精品解析：广东深圳实验学校2026-2027学年高一上学期摸底考试数学试题

深圳实验学校高一摸底考试 数学 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题：本大题共10个小题；每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知 ， 因为，因此 ； 而 ， 因为，因此 ， 所以 原式. 2. 设，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先对所求代数式分组变形得到含的结构，再根据的表达式求出的值，代入即可求解. 【详解】由题意得 ，  令，则原式可化为， 由，变形得，两边平方得   ， 整理得，两边同除以4得， 即， 将代入得  . 3. 如果多项式，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法将多项式转化为非负完全平方式与常数之和的形式，再根据完全平方式的非负性即可求出的最小值． 【详解】由 又，，则， 所以的最小值是． 4. 设，，且，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，是一元二次方程的两根，从而根据韦达定理得到与的值，进而将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】由，，且， 则，，且， 所以，是一元二次方程的两根， 所以，， 所以． 5. 在菱形中，若，，则菱形的内切圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设结合等面积法可得内切圆半径，据此可得答案. 【详解】设菱形内切圆圆心为，内切圆半径为，菱形面积为， 则 ，由题设可得该菱形为两全等正三角形构成， 则，，从而， 则内切圆面积为. 6. 如图，是以为直径的半圆弧和圆心角为45°的扇形，则图中Ⅰ的面积和Ⅱ的面积的比值是（ ） A. 1.6 B. 1.4 C. 1.2 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】设直径的长度为，半圆的面积为，扇形的面积为， 则，，则. 设题图中空白部分的面积为，则,, 则，故. 7. 已知一个三角形的三边长都是整数，且周长为8，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形三边关系结合周长条件确定三边长，再通过等腰三角形高的计算求出面积. 【详解】设三角形三边长为、、，且满足，且、、均为正整数，由题意得. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，因此，代入周长公式得 ，解得. 又因为是最大边，故，结合为整数，可得，此时. 结合，可得，，即三角形三边长为2、3、3，为等腰三角形. 取长度为2的边为底边，底边上的高，因此三角形面积. 8. 对于任意实数，，，，定义有序数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，，都有，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据运算“”的定义可得 ， 由题设可得到方程组 ，整理为 ， 因为上述等式对任意实数均成立，所以各项系数均为0， 即， 解得，即. 9. 已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设，将两式相加可得，进而解方程即可求解. 【详解】由，， 则， 则，解得（舍去）或， 所以实数t所有可能值的和为1. 故选：C. 10. ，则的整数部分等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用放缩法进行求解. 【详解】当时，， 所以 所以， 当时，， 所以 则，所以，则的整数部分等于3. 【点睛】易错点：放缩的时候注意需要切合题意，注意计算的时候不要出错. 二、填空题：每小题4分，满分24分． 11. 已知一组数据24，27，19，13，，12的中位数是21，那么的值等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】讨论的大小，结合中位数定义可得答案. 【详解】由中位数定义，数据从小到大排序第三个，第四个数据平均数为. 若，则第三个数据为，第四个数据为，这与题设不符； 若，则第三个数据为，第四个数据为，则， 这与不符； 若，则第三个数据为，第四个数据为，则； 若，则第三个数据为，第四个数据为，则，这与题设不符. 综上可得：. 12. 两条直角边长分别是整数，（其中），斜边长是的直角三角形的个数为________． 【答案】 31 【解析】 【分析】据勾股定理建立与的等量关系，结合的取值范围确定的取值特征及范围，统计符合条件的的个数即可. 【详解】由勾股定理可得：， 展开并整理得：，即， 因为是正整数，且， 则，且， 解得，且； 又因为是正整数，且为奇数， 故为正奇数，因为，， 所以符合条件的为，故满足条件的直角三角形的个数为. 13. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是________． 【答案】 【解析】 【详解】同时掷这两枚骰子的试验有个基本事件，它们等可能， 其中朝上的面两数字之和为5的事件包含的基本事件有，共4个， 所以朝上的面两数字之和为5的概率. 14. 如图，双曲线（）与矩形的边、分别交于点、，且．连接，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点坐标为，利用点为中点及在双曲线上求出的值，进而表示出点坐标，利用割补法求三角形面积. 【详解】设点的坐标为，其中．   四边形是矩形， ，，，，，．  ， 为线段的中点，即点的坐标为．   点在双曲线上， ，解得．   点在边上，且在双曲线上，   点的纵坐标为，横坐标为，即．  ，．             . 15. 设，那么________． 【答案】 【解析】 【详解】在中， 取，得，取，得， 所以. 16. 中，、分别是、上的点，且，，设与交于点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】作平行辅助线构造相似三角形，再证明出，利用相似可得出角相等，即可求解. 【详解】解：如图，作，，交于点， 四边形是平行四边形. ，四边形是矩形， ，，， 又，故为等腰直角三角形， 因，故为等腰直角三角形， 和是等腰直角三角形， ，，， ，，， ，，，， ，，因与互为对顶角，因此. 三、解答题：本大题共5小题，满分46分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17. （1）计算； （2）解方程． 【答案】（1）2； （2）或. 【解析】 【详解】（1）原式； （2）方程， 令，则即， 所以或， 当时，即， 因为判别式，所以方程无解； 当时，即，所以或. 综上，原方程解为或. 18. 如图，已知直线与双曲线（）的图象交于,两点，且点的横坐标为4． （1）求的值； （2）过原点的另一条直线交双曲线（）于，两点（点在第一象限，且点的横坐标小于4）．若由点，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意知，则，即. 因为点也在双曲线（）上， 所以，解得. 【小问2详解】 由题意，得，关于原点对称，即. 同理，得， 则点，，，组成的四边形为平行四边形， 则. 设，过点向轴作垂线，垂足为， 过点向轴作垂线，垂足为，连接，如图. 易得， 则. 设梯形的面积为， 在四边形中，， 则， 整理，得，解得或（舍去）. 故点的坐标为. 19. 如图，与相外离，的半径为2，的半径为1，，为连接两圆圆心的线段上的一点，切于点，切于点． （1）若，求的长； （2）试问线段上是否存在一点，使，若存在，问这样的点有几个？并求出的值；如果不存在，说明理由； （3）当点在线段上运动到某处使时，．试问除上述情况外，当点在线段上运动到何处（说明的长是多少）时，与仍相似，并判断此时直线与的位置关系，证明你的结论． 【答案】（1） （2）存在，满足条件的点只有一个，此时 （3）当时，有，此时直线与相切. 证明：当时，,此时， ∴. 又，∴， 如图，为的延长线上一点， 则，∴点在的角平分线上， ∴点到的距离相等, 又为的切线， ∴点到的距离都为1，即直线与相切. 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理及可列出关于的方程，解方程即可； （2）设，确定的范围，用的代数式表示，代入，可求出； （3）由相似三角形的性质和角平分线的性质可得点到的距离相等，再根据切线的判定方法即可解决问题. 【小问1详解】 ∵分别为，的切线，分别为，的半径， ∴. 由勾股定理可得. 又，∴. 又，是线段上的一点，∴， ∴，解得. 【小问2详解】 存在，假定存在一点，使得， 设，则， 由可得. 即， 代入可得，即， 解得（舍去），， ∴满足条件的点只有一个，此时. 【小问3详解】 略 20. 已知在直角中，，，，是边上的中线，直线，是边延长线上一点，交直线于点，将沿翻折得，射线交直线于点． （1）如图，当时，求的值； （2）如图，当点在点的右侧时：①求证：；②设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）在（2）的条件下，如果的面积为，求的长． 【答案】（1）4 （2）①证明：由翻折性质得：，， 因为是等边三角形，，所以，则， 所以， 因为，所以， 因为，所以，由公共角， 所以. ②，其中. （3）2 【解析】 【分析】（1）利用角的关系得到边的关系即可求解； （2）①利用角的大小关系，得到线的平行关系，进而利用三个角对应相等证明三角形相似； ②利用三角形的面积公式即可求解，注意自变量取值范围； （3）代入数值计算即可. 【小问1详解】 因为，是边上的中线，所以，则， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 ①略； ②因为，，，， 所以，则， 由相似得：，，所以，得到：， 到直线的距离：， 在右侧，，解得：. ，其中. 【小问3详解】 ，其中，解得：； 所以长为2. 【点睛】第二问注意自变量的取值范围. 21. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标； （2）设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ 【答案】（1）解析式，顶点 （2）存在满足条件的点，的坐标为 （3）向上最多可平移72个单位长度，向下最多可平移个单位长度 【解析】 【分析】（1）由抛物线过三点可求出抛物线表达式； （2）假设存在，设出点，解出直线的解析式，根据点到的距离等于可解出点坐标； （3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度. 【小问1详解】 由题意可设抛物线解析式为， 将代入，解得， 则得抛物线解析式为，顶点. 【小问2详解】 假设满足条件的点存在，则可设. 由求得直线的解析式为， 它与轴的夹角为. 设的中垂线交于，则.， 则点到的距离为， 又，由题意，， 平方并整理得：，解得 所以存在满足条件的点，的坐标为. 【小问3详解】 由上可得，， ①若抛物线向上平移，可设解析式为， 当时，；当时，. ∴或，∴ ； ②若抛物线向下平移，可设解析式为 由， 有，由，解得， 综上可得，将抛物线向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长 22. （1）求函数的最小值及对应自变量的取值； （2）求函数的最小值及对应自变量的取值； （3）求函数的最小值及对应自变量的取值； （4）求函数的最小值及对应自变量的取值． 【答案】（1），此时. （2），此时. （3）当时，，此时； 当时，，此时. （4），此时. 【解析】 【分析】第（1）题中的表示数轴上点到点的距离之和，当 时，距离和恒为 ；由数轴可知，若在区间外，的值更大，故最小值为，此时； 第（2）（3）题中的表示数轴上点到点，，距离之和，可证明最小值在“中位数”处取得； 第（4）题可表示为，相当于点到点加权距离之和，可证明最小值在“加权中位数”处取得. 【详解】（1）函数表示数轴上点到点的距离之和. 当时，距离和恒为 ；由数轴可知，若在区间外，的值更大，故最小值为，此时； （2）函数表示数轴上的点到点距离之和， 数据的中位数为 ， 当 时，， 当时，, 故. （3）函数表示数轴上点到点，，距离之和， 当时，中位数为， 若,则 若,则,那么 所以， ，此时; 当时，设中位数为，则， 若，则 ， 若在区间外，的值更大，故，此时 综上，当时，，此时； 当时，，此时. （4）函数 相当于点到点加权距离之和的最小值，最小值在“加权中位数”处取得， 总权重为，，故中位数为， 那么， 此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高一摸底考试 数学 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题：本大题共10个小题；每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 设，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 如果多项式，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，且，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在菱形中，若，，则菱形的内切圆面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是以为直径的半圆弧和圆心角为45°的扇形，则图中Ⅰ的面积和Ⅱ的面积的比值是（ ） A. 1.6 B. 1.4 C. 1.2 D. 1 7. 已知一个三角形的三边长都是整数，且周长为8，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意实数，，，，定义有序数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，，都有，那么为（ ） A. B. C. D. 9. 已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（ ） A. B. C. 1 D. 10. ，则的整数部分等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：每小题4分，满分24分． 11. 已知一组数据24，27，19，13，，12的中位数是21，那么的值等于_______． 12. 两条直角边长分别是整数，（其中），斜边长是的直角三角形的个数为________． 13. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是________． 14. 如图，双曲线（）与矩形的边、分别交于点、，且．连接，则的面积为________． 15. 设，那么________． 16. 中，、分别是、上的点，且，，设与交于点，则________． 三、解答题：本大题共5小题，满分46分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17. （1）计算； （2）解方程． 18. 如图，已知直线与双曲线（）的图象交于,两点，且点的横坐标为4． （1）求的值； （2）过原点的另一条直线交双曲线（）于，两点（点在第一象限，且点的横坐标小于4）．若由点，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标． 19. 如图，与相外离，的半径为2，的半径为1，，为连接两圆圆心的线段上的一点，切于点，切于点． （1）若，求的长； （2）试问线段上是否存在一点，使，若存在，问这样的点有几个？并求出的值；如果不存在，说明理由； （3）当点在线段上运动到某处使时，．试问除上述情况外，当点在线段上运动到何处（说明的长是多少）时，与仍相似，并判断此时直线与的位置关系，证明你的结论． 20. 已知在直角中，，，，是边上的中线，直线，是边延长线上一点，交直线于点，将沿翻折得，射线交直线于点． （1）如图，当时，求的值； （2）如图，当点在点的右侧时：①求证：；②设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）在（2）的条件下，如果的面积为，求的长． 21. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标； （2）设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ 22. （1）求函数的最小值及对应自变量的取值； （2）求函数的最小值及对应自变量的取值； （3）求函数的最小值及对应自变量的取值； （4）求函数的最小值及对应自变量的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $