精品解析：广东揭阳第一中学2026-2027学年高一上学期入学教育数学试卷

107届入学教育数学学科 试卷说明： 1．试卷分值：120分；时长：120分钟； 2．请将答案正确填写到答题卡相应的区域． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的垂心一定在三角形内部 B. 三角形三个内角的平分线的交点是重心 C. 三角形的内心一定在三角形内部 D. 三角形三条高线的交点是外心 2. ，在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 下列写法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将分解因式得（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，在中，，于点D，下列结论中错误的是（ ）. A. B. C. D. 7. 若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的顶点和顶点恰好在反比例函数（）的图象上，点为轴负半轴上一点，边与第二象限内反比例函数图象交于点，，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是一个完全平方式，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于二次根式化简的过程，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正实数a、b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 设，且，则______. 13. 在中，，，，且为重心，为外心，则______． 14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________． 15. 若已知二次函数经过点，且在轴上截得的线段长为2，则该抛物线的解析式为__________. 四、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程：. 17. 在中，，，求内切圆的半径和外接圆的半径． 18. 已知全集，集合，． （1）若集合表示图中阴影部分，求集合； （2）若集合，，，⊆，求实数的取值范围. 19. 已知是定义在上的奇函数． （1）求，的值及的解析式； （2）判断在定义域上的单调性，并证明； （3）解不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 107届入学教育数学学科 试卷说明： 1．试卷分值：120分；时长：120分钟； 2．请将答案正确填写到答题卡相应的区域． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的垂心一定在三角形内部 B. 三角形三个内角的平分线的交点是重心 C. 三角形的内心一定在三角形内部 D. 三角形三条高线的交点是外心 【答案】C 【解析】 【详解】逐一分析各选项： 选项A：垂心是三角形三条高线的交点，锐角三角形垂心在内部，直角三角形垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外部，故A错误； 选项B：三角形三个内角平分线的交点是内心，重心是三角形三条中线的交点，故B错误； 选项C：内心是三角形内切圆的圆心，为三个内角平分线的交点，始终位于三角形内部，故C正确； 选项D：三角形三条高线的交点是垂心，外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，故D错误. 2. ，在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，再结合数轴上与的关系即可求解. 【详解】由数轴可知，，所以； 又因为，所以， 所以. 3. 下列写法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于AB，因为集合中只有一个元素， 所以，，故A错误，B正确； 对于CD，是不含任何元素的集合， 所以，，故CD错误. 4. 将分解因式得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原式. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】，不能推出，但由能推出，应为必要不充分条件. 故选：B. 6. 如图，在中，，于点D，下列结论中错误的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形内角关系判断A；利用相似三角形性质判断BCD. 【详解】在中，，于点D， 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，则，即，B正确； 对于C，由，得，则，即，C正确； 对于D，，则，即，D错误. 故选：D 7. 若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集. 【详解】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 8. 如图，正方形的顶点和顶点恰好在反比例函数（）的图象上，点为轴负半轴上一点，边与第二象限内反比例函数图象交于点，，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过反比例函数与正方形的性质求出的直线方程，再与反比例函数联立即可求出点的坐标. 【详解】由题可知点和顶点在反比例函数（）的图象上，则，即， 又为正方形，即， ，则， 从向轴作垂线，垂足为， 则，解得，则， 设所在直线方程为，代入点坐标得：，解得， 故所在直线方程为， 联立直线与反比例函数解析式得： ， 解得或，  点的坐标为， 点的坐标为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是一个完全平方式，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】 完全平方公式的结构为：， 对比题干： 可得，，即，， 因此完全平方式的中间项系数为， 对应原式中间项可得：，解得，即或. 10. 下列关于二次根式化简的过程，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，原分式中分母不为零可得，化简之后的分式定义域为，故错误； 对于B，，正确； 对于C，原分式中定义域为，而化简过程中也不能取到4，故错误； 对于D，，正确. 11. 已知正实数a、b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可判断选项；将表示成，代入，利用二次函数即可求出的最小值；根据基本不等式“1”的应用，求的最小值即可判断选项；先求出的最大值，即可判断选项. 【详解】解：选项，由正实数a、b满足，则， 所以，当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，选项正确； 选项，由，则，所以， 则当时，取最小值为，选项正确； 选项，由， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选项错误； 选项，因为，由可知， 所以，当且仅当时取等号， 此时取最大值2，所以的最大值为，选项正确. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 设，且，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用立方差公式分解因式，再代入计算即得. 【详解】由，得. 故答案为：4 13. 在中，，，，且为重心，为外心，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】易知是以为斜边的直角三角形，求得外接圆半径利用重心性质可得结论. 【详解】根据题意可知满足，所以为直角三角形，且为斜边，如下图所示： 又为外心，可得为的外接圆半径，即, 因为为重心，利用重心性质可得. 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的定义域为，所以， 即的作用对象的取值范围为， 所以，解得， 即函数的定义域为. 15. 若已知二次函数经过点，且在轴上截得的线段长为2，则该抛物线的解析式为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用二次函数的两点式，分类讨论结合待定系数法计算即可. 【详解】因为抛物线与轴有交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，则根据抛物线在轴上截得的线段长为2， 可知， 又已知，所以不妨设，则可得或. 若，设，代入点坐标，得， 此时解析式为； 若，则设，代入点坐标，得， 此时解析式为. 综上，抛物线的解析式为或. 故答案为：或 四、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程：. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用换元法求解即得. 【详解】设，则， 原方程化为，即，解得或， 当时，，无解； 当时，，解得， 经检验是原方程的根， 所以原方程的根为. 17. 在中，，，求内切圆的半径和外接圆的半径． 【答案】，. 【解析】 【详解】如图：作于，则，， 面积，半周长，故. 外接圆半径. 18. 已知全集，集合，． （1）若集合表示图中阴影部分，求集合； （2）若集合，，，⊆，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】(1)解一元二次不等式求出集合，由Venn图可知，结合集合求解即可； (2)求出进而确定集合，由⊆分类讨论和两种情况，结合韦达定理求解实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意，集合，因为全集.所以或.由图可知，阴影部分表示的集合.又因为，所以或所以或或或. 【小问2详解】 因为或，，所以或.则.因为，且，所以集合的元素必须是集合中的元素，或者为空集.方程的判别式. ①当时，，即，解得，此时满足； ②当时，即或.（ⅰ）若，即. 当时，方程为，解得，此时.因为，所以，符合题意； 当时，方程为，解得，此时.因为，所以，舍去； (ⅱ)若，即或，方程有两个不相等的实数根.由韦达定理可知. 若，则.但在集合中，任意两个元素（可相同）的积为，，. 其中积为4的情况对应，这属于的情况，已在(ⅰ)中讨论. 对于，需，此时中不存在两个不同元素之积为4，故不存在满足条件的.综上所述，实数的取值范围是. 19. 已知是定义在上的奇函数． （1）求，的值及的解析式； （2）判断在定义域上的单调性，并证明； （3）解不等式：． 【答案】（1） （2） 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. （3） 【解析】 【小问1详解】 由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $