1.3矩形的性质与判定同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，以“基础夯实+思维提升”分层设计，通过概念辨析、性质应用到综合推理的递进路径，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|矩形定义、性质（对角线、直角）、判定基础|选择1-8题辨析性质，填空9-14题强化对角线关系与直角三角形中线性质，夯实概念理解| |思维提升|矩形判定综合、性质应用与实践探究|解答15-19题含推理证明（如16题证矩形）、实践应用（18题框架检测），发展逻辑推理与模型意识|

1.3 矩形的性质与判定 · 同步练习 x² 北师大版 · 九年级数学上册 第1章 · 特殊平行四边形 1.3 矩形的性质与判定 同 步 练 习 · 满分：100分 | 建议用时：45分钟 | 基础夯实 · 思维提升 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1．下列关于矩形的说法中，正确的是（ ） A．四条边都相等 B．两条对角线相等且互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．每条对角线都平分一组对角 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOD＝116°，则∠DAC的度数为（ ） A．32° B．42° C．58° D．64° 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点。若AB＝14，则CM的长为（ ） A．5 B．7 C．10 D．14 4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。添加下列条件后，能判定▱ABCD为矩形的是（ ） A．OA＝OC B．AC＝BD C．AB＝CD D．AC⊥BD 5．如图，下列条件中，能判定四边形ABCD一定是矩形的是（ ） A．∠A＝∠B＝∠C＝90° B．AC＝BD C．对角线AC，BD互相平分 D．AB＝CD，AD＝BC 6．如图，已知四边形ABCD是矩形。要利用一次三角形全等直接证明AC＝BD，选择下列哪一组三角形最合适（ ） A．△ABC与△DCB B．△AOB与△COD C．△ABD与△BCD D．△AOD与△BOC 7．如图，一块木板的两条长边AB，CD互相平行。木匠沿过A、B且与AB垂直的直线AD、BC切割，得到四边形ABCD。则ABCD一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．无法判断 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，对角线AC，BD相交于点O，则△AOD的周长为（ ） A．11 B．14 C．16 D．20 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则点O到四个顶点的距离关系为________________。 10．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BOC＝60°，则△BOC是________三角形。 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，若CM＝5，则AB＝________。 12．在▱ABCD中，若再添加一个条件“________________”，即可判定▱ABCD是矩形。（写出一个即可） 13．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，则∠D＝________，四边形ABCD是________。 14．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AC＝13，则BC＝________。 三、解答题（共5题，共58分） 15．（10分） 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝60°，BC＝5。 （1）说明△BOC为什么是等边三角形；（4分） （2）求BD和AB的长。（6分） 16．（10分） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点。延长CM到点D，使MD＝CM，连接AD，BD。 （1）求证：四边形ACBD是矩形；（6分） （2）若AB＝12，求CM的长。（4分） 17．（12分） 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BC，AB＝8，AD＝6。 （1）求证：四边形ABCD是矩形；（7分） （2）求对角线AC的长。（5分） 18．（12分） 实践应用：某工厂制作四边形金属框架ABCD。质检员测得AB＝CD，AD＝BC，如图。为了确认框架是矩形，提出两种追加检测方案： 方案甲：再测一个内角，若∠DAB＝90°则验收合格； 方案乙：再测两条对角线，若AC＝BD则验收合格。 （1）根据已知的四条边关系，说明四边形ABCD是什么四边形；（4分） （2）分别说明方案甲、方案乙为什么都能判定该框架是矩形。（8分） 19．（14分） 推理探究：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD。 （1）请说明四边形ABCD一定是平行四边形，并写出判定依据；（4分） （2）若再有OA＝OB，求证：四边形ABCD是矩形；（6分） （3）在（2）的条件下，若OA＝5，AB＝6，求AD的长。（4分） 参考答案与详细解答 逐题复核 · 步骤完整 · 易错点明确 一、选择题（详细解析） 答案速查：1．B　2．A　3．B　4．B　5．A　6．A　7．A　8．C 1．答案：B 解析：矩形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的性质外，还具有“四个角都是直角、两条对角线相等”的性质；平行四边形的对角线互相平分，所以矩形的两条对角线相等且互相平分。故选B。 易错提醒：矩形的对角线不一定互相垂直，也不一定平分各个内角。 2．答案：A 解析：矩形的对角线相等且互相平分，所以OA＝OD。于是△AOD是等腰三角形。∠AOD＝116°，故∠OAD＝∠ADO＝（180°－116°）÷2＝32°。又O在AC上，所以∠DAC＝∠DAO＝32°。故选A。 方法点拨：矩形中出现对角线交点O时，应优先想到OA＝OB＝OC＝OD。 3．答案：B 解析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以斜边AB＝2CM。由AB＝14，得CM＝7。故选B。 4．答案：B 解析：▱ABCD本身已经是平行四边形。若再有AC＝BD，则由“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定ABCD为矩形。A、C是平行四边形原有性质；D可判定该平行四边形为菱形，但不能保证它是矩形。故选B。 易错提醒：判定矩形时，要分清题目给的是“一般四边形”还是“平行四边形”。 5．答案：A 解析：若∠A＝∠B＝∠C＝90°，由四边形内角和为360°可得∠D＝90°，所以四边形ABCD有四个直角，是矩形。B中只有对角线相等，不能判定一般四边形为矩形；C、D只能判定四边形为平行四边形，仍不能保证有直角。故选A。 6．答案：A 解析：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，且BC为公共边，所以△ABC≌△DCB（SAS），由全等三角形对应边相等直接得到AC＝BD。故选A。 说明：本题考查的是“直接得到AC＝BD”的证明链，不能只看两组三角形是否可能全等。 7．答案：A 解析：因为AD⊥AB，BC⊥AB，所以AD∥BC；又已知AB∥CD，因此四边形ABCD是平行四边形。它有一个角∠DAB＝90°，所以ABCD是矩形。故选A。 8．答案：C 解析：在Rt△DAB中，BD＝√(8²＋6²)＝10。矩形的两条对角线相等且互相平分，因此OA＝OD＝5。故△AOD的周长为5＋5＋6＝16。故选C。 二、填空题（详细解析） 9．答案：OA＝OB＝OC＝OD 解析：矩形的两条对角线相等且互相平分，所以OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD，因此OA＝OB＝OC＝OD。 10．答案：等边 解析：矩形的对角线相等且互相平分，所以OB＝OC。又∠BOC＝60°，因此△BOC是等边三角形。 11．答案：10 解析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边AB＝2CM＝10。 12．答案：AC＝BD（或∠DAB＝90°等，答案不唯一） 解析：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形也是矩形。写出其中一个有效条件即可。 13．答案：90°，矩形 解析：∠D＝360°－90°×3＝90°，故四边形ABCD的四个角都是直角，所以它是矩形。 14．答案：12 解析：矩形的每个角都是直角。在Rt△ABC中，BC＝√(AC²－AB²)＝√(13²－5²)＝12。 三、解答题（详细解答） 15．解： （1）∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD。 ∴OB＝OC。又∵∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形。 （2）由△BOC是等边三角形且BC＝5，得OB＝OC＝5。于是BD＝2OB＝10，AC＝10。 在Rt△ABC中，AB＝√(AC²－BC²)＝√(10²－5²)＝5√3。 方法点拨：矩形的对角线交点到四个顶点距离相等，常可把角度问题转化为等腰三角形或等边三角形问题。 16．解： （1）∵M是AB的中点，∴AM＝BM。又∵MD＝CM，∴四边形ACBD的两条对角线AB，CD互相平分。 ∴四边形ACBD是平行四边形。又∵∠ACB＝90°，∴平行四边形ACBD有一个角是直角，∴四边形ACBD是矩形。 （2）由（1）知ACBD是矩形，所以AB＝CD＝12。又CM＝MD，∴CM＝6。 17．解： （1）∵∠DAB＝90°，∴AD⊥AB；∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB。 ∴AD∥BC。又∵AD＝BC，∵AD∥BC，且AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形。（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。） 又∵∠DAB＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形。 （2）由矩形的性质得BC＝AD＝6，且∠ABC＝90°。在Rt△ABC中，AC＝√(AB²＋BC²)＝√(8²＋6²)＝10。 易错提醒：不能由“两个角是直角”直接判定一般四边形是矩形；本题还需先证明它是平行四边形。 18．解： （1）∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD的两组对边分别相等，∴四边形ABCD是平行四边形。 （2）方案甲：在（1）的基础上，ABCD是平行四边形；若再测得∠DAB＝90°，则由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形。 方案乙：在（1）的基础上，ABCD是平行四边形；若再测得AC＝BD，则由“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形。 实际检测思路：先确认四边形ABCD是平行四边形，再选择“测直角”或“测等对角线”中的一种完成矩形判定。 19．解： （1）∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD的两条对角线互相平分。 ∴四边形ABCD是平行四边形。（判定依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形。） （2）由（1）知ABCD是平行四边形。又∵OA＝OC，OB＝OD，且OA＝OB，∴AC＝2OA，BD＝2OB，∴AC＝BD。 ∴平行四边形ABCD的两条对角线相等，∴四边形ABCD是矩形。 （3）∵OA＝5，∴AC＝2OA＝10。由（2）知ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10，且∠DAB＝90°。 在Rt△DAB中，AD＝√(BD²－AB²)＝√(10²－6²)＝8。 九年级数学同步练习 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $