广东汕尾市陆丰市2026-2027学年高三上学期第一次教学质量监测数学试卷

2026一2027学年度第一学期高三第一次教学质量监测 数学试题 2026-9-1 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.己知集合A={x|x=3k,k∈N},B={x|x2-16<0},则A∩B=() A.{x|-3<x<3}B.{x|0<x<3}C.{-3,0,3} D.{0,3} 2.已知tana=2,则imr-a)+cosa 的值为() cos(-a) B. 2 2 3.在△ABC中，点D在BC边上且BD=2DC,O为AD的中点，则() A.Aò=3A店+4d B.0-+名d c.Ad=名A+34Ad D.A0=-名房-号4d 4.某市统计某月上旬(1日至10日)10天的空气质量指数如下： 88,54,79,10,16,40,59,67,111,62 空气质量等级标准如下表： 空气质量等级 优 良 轻度污染 空气质量指数 [0,50) [50,100] (100,150] 则下列结论正确的是() A.该月上旬空气质量指数的中位数小于50 B.该月上旬空气质量等级为良及以上的天数占比超过80% C.该月上旬空气质量指数的极差介于90到100之间 D.该月上旬空气质量指数的平均值介于30~50之间 5.已知正项等比数列{a}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=5S4一4S2,则S4=（) 15 65 A. C.15 D.40 8 B.8 数学试题第1页（共4页) 6.已知fx)是定义在R上的奇函数且fx)=f2-x),当一2≤x≤-1时x)=2x+3, 则f(一3)=() A.-2 B.-1 C.0 D.1 已知双曲线C-的左、有焦点分别为R,,P为双阿线右支上异 点的动点，△PF1F,的内切圆与x轴相切于点A,若点O是以A为圆心、半径为1的 圆上的动点，则9F的最小值为( ) A.2 B.V2 C.1 D.v2-1 8.设集合U={(x1,)|x,∈{1,2,3}，=1,2}，从集合U中随机选取三个点，则 这三个点能确定一个三角形的概率为() 21 21 D.3 14 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分（多选题2个答案对1个得 3分，3个答案对1个得2分，有选错的得0分) 9.若复数z满足(2十2)°=(2一)，为z的共轭复数，则() A.z的实部为1 B.z的虚部为5i C.-5∈R D.= 4 10.如图，棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，点P为线段BC1 D 上的动点，则下列说法正确的是（) A.存在点P,使AC1⊥平面A1PD B.平面PBD1⊥平面AB1C C.三棱锥D1一ADP的体积不是定值 D.若B乎=BC,则过P,D,B,三点的平面截正方体所得截面的面积为2V6 11.设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原 点O.且C上的点满足：横坐标大于一3，到点F(3,0)的距离与到定直线x=a(a<0) 的距离之积为9，则() A.a=-3 B.点(3V2,0)在C上 C.曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(o,)在C上时，6≤9 +3 数学试题第2页（共4页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.曲线y=x3十2x在点(1,3)处的切线方程为 13.已知a,B∈（0)eos(a+)-号且incin=合，则ana+tanB的值为 2 14.有甲、乙两道谜题，玩家猜对甲谜题的概率为，猜对乙谜题的概率为，·规则如 下：只有猜对第一道谜题，才有资格猜第二道谜题，每道题只猜1次，玩家可以自 主选择猜谜顺序.记X为玩家猜对谜题的总个数，若玩家选择最优猜谜顺序，则随 机变量X的数学期望E(X)=」 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,AD⊥AB,AD∥BC,SA=AB= BC=2AD=2. (1)若M为棱SB的中点，求证：AM∥平面SCD: (2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值. M B 16,《5分》已刻数列并，a=宝a+7十-r十G (1)证明：数列{n(n十1)an}为等差数列 (2)求数列 2)n 的前n项和. an 数学试题第3页（共4页) 17.(15分)在△ABC中A=,C=号AB=4W3,点D、E、P分别在ACBC、AB 边上且△DEF为等边三角形. (1)当点D与点A重合时，求等边△DEF的边长； (2)当点D为AC中点时，求等边△DEF的边长. 2 8.(17分)已知椭圆C十1a>b>0)的左，右焦点分别为F(-60,C,0】 离心率e<5,过F的直线与椭圆C交于M,N两点，且△MNR,的周长为12，原 25 点到短轴端点与焦点连线的距离为 3 (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在x轴上的定点P,使得△PN的内心在x轴上，若存在，求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由. l9.(17分)已知函数fx)=easinx,,其中a>0,定义域为[0，元] (1)当a=1时，求fx)在(0，)内的极值点： (2)讨论函数f(x)在[0，π]上的单调性，并指出极值点个数： (3)若xo是f(x)在(0，π)内的极大值点， 证明： =<fx)< 1+a2 数学试题第4页（共4页)2026一2027学年度第一学期高三第一次教学质量监测 数学参考答案及评分标准 一、单选题。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C B C B C A 二、多选题。 9 10 11 CD ABD ABD 三、填空题。 12.y=5x-2 13. 14. 小题详解： 8.总：C号=84；共线三点一共8组(3横+3竖+2对角线)：有效：84-8=76，P=76=19, 84=21 答案A。 11.解析 设曲线上任意一点P(区，y),由题意x>-3。 选项A,曲线过原点0(0,0)，0到F(3,0)的距离：√(0-3)2+02=3， O到x=a直线的距离：0-a=|a, 由条件距离乘积等于9：3al=9→|al=3 已知a<0,得a=-3,A正确。 由此得到曲线方程：√心-3)2+y.x+3=9 因为x>-3,k+3到=x+3,即Vx-32+y=3 (1) 选项B把点(3V2,0)代入条件：到F(3,0)距离：3V2-3,到直线x=-3距离：3√2+3。 乘积：(3V2-3)3V2+3)=(3V2-32=18-9=9 满足乘积为9，故点在曲线C上，B正确。 选项C.将式（①两边平方：-3）2+y2= 数学参考答案及评分标准第1页（共9页） 3)2-(x-3)2 得y2=81 取x=1代入得y2-器-4=名>1，y=>1说明第一象限存在点纵坐标大于1，最大值不是1， C错误。 选项D 由(1)式：√-3)2+yo2=9 0+30 根据根式性质：V-3)+o2≥V网=y≥yo。所以o≤ D正确。 14.解析：①先猜甲： 有三种可能，第一、答对0题；第二、答对1题：第三、答对2题 有w*秀-01+2x8-号 .414。 。428 P(x-0)-5.P(x=1)- 5152153 ②先猜乙： 有三种可能，第一、答对0题；第二、答对1题；第三、答对2题 212 248」 Px=0)=二，P(x=1)=二×二= 3515EW=0x+1x ,P(x=2)= x+1x2+2x8- 35151 315T2155 比较：专>？最优顺序为先猜甲，E凶= 答案： 四、解答题。 15.【详解】(1)证明：记SC的中点为Q,连MQ、D9, .M、Q分别为SB、SC的中点，所以，MQI∥BC且MQ= BC. :ADIBC且AD=)BC,∴ADMO且AD=M0, …1分 2 所以，四边形AMQD为平行四边形， …2分 所以，AM∥D视，…3分 又，AMt平面SCD,DQc平面SCD, 数学参考答案及评分标准第2页（共9页） .AMI∥平面SCD: …0……………5 (2):SA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 以点A为坐标原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标 系， …6分 则B(0,2,0)、C(2,2,0八、D(1,0,0)、S(0,0,2),SC=(2,2,-2),SD=(1,0,-2),…7分 设面SCD的法向量为m=(x,y,z), 由 mC22=0,取：=则x=2y=小则而=-川 …9分 mSD=x-2z=0 易知，平面SAB的一个法向量为n=(1,0,0), …10分 m 2 6 记平面SCD与平面SAB所成锐二面角为O,则cos0= ++可 V6x13 …12分 m.n 因此，平面SCD与平面SMB所成锐二面角的余弦值为V6 …13分 16.证明：(1)由a41=2+ 1 n+2(n+1)(n+2) 得(n+1)(n+2)a,+1=n(n+1)a.+1 …3分 (n+1)(m+2)an+1-n(m+1)am=1 …4分 .数列{n(n+1)an}为等差数列. …5分 (2)由(1)知数列{n(n+1)a,}首项2a=1,公差为1 …6分 数学参考答案及评分标准第3页（共9页） 故n(n+1)a,=1+n-1=n …7分 nE N* …8分 记-2少 的前n项和为S …9分 解法一： 2-(+(-2y …10分 .Sn=2×(-2)+3×(-2)2+…+(n+1(-2)”.…① ①两边同乘以-2得： -2S=2×(-2)}+3×(-2)月3++(n+1)(-2)+1…② …11分 ①-② 3S.=2×(-2)+(-2)+(-2月+(-2”-(n+1)(-2) …12分 -4+-2（2-2)m+1-2 …13分 1-（-2) 得8=0g(2八- …15分 解法=：设么-(0-日(- 则2=+小(2y=bb. ……12分 a, ∴.Sn=2×(-2)+3×(-2)++(n+1)(-2)” =(b-b)+(b3-b)++(bnH-bn） =b41-b …13分 数学参考答案及评分标准第4页（共9页） +--y"-{3-2) …14分 …15分 17.在Rt△ABC中A=7,C=言，AB=4W3 所以tanC=A8即AC=g=5=4 AC tanC …3分 如图当点D与点A重合时，∠CDB=7 又在等边△DEF中∠EDF-号枚∠CDE=∠CDB∠EDF受-台=君 A(D) ∴∠CED=m-∠CDE-∠C=T-63) 即△cDE为直角三角形，“sinc-怎 即AE=ACsinC=2V3 …6分 (2)当D为AC中点时AD=CD=2 设∠ADF=0,等边三角形边长为x 在Rt△ADF中∠A=故AD=XCos0 即xc0s0=2 …9分 又∠CDB=r-0-青=晋-0 ……10分 在△CDE中~∠DCE=号，∠CDB=牙-0 3 由三角形内角和关系得：∠CED=0 …11分 由正弦定理得： CD =DE sin∠CED sinC ………12分 代入CD=2,DB=x,sinC三3得：x·sin0=V3…13分 联立①②对两式平方相加得x2(c0s20+sin20)=4+3=7…14分 故x=√7 …15分 数学参考答案及评分标准第5页（共9页） 18.(1)(本小问5分) 解：由椭圆定义，△MNF1的周长为MF1|+IMF2l+IWF1l+IWF2zl=4a=12, 得a=3 …2分 取短轴端点B(0,b),焦点F2(c,0),直线BF2:bx+cy-bc=0 原点到该直线距离：d=-d=c b2+c2 由题意： =25, 31 ,所以bc=2V5 …3分 联立B2+c2=a2=9 bc=2v5 解得： 二乐此时离心*e一后专<号 c2=41 化此时离心率e=三 1c2=51 ；(舍去) 得b2=5, …5分 箱圆C的方程为号+号 =1…6分 5 (2)(本小问12分) 解：若△PMN的内心在x轴上，则x轴平分∠MPN, 东斜率满足kPM十pw=0…7分 设定点P(t,0) 易知，直线MN的斜率不为0 MN:x my +2,M(x1,y1),N(x2.y2) …10分 联立 x=my+2 9 61 消元整理得： 四，2+号-1→(5m2+9P2+20my-25=0 …12分 9 4=(20m)2+4×25(5m2+9)>0恒成立，由韦达定理： 20m -25 y1+y2=-5m249y1y2=5m2+9 数学参考答案及评分标准第6页（共9页） 由kw+km=是+品：=0得y,)+2,-)-0 代入x1=my1+2,x2=my2+2整理得： 2my1y2+(2-t)y1+y2)=0 …14分 所以 -25 -20m 2m 5m2+9+2-) 5m2+9=0 化简得：m(20t-90)=0 要对任意实数m成立，则20t-90=0,解得t=号 …16分 综上，存在定点P(（,0)符合题意. …17分 19.解：解：(1)当a=1,f(x)=e-xsinx 1分 f(x)=ex(cosx-sinx)........ …2分 因为ex>0,令f'(x)=0,得 cosx-sinx=0→tanx=1,在(0，m)内解得x=量 3分 当x∈(0，)时，f()>0,f(x)单调递增： 当x∈(（任，元时，f(w)<0,f()）单调递减.4分 故函数f(x)在(0，m)内有唯一极大值点x=子无极小值点. 5分 (2)f (x)=e-ax(cosx-asinx)=0 6分 得tanx=&记tano=&因为a>0,xe[0,π小，所以x∈(0，) 7分 所以f'()=eax(cosx-asin)=eax(cosx-1sinx)= e-axsin(xo-x) 8分 tanxo sin xo 数学参考答案及评分标准第7页（共9页） 所以当xE[0,xo)时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 当x∈(xo,π时，f'(x)<0,f(x)单调递减. 9分 所以函数f(x)在[0，π]上有极大值点为x=xo,无极小值点，故函数f(x)只有1个极值点. .10分 综上：当a>0时，f(x)在[0，xo)单调递增，在(xo,π]单调递减；有且仅有1个极大值点， 无极小值点.其中tanxo=。 .11分 (3)由极大值条件f'(xo)=0, 得：cosx,-asinx0=0今tanx0= 0 …12分 结合sin2x0+cos2x0=1,解得 sinxo=cosxo .13分 所以fxo)=e0 sinxo=2 先证fc)<高 因为a>0,x∈(0，)，故a0>0,ea0<1, 因此o)<高不等式得证 14分 1 e-axo 因为f(x)>eaa>aia 1 又V1+a2>0,所以上式等价eaxo>e-1→ax0<1（*) 下面证(*)式 由tam0=台得a=a。所以a=。-m0 xoXoCoSxO tanxo .15分 数学参考答案及评分标准第8页（共9页） 所以要证ax0<1→证0os0<1 sinxo 方法一：构造函数 9)-器xe(o)所以gw- sin2x 已知对任意x>0,sin2x<2x,即号sin2x-x<0,分母sim2x>0, 所以g'()<0,g(x)在(0，)严格单调递减. 若x→0，g(x)→1 当x∈(o,)g<g(0)=1,即ao=品<1 .16分 方法二：令h()=simx-xcOSx,x∈(0， 乃'(x)=xsinx>0 h(x)在(0，习单调递增，h(x)>h(0)=0 sinx-xcosx>0→simx>xcoSx→tanx>x→，x<1 tanx .16分 故a,<1恒成立.eo>e,f,)>ai证毕 17分 数学参考答案及评分标准第9页（共9页）