广东汕尾市陆丰市2026-2027学年高三上学期第一次教学质量监测数学试卷

2026—2027学年度第一学期高三第一次教学质量监测 数 学 试 题 2026-9-1 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．在中，点在边上且，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．某市统计某月上旬（1日至10日）10天的空气质量指数如下： 88，54，79，10，16，40，59，67，111，62 空气质量等级标准如下表： 空气质量等级 优 良 轻度污染 空气质量指数 则下列结论正确的是（ ） A．该月上旬空气质量指数的中位数小于50 B．该月上旬空气质量等级为良及以上的天数占比超过80% C．该月上旬空气质量指数的极差介于90到100之间 D．该月上旬空气质量指数的平均值介于30～50之间 5．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C．15 D．40 6．已知是定义在上的奇函数且，当时，则（ ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（ ） A．2 B． C．1 D． 8．设集合，从集合中随机选取三个点，则这三个点能确定一个三角形的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分（多选题2个答案对1个得3分，3个答案对1个得2分，有选错的得0分）． 9．若复数满足，为的共轭复数，则（ ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D． 10．如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．存在点，使平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积不是定值 D．若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 11．设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分．已知过坐标原点．且上的点满足：横坐标大于-3，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则（ ） A． B．点在上 C．曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在上时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线方程为__________． 13．已知，，且，则的值为__________． 14．有甲、乙两道谜题，玩家猜对甲谜题的概率为，猜对乙谜题的概率为．规则如下：只有猜对第一道谜题，才有资格猜第二道谜题，每道题只猜1次，玩家可以自主选择猜谜顺序．记为玩家猜对谜题的总个数，若玩家选择最优猜谜顺序，则随机变量的数学期望__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在四棱锥中，平面，，，． （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 16．（15分）已知数列中，，，． （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和． 17．（15分）在中，，，点、、分别在、、边上且为等边三角形． （1）当点与点重合时，求等边的边长； （2）当点为中点时，求等边的边长． 18．（17分）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为12，原点到短轴端点与焦点连线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在轴上的定点，使得的内心在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知函数，其中，定义域为 （1）当时，求在内的极值点； （2）讨论函数在上的单调性，并指出极值点个数； （3）若是在内的极大值点． 证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年度第一学期高三第一次教学质量监测 数学参考答案及评分标准 一、单选题。 1 2 3 5 6 P D A C B C B C A 二、多选题 9 10 11 CD ABD ABD 三、填空题. J 4 12.y=5x-2 13.6 14.3 四、解答题. 15.【详解】(1)证明：记SC的中点为Q,连M0、D0 :M、分别为SB、SC的中点，所以，M0/BC且 M0=2BC AD=-BC ·ADIIBC且 2 :ADMg且AD=M0 …分 所以，四边形AMQD为平行四边形， …2分 所以，AMIIDO. …3分 又：AMt平面SCD,D0c平面SCD .AM∥平面SCD, …5分 (2):SA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 以点A为坐标原点，分别以AD、AB、AS所在直线为X、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， …6分 则B(0,2,0）、C(22,0）、D10,0）、S0,02）,SC=(2,2-2）,SD=(1,0-2.…7分 设面SCD的法向量为m=(x,y2), m.SC=2x+2y-2z=0 由(m:SD=x-22=0 ，取2=1，则x=2,y=-1,则m=(2,-1,) …9分 易知，平面S1B的一个法向至为万=（亿0,0），-10分 cos0= m。2V6 记平面SCD与平面SAB所成锐二面角为B,则 m园6x13 ,…12分 6 因此，平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为3 …l3分 01=02+ 16.证明：(1)由n+2'(n+1)(n+2) 得（n+l(n+2)a1=n(n+1)a,+1 3分 (n+1)(n+2)a+1-n(n+1)an=1 …4分 :数列n(n+la,}为等差数列. …5分 (2)由1知数列n+1)a}首项2a=1,公差为1 …6分 故n(n+l)a.=1+n-1=n. …7分 n+1,nEN' …8分 -2 记 a,J的前n项和为S, …9分 解法一： -2=(a+1(-2 an …10分 .Sn=2×(-2)+3x(-2}2++(n+l)-(-2)°…0 ①两边同乘以-2得： -28=2×(-2}+3×(-2+…+(n+10小(-2)….②1分 ①-② 3Sn=2×(-2)+(-2)2+(-2)+…(-2)-(n+1)(-2)+ …12分 =4+2--2y2）-a+(-2y 1-(-2) …13分 得 …15分 e,片》y -2-a+1)(-2八=b-b 则 …12分 .Sn=2×(-2)+3x(-2)2+…+(n+1)(-2) =(色2-b)+(b-b)++(b1-b) =bn1-b.. …13分 *0g(-2-（号g(-2) …l4分 …15分 1n.在R△4BC中4-号.C =3.AB=45 =4 tanC=AB AC=B=4 tanC AC即 交 所 3 …3分 ∠CDB=T 如图当点D与点A重合时. 2 A(D) 又在等边△DEF中 EDF=π ∠CDE=∠CDB-∠EDF=T-T= 3故 236 ·∠CED=π-∠CDE-∠C=π-T-π=乃 632 即△CDE为直角三角形， ..sinc=4E AC 即AE=ACsinC=2√5 …6分 (2)当D为AC中点时AD=CD=2 设∠ADF=日，等边三角形边长为x 在Rt△ADF中 A= 2故AD=xC0s日 即xc0s0=2 9分 ×∠CDE=元-0-元=2m-0 又 33 …10分 ∠DCE=T ∠CDE=2π-9 在△CDE中 3 由三角形内角和关系得：∠CED=0. …11分 CD DE 由正弦定理得：sin∠CED sinC …12分 代入CD=2,DE=x, sinc=3 2得：xsin0=V3. …13分 联立①2对两式平方相加得(os0+sin20)=4+3=7 …14分 故x=√7 …15分 18.(1)(本小问5分) 解：由椭圆定义， △MNE的周长为ME+MF+|NF+NF=4a=12. 得a=3. …2分 取短轴端点B(0,b),焦点(c,0),直线BS:bx+gy-bc=0 d= -bc_bc 原点到该直线距离： b2+c2 a be 25 由题意：33，所以bc=2V5 …3分 b2+c2=a2=9 联立(bc=2V5 解得： [b2=5 c2=4 e=c-2V5 此时离心率a33: b2=4 c2=5 此时离心率a3;(舍去) 得b2=5 5分 父+ =1 椭圆C的方程为95 …6分 (2)(本小问12分) 解：若△PMN的内心在x轴上，则x轴平分∠MPV, 斜率满足pg十w=0 …7分 设定点P(飞，0) 易知，直线MN的斜率不为0… …8分 设MN:x=my+2,M(,y）,N(x.2) …10分 联立 x=my+2 2 9+5=1 消元整理得： 回，2号-1→(6m49+20w-5-0 …12分 △=(20m}+4×25(5m+9）>0恒成立，由韦达定理： 20m -25 y+y2= 5m2+9,5= 5m2+9, kpw+kpv=+业=0 -1'名-1得(：-)+(G-)=0 代入=y+2,五=my,+2整理得： 2my2+(2-t)(y+y2)=0 .…14分 所以 g+0-小0g-0 -25 2m.- 化简得：m(201-90)=0 9 要对任意实数m成立，则20t-90=0,解得 16分 综上，存在定点 （2 符合题意. …17分 19.解：解：(1)当a=l,f(x)=e'sinx …1分 f(x)=e*(cosx-sinx). …2分 因为e>0,令f'()=0,得 cosx-sinr=0→tanx=l,在(0，)内解得 x= 4 …3分 专所.f>0,f …4分 X= 故函数()在(0，)内有唯一极大值点=4，无极小值点. …5分 (2)f(x)=e(cosx-asinx)=0 a 0,因为a>0.6可，所以6(0号 1 得 a,记 …7分 e“sin(x,-x 所以 (co-osin)csins tanxo sinxo …8分 所以当x∈[0，)时，f()>0,f()单调递增 当x∈(，川时，'()<0，f(x)单调递减。 …9分 所以函数f(d在[0，可上有极大值点为=，无极小值点，故函数（✉）只有1个极值点。…10分 综上：当a>0时，f(~)在0，X)单调递增，在(，风单调递减：有且仅有1个极大值点，无极小值点。 1 tanr,= 其 a 。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。 …11分 (3)由极大值条件/"()=0 得： cosx6-asin,=0→tan, a …… …12分 结合sin+cos名=l,解得 1 a sinxo=- cOSxo=- V1+a2 1+a …13分 f(xo)=e-asinxo= e-aro 所以 VI+a f()< 先证 V1+a2 因为a≥0xo02人 故>0，e<1, f()= eato 1 因 +不等式得i证。…… f(x)> 1 1 因 evl+a v+a ev+a 又1+a>0,所以上式等价e>e台a,<1() 下面证（*)式 tanxo = a=-1 xo=Xo=oCOsxo 由 a,得tan,,所以 tanxo sinxo …15分 xocosxo<1 所以要证a,<1台证sin。 方法一：构造函数 g(x)=xcosx in2x-x x∈0， '(x)=2 sinx 所以 sin2x sin2x-x<0 已知对任意x>0,sin2x<2x,即2 分母sin2x>0. 0 所以8'(，水0,8()在 2)严格单调递减。 若x→0,8(x)→1 tanxo …l6分 方法二：◆A()-snr-or.e0 h'(x)=xsinx>0 h(x)>h(0)=0 sinx-XCOSx>0→sinr>xcOSx→tanr>x→x<l tanx ……… …16分 故1恒废立，。>e,)小> eV+a,i证毕 …17分