2.3 直线的交点坐标与距离公式（八大重点题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线交点与距离公式，以8大重难点题型构建从基础计算到实际应用的递进训练，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |交点坐标|6题|含参数交点位置判断、三线共点|从方程组求解到参数范围推理| |三线围三角形|6题|含平行、共点及面积最值|直线位置关系的综合应用| |两点间距离|8题|含空间坐标、最值及几何应用|距离公式的直接与转化应用| |点到直线距离|7题|含距离计算、参数求解及最值|公式直接应用与几何意义理解| |平行线间距离|7题|含平行条件、距离计算及参数|公式应用与直线平行判定结合| |光线反射|7题|含坐标轴、直线反射及路程计算|对称思想在几何中的应用| |将军饮马|6题|含最短路径及距离计算|对称转化思想解决最值问题| |综合问题|6题|含直线方程、面积及垂直关系|多知识点融合的综合应用|

专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 目录●重难点题型分布 重难点题型1 求两条直线的交点坐标 1．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．设，若直线与线段相交，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知三条直线，，相交于一点，则____________. 5．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 6．直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 重难点题型2 三线围成三角形问题 1．（25-26高二上·全国·期中）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 2．已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 3．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为（    ） A． B． C． D． 4．方程的图象与轴围成的图形的面积是___. 5．直线和及轴所围成的三角形的面积为______. 6．若三条直线，，不能围成一个三角形，则实数的取值范围是__________． 重难点题型3 两点间的距离公式 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（26-27高二上·全国·课后作业）已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 6．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 8．（25-26高二上·湖南湘潭·期中）已知的三个顶点，，，则的面积为_____. 重难点题型4 点到直线的距离公式 1．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 4．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 5．（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 6．（25-26高二下·广西钦州·开学考试）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 7．（25-26高二上·辽宁·期中）已知直线，当k变化时，点到直线l的距离的取值范围是______. 重难点题型5 两条平行线间的距离公式 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 6．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知直线与平行，则与的距离为______． 7．（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线：与：相互平行，则与之间的距离为______. 重难点题型6 光线反射问题 1．（25-26高二上·海南·期末）一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，点是边上异于、的一点.光线从点出发，经过、反射后又回到点.若光线经过的重心，且，则（   ）    A． B． C．2 D． 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为___________． 6．（24-25高三·全国·一轮复习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 7．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是______. 重难点题型7 将军饮马问题 1．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖南益阳·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 5．唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为__________. 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 重难点题型8 综合问题 1．（2026高二·全国·专题练习）设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 3．（2026·河北沧州·三模）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 4．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 5．（25-26高二上·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 6．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 目录●重难点题型分布 重难点题型1 求两条直线的交点坐标 1．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 2．（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标 【分析】解两直线构成的方程组即可. 【详解】由，解得， 所以直线和的交点坐标为， 故选：B 3．设，若直线与线段相交，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】斜率公式的应用、由直线交点的个数求参数 【分析】根据直线经过定点，又由直线与线段相交，可得或，即可求解． 【详解】由题意，直线，即，所以直线经过定点， 又由斜率公式，可得，． ∵直线与线段相交， ∴或，则的取值范围是． 故选． 【点睛】本题考查了斜率计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．已知三条直线，，相交于一点，则____________. 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 由点在直线上，得，所以. 故答案为：3 5．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标 【分析】利用方程组求解交点即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以交点坐标为， 故答案为： 6．直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线交点的个数求参数 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 重难点题型2 三线围成三角形问题 1．（25-26高二上·全国·期中）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题 【分析】利用至少两直线平行或三条直线交于同一点进行求解． 【详解】三条直线，与不能围成三角形， ①若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ②若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ③若三条直线交于同一点，则联立，得， ∴交点坐标为，代入直线，得， ∴． 综上所述，则或或. 故选：D. 2．已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三线能围成三角形的问题 【分析】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得． 【详解】已知三条直线能构成三角形，首先不平行， 若，则三条直线围成三角形， 若，则，，解得， 时，由，得，代入得，或，因此 综上：且． 故选：C． 3．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、三线能围成三角形的问题 【解析】由直线，，可得，，代入三角形面积计算公式，再令，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出． 【详解】由直线，， 可得，， 所以当的面积， 令，所以， 所以当，即时，取得最小值． 故选：C 【点睛】求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基本不等式或用求导的方法． 4．方程的图象与轴围成的图形的面积是___. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题 【分析】先化简题中方程得到两条直线，得到其图象与轴围成的图形为三角形，进而求得其面积. 【详解】由可得， ， 或. 即原方程的图象与轴围成的图形是三角形. 直线与交点为. 又直线与在轴上的截距分别为. 则围成的图形面积为    故答案为： 5．直线和及轴所围成的三角形的面积为______. 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】三线能围成三角形的问题 【分析】分别求出两直线交点坐标和两直线与轴交点坐标，根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由得交点坐标为： 又两条直线与轴交点分别为：， 所求三角形面积为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查直线与坐标轴围成三角形面积的求解，关键是能够通过直线求得交点坐标，进而得到面积. 6．若三条直线，，不能围成一个三角形，则实数的取值范围是__________． 【答案】或或 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、由直线的交点坐标求参数、三线能围成三角形的问题 【详解】（1）两线平行：，解得或-1； （2）三线共点：由得，，代入直线，得， 综上，或或． 重难点题型3 两点间的距离公式 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】利用空间两点间距离公式可构造方程，从而得到所求点坐标. 【详解】设所求点为. 由得， 解得，因此所求点为. 2．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的值域或最值、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 3．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】从中解出，代入得到，则表示点到点的距离与点到点的距离之和，故的最小值就是的值，利用两点间距离公式求解即可得解. 【详解】是正数，，，，，， ， 表示点到点的距离与点 到点的距离之和， 的最小值就是的值，且， 的最小值即的最小值为. 故选：A.    4．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据弦长公式判断最值并求解. 【详解】直线，即，所以直线恒过点， 圆，即，圆心为，半径， 当最小时，点到直线的距离应最大， 即时，最小，此时，． 故选：C． 5．（26-27高二上·全国·课后作业）已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】找到点关于直线的对称点，即可得到即为的最小值. 【详解】    如图所示，设点关于直线的对称点为，则，， 连接， ， 则即为的最小值， ， 所以为的最小值为． 6．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】对勾函数求最值、求平面两点间的距离 【分析】根据两点间距离公式列出表达式，经整理并换元，令，可将问题转化为求函数（）的最小值. 【详解】由题意可得 ， 令，由于，函数在上单调递增， 故， 则， 由于，在上单调递增，故， 即的最小值为1，故动点与点的距离的最小值是1， 故答案为：1 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 8．（25-26高二上·湖南湘潭·期中）已知的三个顶点，，，则的面积为_____. 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】根据题意可得，且直线，即可得点到直线的距离，进而可得面积. 【详解】由题意可知：，且直线， 点到直线的距离， 所以的面积为.故答案为：3. 重难点题型4 点到直线的距离公式 1．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】求点到直线的距离 【详解】点到直线的距离为. 2．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】由题意可得点为单位圆上的点，再利用点到直线距离公式计算可求出距离最大值，即可得A、B；利用点到直线距离公式结合圆的半径计算即可得C、D. 【详解】易知点的轨迹为单位圆； 对于A，B，圆心O到直线的距离为， 则，当时等号成立， 所以或5取不到，因此A，B均错误； 对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离， 即，解得，所以C正确，D错误. 3．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 4．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和，    令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 5．（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 【答案】 【难度】0.92 【知识点】求点到直线的距离 【详解】点到直线的距离是. 6．（25-26高二下·广西钦州·开学考试）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、求点到直线的距离 【分析】根据条件得到，令，可得，即可求解. 【详解】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 7．（25-26高二上·辽宁·期中）已知直线，当k变化时，点到直线l的距离的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】由题意可知直线过定点，从而可求到直线l的距离的最大值，再由，即可得答案. 【详解】因为直线，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，到直线l的距离最大， 此时， 又因为当直线过点时，，所以. 故答案为：. 重难点题型5 两条平行线间的距离公式 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 2．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知点到直线距离求参数、求平行线间的距离 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 3．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】根据两直线平行，可得a值，代入两平行线间距离公式，即可得答案. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，则直线为，即， 则两直线间的距离. 4．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】因为直线互相平行， 所以，解得：， 所以直线， 由两直线之间的距离为，可得，解得：或， 当时，直线，满足条件； 当时，直线，满足条件； 故选：C 5．（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】利用直线平行可求出的值，利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为，即， 故这两平行直线间的距离为. 6．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知直线与平行，则与的距离为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】先根据两直线平行求出，然后求出平行直线间的距离即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得. 所以直线变为，即. 则与的距离为. 故答案为：. 7．（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线：与：相互平行，则与之间的距离为______. 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】先由两平行线间系数关系求出，再由两平行线间距离公式求解即可. 【详解】因为直线：与：相互平行， 所以， 所以：， 所以与之间的距离为. 故答案为：2. 重难点题型6 光线反射问题 1．（25-26高二上·海南·期末）一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】设 ，根据题意，易判断点 在轴的同一侧，所以 ，则点 关于 轴的对称点为 ，根据对称及两点间的距离公式可求得的值，从而求得反射光线所在直线的方程. 【详解】设 ，根据题意，点在轴的同一侧， 所以 ，点关于轴的对称点为 . 因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 .    反射光线所在的直线即直线 ，由 ， 得直线 的斜率为， 所以其方程为，即 . 故选：D. 2．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】线段的中点为，即，， 所以图纸折痕所在直线方程为：， 令，得， 因为轴与直线正好重合， 所以点在直线上，所以有， 直线与直线以及轴相交于点， 得，即，代入，得， ， 故选：C 3．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，点是边上异于、的一点.光线从点出发，经过、反射后又回到点.若光线经过的重心，且，则（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解出的长度. 【详解】建立平面直角坐标如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点，设，    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 故选：D. 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标即可求得入射光线所在直线的方程． 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为入射光线经过点，所以所在直线的斜率为， 则入射光线所在直线方程为，即． 故选：D. 5．（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】先设点B的对称点，应用对称性得出对称点，再应用点斜式得出直线方程. 【详解】设关于直线的对称点， 所以，所以， 所以， 由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率， 所以入射光线所在的直线方程为． 故答案为：． 6．（24-25高三·全国·一轮复习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】先根据点关于直线对称得出，又点，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 7．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】作出点关于直线的对称点，点关于轴的对称点C，从而将题目问题转化为求解. 【详解】如图， 点关于直线的对称点为，则，即， 解得，即点关于直线的对称点为，又点关于轴的对称点为， 则光线所经过的路程为. 故答案为： 重难点题型7 将军饮马问题 1．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 2．（23-24高二上·湖南益阳·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C 3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【详解】由关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：D 4．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】求出点关于直线对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：    5．唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】首先利用点关于线的对称求出点,进一步利用两点间的距离公式的应用求出的长． 【详解】设军营所在位置为， 若将军从处出发，河岸线所在直线方程为， 故点关于对称点的坐标， 所以，解得；即． 设直线上任一点N，，即当且仅当Q，N，三点共线时取最小值， 即． 即“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】点关于的对称点为，则最小值即为点到圆心的距离与半径的差，求出即可. 【详解】设：，圆心为，半径为 点关于的对称点为 则，解得，即 则“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 重难点题型8 综合问题 1．（2026高二·全国·专题练习）设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)； (2)最小值为2，直线的方程为. 【难度】0.72 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的斜截式方程及辨析、直线图象的辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）由题意得到不等式组，求解即可； （2）表达出三角形面积，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为：不经过第二象限， 则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为直线的方程为， 令，得；令，得； 且，则，， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为2，此时直线的方程为. 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)① ；②或 【难度】0.7 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标、求点到直线的距离 【详解】（1）直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：， 由，得，则， ①直线的斜率为， 因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为， 化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 3．（2026·河北沧州·三模）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1) (2)4，． 【难度】0.66 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线过定点问题、求点到直线的距离、直线围成图形的面积问题 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论； （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由，可得，则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 此时直线的方程为 ，即． 4．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【答案】(1) (2)直线的方程为； 【难度】0.76 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）首先求的中点坐标，再求直线方程； （2）根据垂直关系求直线的斜率，再求直线方程；联立直线和的方程，求交点坐标. 【详解】（1）设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； （2）， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 5．（25-26高二上·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 【答案】(1)或 (2)或或或 【难度】0.67 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、直线的点斜式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】(1)利用两直线的夹角公式，即可列方程求解斜率，然后求直线方程； (2)利用设直线方程求与坐标轴的横纵截距，结合面积可得斜率方程求解即可. 【详解】（1）已知，则直线斜率， 设​斜率为 ​，两直线夹角，由两直线夹角公式： 代入得： ​，整理得，解得 ​或， 结合过，整理得的方程为：或 ； （2）设斜率为，方程为，令得：纵截距， 令得：横截距， 由题意面积， 整理得： ，分情况求解： 当时，方程化为，解得或； 当时，方程化为，解得或， 综上可得直线的斜率为或或或. 6．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）先求出交点坐标，再根据两直线平行关系设直线方程，代点即可计算即可. （2）分两种情况：横纵截距均为0时以及横纵截距均不为零时，分别求出直线的方程即可. （3）根据两直线垂直关系求出直线的方程，进而求出三角形的周长即可. 【详解】（1）由题意联立，解得，即直线过点， 设与直线平行的直线的方程为且， 将点代入可得，解得， 所以直线的方程为； （2）由（1）直线过点， ①横纵截距均为0时，设直线方程为， 即，解得，即； ②横纵截距均不为零时，设横截距为，则纵截距为，则直线方程为， 将代入得，则， 则直线方程为，即； 综上，直线的方程为或. （3）由（1）直线过点， 由直线和题意可设直线的方程为， 将点代入可得，可得，即直线的方程为， 令，可得；令，可得， 即直线在，轴上的交点分别为，， 所以，又，， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为.    1 学科网（北京）股份有限公司 $