系数是含有字母的代数式，则需对参数进行分类讨论．一般从以下三个方面进行分类讨论： (1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准； (2)以判别式与零的大小关系作为分类标准； (3)若判别式大于零，但两根的大小不能确定，则再以两根的大小关系作为分类标准． 2．含参数的一元二次不等式的解题步骤 (1)将二次项系数转化为正数． (2)判断相应方程是否有根． (3)根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小． 【典例3】解关于的不等式：． 【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解． 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 【变式3-1】（25-26高一上·四川成都·期中）讨论关于的不等式的解集 【详解】1.当时，不等式化为. （1）当时，不等式解集为：； （2）当时，不等式解集为：； 2.当时，不等式化为：. （1）当时，不等式解集为; （2）当时，不等式解集为; 3.当时，设不等式对应方程两根. （1）当时，，不等式解集为：或； （2）当时，，不等式解集为：； 4.当时，不等式对应方程的根为. （1）当时，不等式解集为：或； （2）当时，不等式解集为：； 5.当时，不等式对应方程无解. （1）当时，不等式解集为：R； （2）当时，不等式解集为：. 【变式3-2】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）解关于的不等式：． 【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式3-3】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. ▌题型04 三个“二次”关系的应用 利用三个“二次”间关系求参的具体策略 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化 【典例4】（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 【变式4-1】（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集结合韦达定理可得、、，则可将不等式化为，解出即可得. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以，， 所以不等式可化为， 又，则，解得． 【变式4-2】（25-26高一下·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 【变式4-3】（多选）（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. ▌题型05 解分式不等式 1.解分式不等式的思路 解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解. 2.一般的分式不等式的同解变形法则 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母. 【典例5】（2026春•临夏县校级期中）求不等式的解集： （1）﹣x2+4x+5＜0； （2）2x2﹣5x+2≤0； （3）； （4）． 【分析】（1）不等式化为x2﹣4x﹣5＞0，求出解集即可； （2）不等式化为（2x﹣1）（x﹣2）≤0，再求解集； （3）不等式化为，再求解集； （4）不等式化为（x﹣1）（x+1）＜0，即可求出解集． 【详解】（1）由﹣x2+4x+5＜0，得x2﹣4x﹣5＞0， 解得x＜﹣1或x＞5， 所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}； （2）由2x2﹣5x+2≤0，得（2x﹣1）（x﹣2）≤0， 解得， 所以不等式的解集为； （3）由，可得， 解得x≤﹣1或x＞3， 所以不等式的解集为{x|x≤﹣1或x＞3}； （4）由，可得， 等价于（x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜1， 所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}． 【变式5-1】（25-26高一·全国·专项练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：由，得， 化简得，即， 等价于，解得. 所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或， 化简得或（舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 【变式5-2】（25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】不等式即，即，即， 等价于，解得或， 故不等式的解集是或. 【变式5-3】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以， ， 所以 . ▌题型06 解高次不等式 一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a<b<c)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化，从右到左在区间(c，＋∞)，(b，c)，(a，b)，(－∞，a)上f(x)的符号正负相间．如图． 故解不等式(x－a)(x－b)(x－c)>0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为所求解集． 【典例6】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用不等式的等价变形可得，再利用数轴标根法可求得不等式的解集. 【详解】由， 可得， 所以 方程的根为， 由数轴标根法可得. 【变式6-1】不等式>0的解集为(　　) A．{x|x<－2或x>3} B．{x|x<－2或1<x<3} C．{x|－2<x<1或x>3} D．{x|－2<x<1或1<x<3} 【答案】C 【详解】由>0，得>0， 即(x－3)(x＋2)(x－1)>0， 利用穿针引线法，解得－2<x<1或x>3. 【变式6-2】（2026·辽宁朝阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得. 【详解】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 【变式6-3】（25-26高一上·黑龙江大庆·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】画出函数的大致图象如下图所示，    由图可知不等式的解集是或． 故选：D. ▌题型07 简单的一元二次方程实根分布 1．一元二次方程根的符号问题可从判别式、两根之和、两根之积等入手求解. 2．一元二次方程根的范围问题可以从判别式、特殊点的函数值、抛物线的对称轴等入手求解. 【典例7-1】（25-26高二下·福建福州·阶段练习）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次方程判别式以及两根的符号，结合韦达定理列不等式求出a的取值范围,再根据充分、必要条件的定义可得答案 【详解】设两个不等负实数根分别为， 则需满足， 解得，即， 所以是方程有两个不相等负根的充要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件， 故选：B. 【典例7-2】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一下·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由韦达定理求出两根之和与两根之积，根据判别式大于零，结合列不等式组求解即可. 【详解】因为关于的方程的两个不相等实数根满足， 所以，由根与系数的关系得：， 结合题意得： 即， 解得或， 即实数的取值范围是， 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·天津河西·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可； 【详解】∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴解得. 故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C. 故选：C. 【变式7-3】（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. ▌题型08 一元二次不等式的恒成立问题 1．一元二次不等式在R上恒成立的求解策略 （1）不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 （2）一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 （3）一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 2．一元二次不等式在某区间上恒成立的两种求解策略： (1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立. （2）当a>0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立的条件是 （3）当a<0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立的条件是 【典例8-1】若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 【典例8-2】（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将问题转化为对任意正实数x恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】不等式对任意正实数x恒成立， 即对任意正实数x恒成立， 当时，不等式，即，不符合对任意正实数x恒成立， 当时，令， 若对任意正实数x恒成立， 则，无解，或，解得. 所以的一个值可以是. 故答案为： 【变式8-1】(多选)对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 【变式8-2】（25-26高一上·河南许昌·期末）若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 【答案】（不唯一） 【分析】分离参数后，求出的最小值为，得出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意，，对恒成立， 因为，所以当时，的最小值为， 所以， 【变式8-3】（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式得到，再利用一元二次不等式在上恒成立得，从而可得实数的取值范围. 【详解】已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9. 因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得. 所以. ▌题型09 一元二次不等式有解问题 一元二次不等式有解的问题，往往利用分离参数法，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，有解；有解. 【典例9】（25-26高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【变式9-1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 【变式9-2】（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【答案】 【详解】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. 【变式9-3】（2026高一·全国·专题练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. ▌题型10 一元二次不等式的实际应用 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 【典例10】（25-26高一上·广东广州·期末）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. (1)要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? (2)要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 【分析】（1）根据题意，进而根据题意建立方程关系得，此时可建立函数关系，再结合基本不等式求解最值即可得答案； （2）根据题意解即可得答案. 【详解】（1）解：因为每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5， 所以，当时， 因为每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数 所以当时，， 因为在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元，、 所以，解得， 所以两项费用之和为， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，两项费用之和最小，为. 所以两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站千米处 （2）解：由（1）得两项费用之和为， 要使两项费用之和不超过13.5万元，即， 整理得，解得， 所以仓库到车站的距离应该在范围内. 【变式10-1】（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【分析】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 【变式10-2】（25-26高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 【变式10-3】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的取值范围即可； （2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本， 销售额为，成本为， 故利润函数为：， 要求日获利不少于1300元，即解不等式：， 化简得：，解得：， 又因为，故日产量为20到45之间的整数. （2）设土地占地费，库存货物费， 由题意知，当时，， ， 得：，所以，即； ，所以，即， 则两项费用之和为：， 由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立， 此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与一元二次方程、不等式 （题型突破·举一反三） 题型01 二次函数的图象与性质 1 题型02 解不含参数的一元二次不等式 4 题型03 解含有参数的一元二次不等式 6 题型04 三个“二次”关系的应用 9 题型05 解分式不等式 12 题型06 解高次不等式 14 题型07 简单的一元二次方程实根分布 16 题型08 一元二次不等式的恒成立问题 18 题型09 一元二次不等式有解问题 21 题型10 一元二次不等式的实际应用 22 ▌题型01 二次函数的图象与性质 【典例1-1】C 【详解】函数在上y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小， 所以当时，；当时，，故选B. 【典例1-2】D 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 【变式1-1】-3 【详解】， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当x=1时，y取得最小值-3. 【变式1-2】ACD 【分析】根据二次函数的图象，可判断出结果. 【详解】对于A，由图可得对称轴为，所以，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，所以，故B错误； 对于C，由图可得，当时，，所以，故C正确； 对于D，该图象开口向下，所以，因为，所以， 当时，，所以，故D正确； 故选：ACD. 【变式1-3】D 【详解】由题意可得:，解得 因为二次函数图象的对称轴在轴左侧， ，即， 二次函数有最小值为. 故选：D. ▌题型02 解不含参娄的一元二次不等式 【典例2】 【详解】(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为. (3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. (4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. 【变式2-1】A 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式2-2】C 【详解】解不等式，得， 所以. 解不等式得，所以. 所以，所以中的元素个数为3. 【变式2-3】 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为． （2）将不等式， 化简为，即， 解得或， 所以解集为． ▌题型03 解含有参数的一元二次不等式 【典例3】 【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解． 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 【变式3-1】 【详解】1.当时，不等式化为. （1）当时，不等式解集为：； （2）当时，不等式解集为：； 2.当时，不等式化为：. （1）当时，不等式解集为; （2）当时，不等式解集为; 3.当时，设不等式对应方程两根. （1）当时，，不等式解集为：或； （2）当时，，不等式解集为：； 4.当时，不等式对应方程的根为. （1）当时，不等式解集为：或； （2）当时，不等式解集为：； 5.当时，不等式对应方程无解. （1）当时，不等式解集为：R； （2）当时，不等式解集为：. 【变式3-2】 【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式3-3】 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. ▌题型04 三个“二次”关系的应用 【典例4】C 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 【变式4-1】D 【分析】由不等式的解集结合韦达定理可得、、，则可将不等式化为，解出即可得. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以，， 所以不等式可化为， 又，则，解得． 【变式4-2】D 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 【变式4-3】ACD 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. ▌题型05 解分式不等式 【典例5】 【分析】（1）不等式化为x2﹣4x﹣5＞0，求出解集即可； （2）不等式化为（2x﹣1）（x﹣2）≤0，再求解集； （3）不等式化为，再求解集； （4）不等式化为（x﹣1）（x+1）＜0，即可求出解集． 【详解】（1）由﹣x2+4x+5＜0，得x2﹣4x﹣5＞0， 解得x＜﹣1或x＞5， 所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}； （2）由2x2﹣5x+2≤0，得（2x﹣1）（x﹣2）≤0， 解得， 所以不等式的解集为； （3）由，可得， 解得x≤﹣1或x＞3， 所以不等式的解集为{x|x≤﹣1或x＞3}； （4）由，可得， 等价于（x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜1， 所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}． 【变式5-1】C 【详解】方法一：由，得， 化简得，即， 等价于，解得. 所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或， 化简得或（舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 【变式5-2】C 【详解】不等式即，即，即， 等价于，解得或， 故不等式的解集是或. 【变式5-3】C 【详解】由得，所以， ， 所以 . ▌题型06 解高次不等式 【典例6】 【分析】利用不等式的等价变形可得，再利用数轴标根法可求得不等式的解集. 【详解】由， 可得， 所以 方程的根为， 由数轴标根法可得. 【变式6-1】C 【详解】由>0，得>0， 即(x－3)(x＋2)(x－1)>0， 利用穿针引线法，解得－2<x<1或x>3. 【变式6-2】D 【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得. 【详解】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 【变式6-3】D 【详解】画出函数的大致图象如下图所示，    由图可知不等式的解集是或． 故选：D. ▌题型07 简单的一元二次方程实根分布 【典例7-1】B 【分析】利用二次方程判别式以及两根的符号，结合韦达定理列不等式求出a的取值范围,再根据充分、必要条件的定义可得答案 【详解】设两个不等负实数根分别为， 则需满足， 解得，即， 所以是方程有两个不相等负根的充要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件， 故选：B. 【典例7-2】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【变式7-1】C 【分析】由韦达定理求出两根之和与两根之积，根据判别式大于零，结合列不等式组求解即可. 【详解】因为关于的方程的两个不相等实数根满足， 所以，由根与系数的关系得：， 结合题意得： 即， 解得或， 即实数的取值范围是， 故选：C. 【变式7-2】C 【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可； 【详解】∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴解得. 故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C. 故选：C. 【变式7-3】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. ▌题型08 一元二次不等式的恒成立问题 【典例8-1】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 【典例8-2】4（答案不唯一） 【分析】将问题转化为对任意正实数x恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】不等式对任意正实数x恒成立， 即对任意正实数x恒成立， 当时，不等式，即，不符合对任意正实数x恒成立， 当时，令， 若对任意正实数x恒成立， 则，无解，或，解得. 所以的一个值可以是. 故答案为： 【变式8-1】AC 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 【变式8-2】（不唯一） 【分析】分离参数后，求出的最小值为，得出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意，，对恒成立， 因为，所以当时，的最小值为， 所以， 【变式8-3】 【分析】利用基本不等式得到，再利用一元二次不等式在上恒成立得，从而可得实数的取值范围. 【详解】已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9. 因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得. 所以. ▌题型09 一元二次不等式有解问题 【典例9】 【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【变式9-1】B 【详解】原命题为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 【变式9-2】 【详解】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. 【变式9-3】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. ▌题型10 一元二次不等式的实际应用 【典例10】 【分析】（1）根据题意，进而根据题意建立方程关系得，此时可建立函数关系，再结合基本不等式求解最值即可得答案； （2）根据题意解即可得答案. 【详解】（1）解：因为每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5， 所以，当时， 因为每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数 所以当时，， 因为在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元，、 所以，解得， 所以两项费用之和为， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，两项费用之和最小，为. 所以两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站千米处 （2）解：由（1）得两项费用之和为， 要使两项费用之和不超过13.5万元，即， 整理得，解得， 所以仓库到车站的距离应该在范围内. 【变式10-1】B 【分析】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 【变式10-2】 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 【变式10-3】 【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的取值范围即可； （2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本， 销售额为，成本为， 故利润函数为：， 要求日获利不少于1300元，即解不等式：， 化简得：，解得：， 又因为，故日产量为20到45之间的整数. （2）设土地占地费，库存货物费， 由题意知，当时，， ， 得：，所以，即； ，所以，即， 则两项费用之和为：， 由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立， 此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $