1.1认识特殊的平行四边形同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以“基础夯实·思维提升”为分层，通过选择填空巩固特殊平行四边形定义与性质，解答题深化推理证明与综合应用，适配新授课知识进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|定义辨析、性质直接应用|选择1-10题概念判断，填空11-16题简单计算| |思维提升|判定推理、综合计算与证明|解答18题菱形证明，20题结合x值与角度判断图形|

1.1 认识特殊的平行四边形 · 同步练习 x² 北师大版 · 九年级数学上册 第1章 · 特殊平行四边形 1.1 认识特殊的平行四边形 同 步 练 习 · 满分：100分 | 建议用时：45分钟 | 基础夯实 · 思维提升 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1．在▱ABCD中，若AB=AD，根据特殊平行四边形的定义，可以判定四边形ABCD一定是（ ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．只能判定为平行四边形 2．在▱ABCD中，∠A=90°，AB=6 cm，AD=8 cm，则四边形ABCD一定是（ ） A．菱形 B．矩形但不是正方形 C．正方形 D．无法确定 3．如图，四边形EFGH是平行四边形，图中给出了EF=FG和∠EFG=90°的标记，则四边形EFGH的最特殊名称是（ ） A．一般平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 4．下列说法：①矩形一定是平行四边形；②菱形一定是平行四边形；③正方形既是矩形又是菱形；④有一个直角的四边形一定是矩形。正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，m、n是菱形ABCD中的两条虚线，p、q是矩形EFGH中的两条虚线。一定是相应图形对称轴的是（ ） A．m，p B．m，q C．n，p D．n，q 6．在菱形ABCD中，∠A=68°，则∠B的度数为（ ） A．68° B．90° C．112° D．136° 7．一个矩形的周长为40 cm，长与宽的比为3∶2，则它的长为（ ） A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．16 cm 8．已知四边形ABCD是矩形，添加下列条件后，一定能判定它是正方形的是（ ） A．∠A=90° B．AB=CD C．AB=BC D．AD∥BC 9．在一般平行四边形（非菱形、非矩形）、普通菱形（不是正方形）、普通矩形（不是正方形）和正方形中，对称轴条数最多的是（ ） A．一般平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 10．在▱ABCD中，AB=(x+1) cm，BC=(2x−2) cm（x>1）。若四边形ABCD是菱形，则x的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11．正方形既属于________，又属于________；这两类图形都属于平行四边形。 12．一只相框已经确定是矩形ABCD。若只用刻度尺测量一组邻边来判断它是否为正方形，可以比较线段________与________；当这两条线段________时，可判定该矩形是正方形。 13．用一根长22 cm的细铁丝首尾相接围成一个菱形（接头长度忽略），这个菱形每条边长为________cm。 14．在菱形ABCD中，∠A∶∠B=1∶4，则∠A=________°，∠D=________°。 15．轴对称图形的对称轴条数不同：一个普通菱形（不是正方形）有________条，一个普通矩形（不是正方形）有________条，正方形有________条。 16．按图形的包含关系填空：正方形⊂________⊂平行四边形；正方形⊂________⊂平行四边形。 三、解答题（共5题，共52分） 17．（10分） 每个小方格都是边长相等的正方形。如图，在两个方格图中分别给出了三个格点。 （1）在图（1）中补出点C，使四边形ABCD为平行四边形，并写出它的最特殊名称；（5分） （2）在图（2）中补出点C′，使四边形A′B′C′D′为平行四边形，并写出它的最特殊名称。（5分） 18．（10分） 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且AB=AD。 （1）求证：四边形ABCD是菱形；（6分） （2）若再有∠A=90°，判断四边形ABCD的最特殊名称，并说明理由。（4分） 19．（10分） 如图，一副可调节的平行四边形框架ABCD中，AB=9 cm，BC=6 cm，四根边杆的长度保持不变，只能调节相邻两边的夹角。 （1）当∠ABC调为90°时，判断框架的形状，并求框架一周的长度；（5分） （2）只调节夹角，能否把该框架调成菱形或正方形？请说明理由。（5分） 20．（10分） 如图，在▱ABCD中，AB=(x+2) cm，BC=(2x−1) cm，x>1。 （1）当x=3，∠A=72°时，判断四边形ABCD的最特殊名称，并求其周长；（4分） （2）当x=4，∠A=90°时，判断四边形ABCD的最特殊名称，并求其周长；（3分） （3）x和∠A分别满足什么条件时，四边形ABCD成为正方形？（3分） 21．（12分） 如图，在矩形ABCD中，AB=4 cm，BC=7 cm。点E在边BC上，BE=4 cm；过点E作EF∥AB，交AD于点F。 （1）证明：四边形ABEF是平行四边形；（4分） （2）判断四边形ABEF的最特殊名称，并说明理由；（4分） （3）求CE的长和四边形ABEF的周长。（4分） 参考答案与详细解答 逐题复核 · 教材格式 · 步骤规范 一、选择题（详细解析） 答案速查：1．A　2．B　3．D　4．C　5．B　6．C　7．C　8．C　9．D　10．B 1．答案：A 解析：题目已经给出ABCD是平行四边形。又有AB=AD，即平行四边形有一组邻边相等，因此根据菱形的定义，可以判定ABCD一定是菱形。故选A。 易错提醒：正方形也属于菱形，但仅由“平行四边形+一组邻边相等”还不能进一步判定一定是正方形。 2．答案：B 解析：平行四边形ABCD有一个角∠A=90°，所以它是矩形。又AB=6 cm，AD=8 cm，一组邻边不相等，因此它不是正方形。故选B。 方法点拨：先用直角条件判定矩形，再利用邻边不相等排除正方形。 3．答案：D 解析：EFGH是平行四边形，EF=FG说明它有一组邻边相等，因此是菱形；∠EFG=90°说明它有一个直角，因此又是矩形。它同时是菱形和矩形，所以其最特殊名称是正方形。故选D。 严谨性说明：正方形同时属于菱形和矩形。为保证单项选择只有一个最恰当答案，题干已明确要求选择“最特殊名称”；几何判定应以题设条件和图中规范标记为依据，不能凭外观判断。 4．答案：C 解析：①正确，矩形是特殊的平行四边形；②正确，菱形也是特殊的平行四边形；③正确，正方形同时满足矩形和菱形的特征；④错误，只有“有一个直角的平行四边形”才能据此判定为矩形。共有3个正确说法。故选C。 易错提醒：判定特殊平行四边形时，不能漏掉“先是平行四边形”这一前提。 5．答案：B 解析：菱形的两条对角线所在直线是它的对称轴，所以图中的m一定是菱形ABCD的对称轴，n一般不是。矩形的两组对边中点连线所在直线是它的对称轴，所以图中的q一定是矩形EFGH的对称轴，而对角线p一般不是。故选B。 方法点拨：菱形的对称轴与对角线有关；矩形的对称轴与两组对边的中点连线有关。 6．答案：C 解析：菱形是平行四边形，所以相邻两个角互补。∠B=180°−∠A=180°−68°=112°。故选C。 说明：菱形继承平行四边形的角性质。 7．答案：C 解析：设矩形的长为3k cm，宽为2k cm。由周长为40 cm，得2(3k+2k)=40，即10k=40，k=4。因此长为3k=12 cm。故选C。 易错提醒：矩形周长是两组邻边和的2倍。 8．答案：C 解析：矩形已经具备四个直角。若再有AB=BC，即矩形有一组邻边相等，那么同时满足矩形和菱形的特征，因此是正方形。其余三个条件均是矩形本身已经具备的条件，不能使它进一步特殊化。故选C。 方法点拨：从矩形判定正方形，只需再补足“邻边相等”的条件。 9．答案：D 解析：一般平行四边形（非菱形、非矩形）没有对称轴；普通菱形（不是正方形）有2条对称轴；普通矩形（不是正方形）有2条对称轴；正方形有4条对称轴。因此对称轴条数最多的是正方形。故选D。 严谨性说明：正方形既属于菱形又属于矩形。为避免按包含关系理解时产生分类歧义，题干已将“菱形、矩形”分别限定为“普通菱形、普通矩形”。 10．答案：B 解析：ABCD是菱形，所以相邻两边相等，即AB=BC。于是x+1=2x−2，解得x=3。且x=3满足x>1。故选B。 方法点拨：把“菱形的一组邻边相等”转化为关于x的方程即可。 二、填空题（详细解析） 11．答案：菱形，矩形 解析：正方形的一组邻边相等，所以它属于菱形；正方形有直角，所以它也属于矩形。菱形、矩形、正方形都属于特殊的平行四边形。 12．答案：AB，BC，相等（答案不唯一，比较任意一组邻边均可） 解析：矩形已经具备直角条件。要进一步判定它是正方形，只需验证一组邻边相等。因此可以测量AB和BC；若AB=BC，则矩形ABCD同时具有矩形和菱形的特征，所以是正方形。 开放性提醒：也可以比较BC与CD、CD与DA或DA与AB，只要比较的是一组邻边。 13．答案： 解析：菱形四条边相等，所以每条边长为22÷4=（cm）。 书写规范：教辅答案中分数采用上下分式书写，不用斜杠形式代替。 14．答案：36，144 解析：菱形是平行四边形，相邻两个角互补。设∠A=k，∠B=4k，则k+4k=180°，解得k=36°。所以∠A=36°，∠B=144°。又∠D=∠B，因此∠D=144°。 15．答案：2，2，4 解析：普通菱形的两条对角线所在直线是2条对称轴；普通矩形的两组对边中点连线所在直线是2条对称轴；正方形兼有这两类对称轴，共有4条。 16．答案：菱形，矩形 解析：正方形具有菱形的一组邻边相等特征，也具有矩形的直角特征。因此“正方形⊂菱形⊂平行四边形”，同时“正方形⊂矩形⊂平行四边形”。 三、解答题（教材规范解答） 17．解： （1）补出点C，如图。 ∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形。 又∵ AB⊥AD， ∴ ∠DAB=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形。 由图可知AB≠AD， ∴ 四边形ABCD的最特殊名称是矩形。 （2）补出点C′，如图。 ∵ A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′， ∴ 四边形A′B′C′D′是平行四边形。 又∵ A′B′⊥A′D′，A′B′=A′D′， ∴ 四边形A′B′C′D′是正方形。 ∴ 四边形A′B′C′D′的最特殊名称是正方形。 18． （1）证明： ∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形。 又∵ AB=AD， ∴ 平行四边形ABCD是菱形。 （2）解：四边形ABCD的最特殊名称是正方形。 理由如下： 由（1）知四边形ABCD是菱形。 又∵ ∠A=90°， ∴ 菱形ABCD是正方形。 19．解： （1）由题意，调节过程中四边形ABCD始终是平行四边形。 ∵ ∠ABC=90°， ∴ 平行四边形ABCD是矩形。 框架一周的长度为 2（AB+BC）=2×（9+6）=30（cm）。 答：框架的形状是矩形，一周的长度为30 cm。 （2）不能。 理由如下： ∵ AB=9 cm，BC=6 cm，且调节过程中边杆长度保持不变， ∴ AB≠BC始终成立。 而平行四边形成为菱形或正方形都必须满足一组邻边相等， ∴ 只调节相邻两边的夹角，不能把该框架调成菱形或正方形。 20．解： （1）当x=3时， AB=x+2=3+2=5（cm）， BC=2x−1=2×3−1=5（cm）。 ∴ AB=BC。 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ 四边形ABCD是菱形。 又∵ ∠A=72°≠90°， ∴ 四边形ABCD不是正方形，最特殊名称是菱形。 周长为4×5=20（cm）。 答：四边形ABCD是菱形，周长为20 cm。 （2）当x=4时， AB=x+2=4+2=6（cm）， BC=2x−1=2×4−1=7（cm）。 ∴ AB≠BC。 又∵ ∠A=90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴ 四边形ABCD是矩形。 ∵ AB≠BC， ∴ 四边形ABCD不是正方形，最特殊名称是矩形。 周长为2×（6+7）=26（cm）。 答：四边形ABCD是矩形，周长为26 cm。 （3）要使平行四边形ABCD成为正方形，应同时满足AB=BC和∠A=90°。 由AB=BC，得 x+2=2x−1， 解得x=3。 又x=3满足x>1。 因此，当x=3且∠A=90°时，四边形ABCD成为正方形。 21． （1）证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC。 ∵ 点F在AD上，点E在BC上， ∴ AF∥BE。 又∵ EF∥AB， ∴ 四边形ABEF的两组对边分别平行， ∴ 四边形ABEF是平行四边形。 （2）解：四边形ABEF的最特殊名称是正方形。 理由如下： 由（1）知四边形ABEF是平行四边形。 ∵ AB=4 cm，BE=4 cm， ∴ AB=BE。 又∵ 四边形ABCD是矩形，点E在BC上， ∴ ∠ABE=∠ABC=90°。 ∴ 平行四边形ABEF是正方形。 （3）CE=BC−BE=7−4=3（cm）。 由（2）知四边形ABEF是正方形，且AB=4 cm， ∴ 四边形ABEF的周长为4×4=16（cm）。 答：CE的长为3 cm，四边形ABEF的周长为16 cm。 九年级数学同步练习 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $