2.4 圆的方程（八大重点题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.4 圆的方程 目录●重难点题型分布 重难点题型1 求圆的标准方程 1．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心和半径. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心的坐标为，半径. 故选：A 4．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可. 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线方程为， 即，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 5．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【难度】0.92 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 6．（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【详解】圆的圆心的坐标为． 7．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 8．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知，两点． (1)求以线段为直径的圆的标准方程； (2)若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)．（除两点）. 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）求线段中点，然后确定圆的半径，即可求得圆的标准方程； （2）设坐标，由中点坐标公式得到点与点坐标的关系式，由题意可知点在（1）中的圆上，从而求得点的轨迹方程. 【详解】（1）因为为直径，则的中点为， 所以圆心为， 半径， 所以圆的标准方程为. （2）设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得， 所以， （1）知，点的轨迹方程为， 将代入得， 即. 又∵，∴， ∴动点的轨迹方程为．（除两点）. 重难点题型2 求圆的一般方程 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.86 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 2．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的弧长、面积、圆心角等计算 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积. 3．已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】整理圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B. 4．（25-26高二上·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、求圆的一般方程 【分析】（1）求出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，求出直线的斜率，根据可求得直线的斜率，再利用斜截式方程可得出直线的方程； （3）设的外接圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】（1）因为，且，故直线的斜率为， 因为经过，所以直线的方程为，即. （2）因为线段的中点，且，， 故直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 因为，解得， 所以的外接圆方程为. 5．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）的三个顶点是．求： (1)边的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、由两条直线垂直求方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）求出BC中点，由直线BC斜率得其垂直平分线斜率，点斜式写出方程； （2）由待定系数法列方程组求解圆的方程. 【详解】（1）因为，所以BC中点坐标为，即， 又，所以所求直线的斜率， 所以所求直线方程为，即. （2）设的外接圆方程为， 则，解得， 所以所求圆的方程为. 重难点题型3 圆的轨迹方程 1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）由方向向量确定直线斜率，进而由点斜式即可求解； （2）法一：由即可求解，法二：设线段的中点为，由，结合圆的方程即可求解. 【详解】（1）设直线的斜率为， 因为直线的一个方向向量为，所以， 所以直线的方程为，即； （2）方法一：设，因为三点不共线，所以. 因为，且斜率均存在，所以， 又，所以，化简得， 因此，直角顶点C的轨迹方程为，即. 方法二：线段的中点为，由中点坐标公式得， 由直角三角形的性质知, 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 （由于三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 所以直角顶点的轨迹方程为. 2．（25-26高二上·广东广州·阶段检测） 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）线段的中点的坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 由，解得，所以， , 所以圆的标准方程为. （2）设，，由于是线段的中点，已知， 则，即，所以， 将点的坐标代入圆的方程得， 整理得点的轨迹方程为：. 3．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】（1）设，根据结合两点间距离公式运算求解即可； （2）设，根据中点可得，代入圆的方程运算求解即可. 【详解】（1）设， 由题意可知：，即， 则，整理可得， 所以动点的轨迹方程为； （2）设， 因为点为线段的中点，且，则， 又因为点在圆上运动， 则，可得， 所以点的轨迹方程为. 4．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1) (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——圆 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 重难点题型4 判断点与圆的位置关系 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断点与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 2．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 3．（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】将点的坐标代入圆的方程，即可判断. 【详解】因为，所以点在圆的外部． 故选：A. 5．（24-25高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【答案】外部 【难度】0.94 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可. 【详解】因为，所以点在圆C的外部． 故答案为：外部. 6．点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 【答案】在圆内 【难度】0.94 【知识点】判断点与圆的位置关系、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】利用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点与圆的位置关系即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2 点到圆心的距离， 因为，所以点在圆内． 故答案为：在圆内 重难点题型5 由点与圆的位置关系，求参数 1．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】点与圆的位置关系求参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 2．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 3．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】点与圆的位置关系求参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【详解】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】由定点在圆的外部得，求得的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】由圆的标准方程及点与圆的位置关系判断. 【详解】由圆的方程可化为，  ，又点在圆外，则，，综上. 故选：D. 6．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据方程表示圆及点在圆外列出不等式求解即可. 【详解】表示圆，故， 即，解得或. 因为点在圆外， 故，解得， 故实数的取值范围为或. 故选：D 7．（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 8．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知等腰三角形中，，，写出点C的一个轨迹方程______. 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】分，和三种情况求解. 【详解】由于为等腰三角形， 若，设，则， 化简得， 但由于三点不能共线，则与不共线， 得到， 所以， 即，结合，得， 所以点C的一个轨迹方程为； 若， 则点C的一个轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， 则点C的一个轨迹方程为； 同理当时，点C的一个轨迹方程为. 9．（25-26高二上·上海·期末）圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将一般方程配方后得标准方程，结合圆心在第三象限得关于的不等式组，从而可求其范围. 【详解】由题可得：圆的方程为：， 圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故答案为：. 重难点题型6 圆过定点问题 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆过定点问题 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故, 故选：B. 2．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】圆过定点问题 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】圆过定点问题 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 4．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】圆过定点问题、求平面两点间的距离 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 5．当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点________. 【答案】（0，－2）和（0，1） 【难度】0.85 【知识点】圆过定点问题 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 重难点题型7 与圆有关的最值问题 1．（2026高一·全国·专题练习）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为． (2)最大值为，的最小值为． (3)最大值为，最小值为． 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）将转化为圆上点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径，求出斜率的最值； （2）将转化为直线在轴截距的线性函数，利用圆心到直线的距离等于半径，求出截距的最值，进而得到所求； （3）将转化为圆上点到定点的距离的平方，利用定点到圆心的距离与半径的和、差，求出距离平方的最值. 【详解】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 2．（25-26高三上·广东清远·期中）已知实数、满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2) (3)最大值为，最小值为 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】1）设，即，则直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，即可得出结论； （2）设，即，则直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，即可得出结论； （3）是圆上点与原点的距离的平方，数形结合可得出的最大值和最小值. 【详解】（1）如图，方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即， 由题意可知，直线与圆有公共点， 所以，即，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 由题意可知，直线与圆有公共点， 所以，解得， 故的最小值为. （3）是圆上点与原点的距离的平方， 设圆与轴相交于点和（点在点左侧）， 且，， 则，． 故的最大值为，最小值为. 3．（23-24高二下·贵州黔西南·开学考试）已知实数满足 (1)求最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值. 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)最大值为，最小值为. 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）利用的几何意义：圆上一点与坐标原点连线的斜率，即可求出答案； （2）利用的几何意义：圆上一点到坐标原点距离的平方，即可求出答案； 【详解】（1）原方程化为：，表示以为圆心，为半径的圆， 设，即， 当直线与圆相切时，斜率取得最大值与最小值， 此时有：，解得， 所以的最大值为，最小值为. （2）表示圆上一点到原点距离的平方， 易知在原点与圆心的连线与圆的两个交点出取得最大值与最小值， 又圆心到原点的距离为，半径为， 所以 4．（24-25高二上·浙江金华·开学考试）已知x，y满足. (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）由点与圆的位置关系求解； （2）利用直线与圆的位置关系求解． 【详解】（1）可化为， 则点在以为圆心，3为半径的圆上， 圆心到原点的距离为（原点在圆外），因此圆上点到原点距离的最小值是， 所以的最小值是； （2）设，即， 由得，所以的最大值是． 重难点题型8 综合应用 1．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知直线. (1)求过点且和垂直的直线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）先由垂直关系求出和垂直的直线的斜率，再由点斜式求出其直线的方程； （2）由圆经过两点，根据圆心到两点的距离均等于圆的半径建立方程求出圆心和半径即可得答案； 【详解】（1）由题意，直线的斜率， 则所求直线的斜率， 代入点斜式方程得， ∴过点且和垂直的直线的方程为. （2）设圆心为，半径为 ∵圆心在直线上，，则点为， 由题意可得， 则，解得， ∴圆心的坐标为，半径， 圆的标准方程为. 2．（25-26高二上·广东佛山·期末）已知，，是轴正半轴上的一点. (1)若以为直径的圆经过，求的坐标； (2)若的面积是，求中边上高所在直线的方程. 【答案】(1)、 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、由圆心（或半径）求圆的方程、求点到直线的距离 【分析】（1）利用中点坐标公式和两点间的距离公式求出以为直径的圆的圆心和直径，再结合题目条件求出的坐标. （2）利用距离公式与面积公式建立方程，求出点的坐标；然后根据直线的斜率，确定其高的斜率（互为负倒数）；最后利用点斜式写出高所在直线的方程. 【详解】（1）已知，，则圆心坐标为， 半径，则圆的方程为， 圆经过，又是轴正半轴上的一点， 则，即，或， 故的坐标为或. （2）直线的斜率：， 方程为，即， ， 设，点到直线的距离为： 由的面积得： 即解得，即， 边上高的斜率等于直线斜率的负倒数，即， 过的直线方程为即. 3．（25-26高二上·全国·期末）已知动点与两个顶点，的距离之比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程； (2)已知，过直线上的动点（）分别作圆的两条切线，（，为切点），与交于点. （i）证明直线的方程为，并判断直线是否过定点； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标和面积最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）设，，易知为曲线C的圆心， 由与圆相切，可得直线的法向量为，    因此的方程为， 整理得，由在圆上得， 因此的方程为， 同理可得的方程为， 由两切线交于点，可得，这说明，在直线上， 因此直线的方程为，直线过定点； （ii）由，是圆的切线可得，因此为的中点， 由可得，在以为直径的圆上运动，该圆的圆心为，， 当位于点时，的面积最大，为， 此时，故，即， 因此存在使得面积最大，最大值为1. 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、直线过定点问题、求平面轨迹方程、轨迹问题——圆 【分析】（1）设，由两点间距离公式将几何关系转为代数运算并化简即可求解； （2）（i）先设，利用圆的切线性质（圆心与切点的连线垂直于切线），推导出切线PQ、PR的方程，再将动点P的坐标代入切线方程，得到Q、R满足的直线方程，从而确定直线QR的方程，最后判断其过定点； （ii） 先根据切线相关性质（结合几何关系或向量垂直等）确定N的位置特征，再得出N在以OB为直径的圆上运动，结合的底固定，通过分析高的最大值情况，利用直线斜率关系求出p的值，进而确定点P坐标和面积最大值. 【详解】（1）设，由题， 整理得，即； （2）（i）略 （ii）略 4．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）的三个顶点分别是、、 (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (3)求的外接圆方程； 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、由两条直线垂直求方程、由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）先求出边上的高所在直线的斜率，再由点斜式即可求得直线的方程； （2）设圆心，则，又圆过点、，所以，联立方程即可求解； （3）设圆的一般方程为，将、、三点代入，联立求解，即可得圆的方程. 【详解】（1）因为、，所以，则其高线的斜率， 又高线过点，所以高线所在的直线方程为，即； （2）设圆心，因为圆心在直线上，所以①， 又圆过点、，所以，即， 化简得②， 联立①②，解得，，圆的半径为， 所以圆的标准方程为； （3）设的外接圆方程为， 又、、在圆上， 所以可得，解方程组得， 所以的外接圆方程为，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 圆的方程 目录●重难点题型分布 重难点题型1 求圆的标准方程 1．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 4．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 5．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 6．（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 7．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 8．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知，两点． (1)求以线段为直径的圆的标准方程； (2)若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 重难点题型2 求圆的一般方程 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高二上·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 5．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）的三个顶点是．求： (1)边的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程． 重难点题型3 圆的轨迹方程 1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 2．（25-26高二上·广东广州·阶段检测） 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 3．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 4．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 重难点题型4 判断点与圆的位置关系 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 2．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 3．（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 5．（24-25高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 6．点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 重难点题型5 由点与圆的位置关系，求参数 1．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 8．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知等腰三角形中，，，写出点C的一个轨迹方程______. 9．（25-26高二上·上海·期末）圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 重难点题型6 圆过定点问题 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 2．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 4．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 5．当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点________. 重难点题型7 与圆有关的最值问题 1．（2026高一·全国·专题练习）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 2．（25-26高三上·广东清远·期中）已知实数、满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最小值； (3)的最大值和最小值． 3．（23-24高二下·贵州黔西南·开学考试）已知实数满足 (1)求最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值. 4．（24-25高二上·浙江金华·开学考试）已知x，y满足. (1)求的最小值； (2)求的最大值. 重难点题型8 综合应用 1．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知直线. (1)求过点且和垂直的直线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 2．（25-26高二上·广东佛山·期末）已知，，是轴正半轴上的一点. (1)若以为直径的圆经过，求的坐标； (2)若的面积是，求中边上高所在直线的方程. 3．（25-26高二上·全国·期末）已知动点与两个顶点，的距离之比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程； (2)已知，过直线上的动点（）分别作圆的两条切线，（，为切点），与交于点. （i）证明直线的方程为，并判断直线是否过定点； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标和面积最大值；若不存在，请说明理由. 4．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）的三个顶点分别是、、 (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (3)求的外接圆方程； 1 学科网（北京）股份有限公司 $